*

غريزة العد



وقبل الكلام عن غريزة العد في المخلوقات يجدر بالبحث أن يقدِّم تعريفاً للعد، والعدد، والأرقام، والحساب؛ فأمَّا العدُّ: فهو إحصاء الشيء.

وأما العدد: فهو مقدار ما يُعدُّ ومبلغه، وجمعه أعداد.

ومنه العدائد: وهو المال المقتسم والميراث، وهي جمع عديدة: وهي الحصة.

وأما الرقم: فهو الكتابة والختم.

والترقيم: هو تقييد الأعداد.

وأما الحساب: فقد عرَّفه عبدالرحمن بن خلدون، في مقدمته، بقوله:

"هو صناعة عملية في حساب الأعداد بالضم والتفريق، والضم يكون في الأعداد بالأفراد وهو الجمع، وبالتضعيف، تضاعف عدداً بآحاد عدد آخر، وهذا هو الضرب، والتفريق أيضاً يكون في الأعداد، أما بالأفراد مثل إزالة عدد من عدد ومعرفة الباقي، وهو الطرح، أو تفضيل عدد بأجزاء متساوية تكون عدتها محصلة، وهو القسمة، سواء كان في هذا الضم والتفريق على التصحيح من العدد أو التكسير".

والحساب أساس جميع الفروع الرياضية، سواء كانت بحتة أو تطبيقية، وهو أكثر العلوم نفعاً، وربما لا يوجد فرع آخر، في المعرفة الإنسانية، أكثر انتشاراً بين الناس مثله. وموضوعه العدد، والعدد إما مفرد وإما مركب:

فالمفرد: ما وقع في مرتبة واحدة كالواحد، والإثنين، والعشرة والتسعين.

والمركب: ما وقع في مرتبتين أو أكثر، كأحد عشر، وكمائة وثلاثة وثلاثين.

والعدد أيضاً إما زوج، وإما فرد:

فالزوج وهو أنواع:

زوج الزوج: وهو العدد الذي ينقسم إلى قسمين متساويين، وهو ما يقبل التنصيف إلى الواحد، مثل:

8 و 16 و 32

وزوج الفرد: وهو ما يتنصف مرة واحدة فقط، مثل:

6 و 10 و 30

وزوج الزوج والفرد: وهو يتنصف أكثر من مرة واحدة دون أن يصل التنصيف إلى الواحد، مثل:

12 و 20

وأما الفرد فهو:

أي عدد لا يمكن تقسيمه إلى نصفين، بحيث يكون كل منهما عدداً صحيحاً، مثل 1، 3، 7، 11

وهو غير العدد الأولي: الذي هو عدد كامل لا يقبل القسمة، دون باق، على أي عدد آخر، خلاف الواحد الصحيح، وذلك مثل:

3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 43، وهكذا.

عوامل العدد: هي الأرقام التي يقبل العدد القسمة عليها، فمثلاً: 1، 2، 3، 4، 6 هي عوامل العدد 12، لأنه يقبل القسمة عليها كلها.

والأعداد، بشكل عام، أنواع: تامة، وزائدة، وناقصة، ومتحابة.

أولاً: الأعداد التامة:

كل عدد يتساوى مجموع عوامله مع العدد نفسه، يسمى تاماً، وأصغر الأعداد التامة 6، فعواملها 1، 2، 3 مجموعها 6، يلي ذلك 28، وعوامله 1، 2، 4، 7، 14، مجموعها 28، ومن الأعداد التامة 496، و 8128، و 33550336 ولا يوجد في الآحاد سوى 6، وفي العشرات سوى 28، وفي المئات سوى 496، وفي الآلاف سوى 8128. وهي دائماً تبدأ إما بالرقم 6 أو 8 في آحادها. وهي دائماً أعداد زوجية. وجميع الأعداد التامة 17 عدداً فقط.

أما الأعداد الزائدة:

فهي كل عدد مجموع عوامله أكبر منه، مثل العدد 12، الذي مجموع عوامله (1، 2، 3، 4، 6) 16 أكبر منه.

