الأعداد المتحابة والأعداد غير المتحابة

* الأعداد المتحابة والأعداد غير المتحابة


وصف الفيثاغورثيون الإغريق، ومن جاء بعدهم من رياضيي الإسكندرية الأعداد بأنها تامة إذا تساوى مجموع قواسمها معها مثل: العدد 6، فقواسمه هى: 1، 2، 3. ومجموعها 6، والعدد 28 قواسمه هي: 1، 2، 4، 7، 14، ومجموعها 28.
أما الأعداد الناقصة فهي الأعداد التي يقل مجموع قواسمها عن العدد مثل العدد 4 مثلا أو العدد 5، وأول تعريف ورد إلينا لهذه الأعداد كان لإقليدس في كتابه الشهير "الأصول". ثم ميز رياضيو الإغريق بين نوعين آخرين: الأعداد التامة، والأعداد الزائدة أو فوق التامة. وهي التي يزيد مجموع أجزائها عن العدد نفسه مثل العدد 12، فقواسمه هي: 1، 2، 3، 4، 6 ومجموعها 16.
وقد عرف الفيثاغورثيون الأعداد المتحابة بحكاية، وبهذا المنطق طبق فيثاغورث الصيغة المتحابة أو الصديقة. فالعددان: أ و ب متحابان، إذا كانت قواسم كل منهما تعطي مجموع الآخر.

إذ يروى أن فيثاغورث سئل مرة: ما هو الصديق؟ فقال: نفسٌ ثانية.


وقد تابع العرب من بعد الإغريق دراسة خواص الأعداد من متحابة وتامة وناقصة وغيرها بعد أن استوعبوها جيدا ووسعوا فيها وزادوا عليها، وكان ثابت ابن قرة أول من أوجد قاعدة الأعداد المتحابة وهي: إذا كانت: ب = 3 × 2ن - 1 ك = 3 × 2ن - 1 - 1 ج = 9 × 2ن - 1 - 1 (حيث إن ن عدد صحيح موجب أكبر من واحد)، وكانت ب ، ك ، ج ، أعدادا أولية فإن: (هـ = 2ن × ب × ك ع = 2ن × ج هما عددان متحابان) . مثال ذلك: في حالة ن = 2 فإن ب = 3 × 22 - 1 =11 . ك = 3 × 2 - 1 = 5 . ج = 9 × 32 - 1 = 71 . هي أعداد أولية حينئذ ينتج أن العددين: هـ = 22 × 11 × 5 = 220 . ع = 22 × 71 = 284 . فالعددان 284 ، 220 متحابان، لأن مجموع قواسم العدد 220 يساوي العدد الثاني 284 ، وكذلك مجموع قواسم العدد الثاني 284 يساوي العدد الأول 220 . فإن مجموع قواسم العدد 220 هو: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284 = ع . ومجموع قواسم العدد 284 هو: 1+2+4+71+142 = 220 = هـ . لوحظ أن (ن = 1) لا يحقق المعادلة بالرغم من أن: ب ، ك ، ج أعداد أولية. ولهذا أضاف ثابت بن قرة الشرط التالي: أن ن عدد صحيح يزيد عن الواحد. وقد تأكدت صحة قاعدة ثابت بن قرة رياضيا.