وأما الأعداد الناقصة:

فهي كل عدد مجموع عوامله أصغر من العدد نفسه، مثل العدد 10، فإن مجموع عوامله (1، 2، 5) 8 أقل منه.

وأما الأعداد المتحابة:

وهي كل عددين مزدوجين، أحدهما ناقص، والثاني زائد، إذا كان مجموع عوامل كل منهما مساوياً للآخر، مثل العددين 220، وهو عدد زائد، و 284 وهو عدد ناقص.

(لاحظ أن:

عوامل العدد 220 هي 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

وأن عوامل العدد 284 هي 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

بالإضافة إلى ذلك هناك العدد التخيلي، والعدد الذري، والعدد الكتلي، والعدد الماخي، والعدد المركب، وبيانها كالتالي:

العدد التخيلي imaginary number

ظهر نتيجة البحث عن حلول للمعادلة س2 = -1، حيث لا يوجد جذر للأعداد السالبة، وفي الرياضيات القديمة اُعتقد أن هذه المعادلة ليس لها حلاً، حتى عام 1777 حين قام العالم السويسري ليونارد إيلر بتعريف الرمز الحديث ت وقيمته جزر-1ويسمى العدد التخيلي، وهو يظهر كثيراً في الجبر (جبر المتجهات)، ويدل على أن المقياس (الإحداثي) الذي يمثله يتعامد على المركبة الأفقية (أي يصنع معها زاوية مقدارها 90 ْ).

العدد الذري atomic number

عدد البروتونات الموجودة في نواة الذرة، وهو العدد الذي يمثل العنصر في الجدول الدوري للعناصر، فمثلاً العدد الذري للأكسجين8، وهذا يعني أن ذرة الأكسجين تحتوي على ثمانية بروتونات في نواتها.

العدد الكتلي mass number

هو مجموع عدد البروتونات والنيوترونات الموجودة في نواة الذرة، ويمكن وجود عدد كتلي أو أكثر حسب نظير العنصر (نظير العنصر: يوجد العدد نفسه من البروتونات ولكن يختلف عدد النيوترونات وبالتالي يختلف المجموع وهو العدد الكتلي)

العدد الماخي mach number

النسبة بين سرعة أية طائرة أو قذيفة وبين سرعة الصوت. ومن ثم فإن العدد الماخي 2 يعني ضعف سرعة الصوت، والعدد الماخي 0.75 يعني ثلاثة أرباع سرعة الصوت. ويختلف العدد الماخي لأية سرعة محددة باختلاف الارتفاع والفصل من السنة، وموقع الطيران.

العدد المركب complex number

عدد يتكون من جزء حقيقي وآخر تخيلي. وعلى سبيل المثال فالعدد أ + ب ت(ت=جزر-1 ) يمثل عدد مركباً. وتستخدم مثل هذه الأعداد لتحليل البعض الآخر منها، فضلاً عن استخدامها في نظرية التيارات الكهربائية المترددة.

هناك أيضاً الأعداد الصماء: وهي الأعداد التي لا يمكن التعبير عنها بعدد كامل، أو كسر من عدد كالجذر التربيعي.

كيف نشأت الحاجة إلى العد

عاش الإنسان القديم تحيط به ظواهر الطبيعة من كل جانب. وكان هناك الكثير من الظواهر التي تشده إليها، وتدفعه إلى التأمل والتفكير. فحينما يتجه إلى السماء ليلاً يجد النجوم المتلالأة، وإذا اتجه ببصره إلى الأرض، نهاراً، وجد الأشجار الباسقة، وما يحيط به من إنسان وحيوان. وكل هذه، وغيرها، دفعته إلى المقارنة بين هذه الكميات، وإلى أن يحصي عددها، أو يدرك مقدارها، هل هي كثيرة؟ أو كثيرة جداً؟ أو قليلة جداً؟ وهذا في الواقع هو بداية التفكير في العد والأعداد.

تطور طرق العد

تشير الدلائل إلى أن فكرة الإنسان الأول عن الكميات لم تكن واضحة تمام الوضوح؛ فكان ينظر إلى الأشياء التي يراها، باعتبارها وحدة واحدة؛ فإذا كانت مجموعة من الحيوان مثلاً، نظر إليها على أنها وحدة واحدة، وليست أفراداً. ولعل أول طريقة عبر بها القدماء عن الكمية كانت باستخدام الإشارة بالأيدي للدلالة على مقدار الكمية؛ فهي كثيرة جداً، أو كثيرة، أو قليلة، أو قليلة جداً، وكان في كل حالة يفتح الذراعين بقدر معلوم للدلالة على تلك الكمية كوحدة، وهذا يشبه معاملة الأطفال الصغار عندما يعبرون عن الشيء الكثير قبل أن تكون لديهم فكرة عن معنى الأعداد، وأسمائها، وعن النظام العدي، أي أن فكرة الإنسان البدائي عن الكميات كانت فكرة تقريبية، وليست فكرة مضبوطة تماماً. كما أنه لم يستخدم كلمات أو رموزاً للتعبير عن الكمية.

وأتت، بعد ذلك، مرحلة استخدم فيها الإنسان الأشياء، وأوصافها للتعبير عن الكميات. ولم يكن الراعي ليدرك مثلاً أنه يملك خمسة رؤوس من الأغنام، وإنما استخدم الكلمات لمعرفة كميتها، بقوله:
إن عنده واحدة لونها أبيض، وواحدة لونها بني، وواحدة ذات قرون طويلة، وما يشبه ذلك، أي أنه يعرفها فرداً فرداً، بقدر ما تسمح به ذاكرته، وبقدر عدد القطيع، حتى إذا بلغ مقداراً لا تعيه ذاكرته، أو التبست عليه الألوان، أو تعددت الأنواع، وأصبح لديه من كل نوع، أو لون، كمية معينة، شعر بعجز تلك الطريقة، وبدأ يفكر في طريقة أخرى أكثر دقة في العد .

وكانت المرحلة الثانية، هي مرحلة المطابقة بين الشيء ونظيره، أو "واحد لواحد"، كما ذكر البحث من قبل، وتتلخص هذه الطريقة في المقارنة بين الشيء وما يناظره. وكانت تلك النظائر في أول الأمر أشياء بسيطة سهلة، يراها الإنسان، ويحس بها، أو مجموعات معروفة له، كأصابع اليدين، وأجنحة الطير أو مخالبها، وأذني الإنسان، وما شابه ذلك. ومن أمثلة هذا أن يقول رجل لآخر: "قتلت اليوم من الذئاب قدر ما للنعامة من أظلاف" أو "إن عنده من النساء قدر ما عند الإنسان من آذان". وفكرة مقارنة الأشياء بمجموعات معروفة، مثل: الأنف، والأذنين، وأوراق نبات البرسيم، وأظلاف النعام، وأصابع اليد، تقابل اليوم 1، 2، 3، 4، 5، على الترتيب.

ولا ريب أن فكرة التجميع قد سهلت على الإنسان البدائي عملية التفكير في مجموعات تمثِّل المقادير، ولكن هذه المجموعات كانت صغيرة، ولا تصلح للكميات الكبيرة، وهذا ولَّد لدى الإنسان الشعور بالحاجة إلى اختراع طريقة أخرى من طرق المطابقة، وكانت تلك هي طريقة استخدام الحصى، فعدد أفراد القطيع، أو السهام، أو الأشجار، التي يملكها، أو كمية الطير التي اصطادها، يمكن أن يعرف مقدارها عن طريق مطابقتها مع كمية معينة من الحصى. وما زال أفراد بعض القبائل الهندية، في ولاية أريزونا يحمل كيساً به مجموعة من الحصى تطابق كمية ما عنده من الخيل. وقد استخدم بعض الأقدمين بدلاً من المطابقة بالحصى نوعاً من الأحجار المستطيلة على هيئة عصى يحفرون عليها علامات. وكل علامة تقابل فرداً مما يملكون، بحيث يدل مقدار الحفرات، أو الحزَّات على عدد هذا الشيء. ولكن البعض تخلص من الجهد اللازم للحفر على الحجر؛ فاستخدام فروعاً من الأشجار يسجل عليها علاماته بعمل حزات بآلة حادة لتمثل الكميات، التي لديه. ولجأ آخرون إلى استخدام ألياف الأشجار، وعمل عُقد عليها بقدر الكمية الموجودة. ولا شك أن طريقة المقارنة جعلت الإنسان يشعر بشيء من الثقة في معرفة كمية ما عنده من أشياء، عند مقارنتها بالعلامات أو بالحصى.

كما أن هذه الطريقة أعطت فكرة "التساوي" عندما تتم المطابقة، وفكرة "أقل" أو "أكثر" في حالتي عدم المطابقة، وهي، على أي حال، كانت خطوة نحو الأمام في تطور التفكير البشري، إلا أن هذه الطريقة ظلت قاصرة عن أن تدل الرجل البدائي على عدد ما عنده، أو تعطيه اسماً، أو عدداً، يبين المقدار الذي يريده، ليسجل الاسم أو العدد بسهولة، وبساطة، بدلاً من الحصى الذي يحمله، أو الأحجار، وفروع الأشجار التي يحفر عليها.

*

الثابت ( ط )



يقابل الثابت (ط) في العربية الرمز



باليونانية وهو الحرف السادس عشر من الأبجدية اليونانية. التي يرجع تاريخها إلى 1000 - 900 عام قبل الميلاد. وقد استعمل قدماء اليونانيين هذا الحرف أيضا للدلالة على الرقم 5 .
ويستخدم الثابت (ط) في الرياضيات كرمز لحساب نسبة محيط الدائرة إلى قطرها. وقد عرف تاريخ الرياضيات عدة محاولات لحساب قيمة الثابت (ط) فأكد الرياضي اليوناني أرشميدس أن قيمة هذا الثابت تقع بين (7 ) و (71/10 3 ) وقد قام برسم مضلع ذي (96) ضلعا لتحقيق هذا الغرض.
وفي القرن الثاني الهجري / الثامن الميلادي قام العالم الصيني شانج هونج عام 125م بحساب قيمة حقيقة للرمز (ط) وأكد أنها تساوي





وفي القرن العاشر الميلادي / الرابع الميلادي توصل العالم الصيني شونج شينج عام 470م إلى قيمة لهذا الثابت وهي (3,1415926) وذلك بعد أن استخدم دائرة قطرها عشرة أقدام لهذا الغرض. وفي القرن السادس الميلادي توصل الرياضي الهندي أربهاتا الصغير عام 510م إلى قيمة أخرى لهذا الرمز(3,1416).
أما أدق قيمة للرمز (ط) فهي التي توصل إليها العالم المسلم البيروني في القرن الرابع الهجري وهي (14174660،3)، وذلك عن طريق رسم مضلع منتظم داخل الدائرة. ثم جاء الكاشي في القرن التاسع الهجري وتوصل إلى القيمة (1415926535898732،3) وهي أقرب ما تكون عليه قيمة هذا الرمز الآن.
ومن الجدير بالذكر أن نقول أن الثابت (ط) عدد أصم بمعنى أن لديه عدد لا نهائي من المراتب العشرية، إلا أنه يمكن حسابه بدقة كبيرة باستخدام المتسلسلة:





وهذا ما تمكنت منه أجهزة الحاسب الآلي في العصر الحديث فقد تم حساب قيمة الثابت (ط) حسابا دقيقا إلى أقرب 100 مليون مرتبة عشرية، على الرغم من أن هذا ليس له قيمة عملية.

*

الأوزان عند العبرانيين

مَنْ تصفح تاريخ العبرانيين مجاس خلال سيرهم يعلم انهم أقاموا بمصر نحوًا من 500 عام ، ثم خرج بهم سيدنا موسى ، عليه السلام ، سنة 1276 قبل المسيح ، وأسسوا مملكة يهوذا ، فلا بد أن يكونوا قد نقلوا إلى مملكتهم هذه بحكم الطبيعة ما كان للمصريين من الأقيسة والأوزان والمكاييل وغيرها ، كما تدل عليه كتب العبرانيين ، فتكون أوزانهم مأخوذة من مصر حين خرجوا منها ، فصارت هي المستعملة عندهم ، وهي ستة :

المثقال : وهو الوحدة المنسوب إليها جميع صنج الوزن ، كبيرة كانت أو صغيرة .

المـنّ : وهو ستون مثقالا .

الكيكار : وهو القنطار ، عبارة عن خمسين منّا ، ويعادل 3000 مثقال .

البقا : وهو نصف المثقال .

الربعة : وهي 5/20 أو 1/4 من المثقال .

الجيراه : وهو أصغرها ، ويساوي 1/20 من المثقال .

وقد اشتغل كثير من العلماء في الأزمنة المختلفة بتعيين مقدار العبراني القديم ، وكتبوا في ذلك الكتب المطولة ، ونحن لا ندخل في هذا الموضوع ، بل نكتفي بإيراد نتيجة أبحاثهم الدقيقة وما تحقق لديهم منها ومن وزن ما وجد من هذه المثاقيل محفوظا بخزانات اوروبا فنقول :

قد علم مما سبق أعلاه ان الجيراه يساوي بالجرامات 0,708 جراما ، والربعة تساوي 5/20 من المثقال = 3,54 جراما ، والبقا نصف المثقال = 7,08 جراما ، والمثقال = 14،16 جراما ، والمنّ = 60 مثقالا = 849,6 جراما ، والكيكار = 50 منا = 3000 مثقال = 42,48 كيلو جرام ، وهذا المقدار هو عين مكعب قدم الذراع الملوكي من الماء الصافي .

فعلى ذلك يكون القنطار العبري منسوبا للأقيسة المصرية وبالمثل أجزاؤه .

وقد بقي هذا القنطار مستعملا عند اليهود زمنا إلى أن اقتضت أحوال التجارة جعله قنطارين ، كل منهما نصف الأصلي ، فصار مقداره 21,24 كيلو جرام ، وحصلوا على هذا القنطار بقسمة المثقال الفرعوني إلى أربعة أقسام متساوية ، عرف كل قسم منها بالدرهم ، ومقداره 3,54 جراما ، وقسموا الدرهم هذا إلى ستة أقسام ، عرف القسم منها باسم مياه ، ثم قسموا المياه إلى قسمين عرف القسم منها باسم بونديول ، وركبوا المن الجديد من 100 درهم ، وعرف هذا المن بالمنّ التجاري او العرفي ، ومقداره 354 جراما ، وصار القنطار الصغير 6000 درهم أو 1500 مثقال ، وهو 60 منًّأ تجاريا ، كل منها 354 جراما ، وبالبناء على ذلك صارت أقسام القنطار الجديد هكذا :

بونديول = 0,295 جراما = 1/12 من الدرهم = 1/48 من المثقال .

مياه = 0,590 جراما = 1/6 الدرهم = 1/24 من المثقال .

درهم = 3,54 جراما = 1/4 مثقال .

سـكل = 14,16 جراما = 1 مثقال .

مـن = 354 جراما = 25 سـكل أو مثقال .

*

أولاً: الأعداد عند قدماء المصريين

بدأت الحضارة المصرية في حوالي الألف الرابع، قبل الميلاد، وبدأ المصريون يستخدمون رموزاً للأعداد بالخط الهيروغليفي في حوالي عام 3400 ق.م.

وتمثِّل هذه الرموز الأعداد 1، 10، 100، 1000، 10000، والمليون، أي استخدموا النظام العشري، الذي سبق بيانه، وسجلوا ذلك على الجدران، والأحجار، ثم بعد ذلك استخدموا الخط الديموطيقي. وقد استمد المصريون رموزهم من بيئتهم، فجعلوا الواحد خطاً قائماً 1، والاثنين خطين (11)، إلى تسعة، وجعلوا العشرة باباً مقنطراً ضيقاً، والمائة جزءاً من سلسلة مقياس النيل، والألف عبارة عن زهرة اللوتس، والعشرة آلاف عبارة عن صورة الإصبع، والمائة ألف عبارة عن صورة الضفدع الصغير، وجعلوا العلامة الدالة على المليون رجلاً رفع يديه يتعجب من هذا الشيء الكثير.

وكانوا يكررون كتابة الرموز، فكانوا يكتبون من اليمين إلى اليسار، أو من اليسار إلى اليمين، أو رأسياً من أعلى إلى أسفل. ويسير ترتيب الأرقام من الأصغر إلى الأكبر، فقد ذُكر في إحدى اللوحات الأثرية 123440 رأساً من الماشية، و 223400 حماراً، و 232413 رأساً من الماعز، و 243688 رأساً من الغنم.

أما النظام الذي استخدموه، فهو نظام التجميع البسيط؛ فيكررون الرموز عدداً من المرات لا يزيد على تسعة، ثم ينتقلون بعد ذلك إلى الرمز الذي يليه، فإذا أرادوا كتابة الرقم 13546 مثلا؛ً فإنهم يذكرون الرمز الدال على العشرة آلاف، ثم يكررون رمز الألف ثلاث مرات، ثم رمز المئات خمس مرات، ثم رمز العشرات أربع مرات، ثم رمز الواحد ست مرات، وهكذا.

وليس هناك من ريب في أن مقتضيات الحياة في مصر وجهود المصريين في حل المشاكل المتصلة ببيئتهم، وحرصهم الشديد على ذلك، أوجب ضرورة معرفة الحساب من أجل تنظيم مياه النيل، وقياسها، وضبطها، وتحديد مواسم الزراعة والحصاد، وأعمال المقايضة، والتجارة، وجمع الضرائب العينية، وتقدير أبعاد الأراضي الزراعية، ومساحاتها عند بيعها، وتأجيرها، وتقسيمها، حسب توجيهات الدولة، وتنفيذ المشروعات العامة، كتنفيذ عمليات حفر القنوات، وبناء الأهرامات، وما يتطلبه ذلك من تحديد أعداد العمال، وكميات الطعام اللازمة لهم، والوقت الذي سيستغرقه العمل، وما إلى ذلك، كتغيير حدود الأرض الزراعية بعد موسم الفيضان، فمثلاً إذا ما طاف طائف من الفيضان فأزال حدود الحقل، فإنه لا يمكن إعادتها إلى ما كانت عليه على وجه محقق، إلا إذا كان المرء يعرف مقاييسه بدقة. كما استعمل المصريون الحساب في مسائل تتعلق بأحوالهم المعيشية، في بيوتهم، كعمل الجعة (أي البيرة)، أو مشروب الشعير، والخبز، وتكاليف صنع الحلى.

ومن الجدير بالذكر، في هذا الصدد، ما فعله الفرعون أمنمحات الأول (1991 ـ 1962 ق.م)، حين أرسى سياسة جديدة بين أفراد الأقاليم، منعت التنافس بينهم، وذلك عن طريق إقامة حدود ثابتة بين كل إقليم وآخر، كما سن قانوناً نظَّم به نصيب كل إقليم من مياه النيل الخاصة بريِّ الأرض الزراعية، كما عيَّن تبعية كل قناة بمفردها. وجاء في القرار، الذي أعلنه:

"إن جلالته اعتمد ما هو موجود في السجلات القديمة، وما هو مقرر في النصوص القديمة". وهذا يعني، أنه منذ عهد الدولة القديمة، كانت حدود الأقاليم ثابتة، ومدونة، ويعني بالتالي افتراض وجود سجلات زراعية لأراضي المدن المختلفة، ومناطقها. كما حدد "أمنمحات الأول" كمية المواد الغذائية، التي يتعيَّن على كل إقليم، أن يقدمها، وعدد السفن اللازمة للأسطول، وأعداد أفراد القوات، فقد كان أمراء الأقاليم مكلفين بحشد الجنود الذين يشكلون الجزء الأكبر من القوات المسلحة

وكان يدخل ضمن إطار الواجبات، الملقاة على عاتق المشرفين على الحقول التابعة للمعابد، ومخازن الغلال، متابعة مقاييس، ومساحة الأراضي التابعة للمعابد. ويظهر على الجدران صور لرئيس الكهنة ممسكاً بعصا طويلة في إحدى يديه، وفي الأخرى أداة الكتابة، يشرف على عملية القياس التي يقوم بها اثنان من العمال، معهما شريط قياس، يصل طوله إلى مائة ذراع، مقسَّم إلى أجزاء باستخدام عقد في أجزاء معينة، لابد وأن تكون إدارة معابد آمون قد تأكدت من صحة قياسها، ودقته.

ومن الجدير بالذكر، كذلك، أن الكهنة لجأوا إلى طريقة يسجلون بها كميات السلع التي يتبادلونها؛ فبدأوا باستخدام وحدات مثل: "سلة من الغلال"، أو "جرة من الخمر"، أو "قطعة من قماش". ثم بعد ذلك، اختاروا الوزن، وكان الميزان على شكل عمود يُحمل على الكتف، ويتدلى ثقل من كلٍ من طرفيه. ولما كان من الضروري تسجيل أعداد الأشياء لتقدير رؤوس الماشية، أو سلال الحبوب، بدأوا بحفر حزَّات على سطح عصا، ثم توصلوا إلى رموز الأعداد، واستخدموا النظام العشري، كما استخدموا العد على الأصابع كذلك، وقد جاء في أحد النصوص، التي عثر عليها في منطقة الأهرامات، أن روح شيطان تحدت فرعونا مصرياً أن يعد أصابعه، ويعرف عددها الصحيح. ثم تطور الأمر إلى استخدام الأحجار في العد، وبعد ذلك، استعاضوا عن الأحجار بالحبات التي تُصَّف كل عشرة منها على سلك، ممثلة بذلك أول آلة حاسبة معداداً، وأخذوا يجرون عمليات الجمع والطرح، ثم توصلوا إلى عمليات الضرب والقسمة، ولكنهم، شأن غيرهم من الشعوب القديمة، جهلوا الصفر.

*

هل تعرف الجوجول (Google) ؟


100
إنه عدد ضخم جدًّا جدًّا ، فهو يعني (10) ، أو واحد عن يمينه مائة صفر . . وقد كتب أول مرة عام 1930 على سبورة إحدى رياض الأطفال بنيويورك على صورة واحد وعلى يمينه مائة صفر ، وعند ذلك سأل الرياضي إدوارد كسنر ابن أخيه (ميلتون سيروتا) الذي كان يبلغ من العمر 9 سنوات : ماذا تسمي هذا العدد ؟

وبدون تفكير أجاب الصغير : جوجول . . وكم كانت سعادة إدوارد كسنر حينما توصل إلى تسمية هذا العدد الضخم بطريقة صبيانية لم تخطر على بال !!

الأعداد الأولية :

ما هي الأعداد الأولية ؟ وما أكبر عدد أولي مسجل حتى الآن ؟

العدد الأولي هو ذلك العدد الذي لا يقبل القسمة إلا نفسه والواحد الصحيح . .

وأقل الأعداد الأولية هي : 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 37 . . . .

وجميع الأعداد الأولية أعداد فردية باستثناء (2) . .

*الحساب الهوائي


قسم العرب الحساب العملي إلى قسمين أساسيين: الحساب الغباري، والحساب الهوائي. والحساب الغباري هو الحساب الذي يحتاج استعماله إلى أدوات، أما الحساب الهوائي فهو الذي لا يحتاج في استعماله إلى أدوات. وقد اهتم العلماء المسلمون بالحساب الهوائي اهتماما خاصا لما يعكسه من سرعة بديهة في حل مسائل الحساب العملي الذي تحتاجه الحياة العامة من التجارة وغيرها، وللحساب الهوائي قوانين مذكورة في كتب الحساب العربية.
ومن أهم كتب الحساب العربية التي اهتمت بالحساب الهوائي كتابان للعالم المسلم أصبغ المهري ، وهي: الكامل في الحساب الهوائي ، وكتاب: الكافي في الحساب الهوائي ، ولكي تتضح أبسط الطرق للحساب الهوائي نقوم بإجراء عملية جمع رقمين هما: 281 +275 وتكون خطوات الحل كالآتي:
200+200=400
80+70=150
وتضاف إلى 400 فيكون المجموع هو 550
وجمع 1+5=6
ثم تضاف إلى 550 فيكون المجموع 655 .

*الموازين


مفرد موازين ميزان ويقصد بها مقاييس الأطوال والمساحات. ولم يحدث في التاريخ الإسلامي توحيد لنظام الموازين والمكاييل، فكان الاختلاف هو السمة المميزة في البلدان الإسلامية، على أن بعض الحكام المسلمين قد اتجهوا إلى توحيد نظام المقاييس في المناطق التابعة لهم، ومنهم عضد الدولة البويهي، والخلفاء الفاطميون، وحسن التركمان. ومن بين أسماء وحدات الأوزان والمكاييل الإسلامية: الرطل وهو لفظ منقول عن اليونانية، والقنطار وهو لفظ منقول عن اللاتينية، والقفيز ويدل على مكيال وهو لفظ منقول عن الفارسية، وحين فتح المسلمون بلاد الشرق الأدنى كانت كل تلك الأسماء مستخدمة ولكن بقيم مختلفة. فالمُد كان يساوي في العراق حوالي 1,05 رطلا ، وفي سوريا حوالي 3,673 رطلا ، وفي مصر حوالي 2,50 رطلا . وكون وحدة معينة تستخدم بقيم مختلفة كانت سمة مميزة بين البلدان الإسلامية بل داخل البلد الواحد كأن تكون قيمة الوحدة في العاصمة غير قيمتها في الأقاليم. كما قد يكون اختلاف قيمة الوحدة تبعا للشيء الموزون، فرطل اللحم مثلا في مصر العليا كانت قيمته تختلف عن بقية البضائع، وكانت للحبوب مكاييل تختلف عن مكاييل السوائل. كما كان لبعض السوائل كزيت الزيتون وحدات وزن خاصة به. كما وجد اتجاه لاستبدال الوحدات الأصغر بوحدات أكبر.
ورغم التأثير المتبادل بين الأقاليم الإسلامية في الموازين ظلت بلاد فارس وحدها مختلفة عن الدول الإسلامية العربية رغم وجود شيء من التداخل بينهما. ولقد تمخض عن التأثير المتبادل في البلاد التي سبق خضوعها للدولة البيزنطية نظامان للموازين في كافة الأقطار الإسلامية: الأول ستوني، والثاني عشري. وعلى ذلك فلم ينتشر نظام الجزيرة العربية في الموازين في البلدان الإسلامية المفتوحة، فالمد ، وهو الوحدة الرئيسية في بغداد، والصاع ، وهو وحدة أكبر من المد فهو يساوي 4 أمداد، والوسق ويساوي 60 مدا عند العرب. وليس لها وجود في البلدان الإسلامية الأخرى عدا المغرب العربي، حيث لا يزال الصاع بقيم مختلفة. وقد لقي الوزن القياسي البغدادي قبولا عاما بتأثير انتشار الحكم العباسي وسيادته. ورغم كون الاختلاف هو السمة المميزة في الموازين فقد حاول المسلمون إيجاد أسس نظرية عامة للموازين، واهتم بها خاصة علماء علم المساحة والرياضيات.
وفي عهد الرسول كانت وحدات العراق معروفة في الجزيرة العربية، فعرف الرطل في مكة وعمان واليمن وعرف بالرطل البغدادي. وأكثر المعلومات توفرا عن وحدات الأوزان والحجوم في مصر والشام. فالبنسبة للأوزان الخفيفة كان الرطل هو وحدة القياس في سوريا، وعرف كذلك الرطل الثقيل. أما الحبوب ففي الشام كانت تقدر بالغرارة التي تختلف من بلد إلى بلد. وفي مصر كان الرطل هو الوحدة الأساسية في القياس في عهد الأمويين والعباسيين، وعرف أيضا بالرطل الكبير منذ عهد الأمويين. أما في عهد الفاطميين فقد اختلفت قيمة الرطل تبعا لنوع السلعة الموزونة فمثلا بالنسبة للحم والعيش كان يساوي 444 جراما. أما القطن فكان الرطل فيه يساوي 463 إلخ. وكانت الحجوم في مصر تقدر بالإردب وهو في الأصل كلمة فارسية وكذلك التليس. واستخدم أيضا القسط لزيت الزيتون، وكذلك "مطر" ويساوي 17 كجم لزيت الزيتون. وهكذا نلاحظ اختلاف قيمة الوحدة بين دولة وأخرى بل اختلافها داخل القطر الواحد.

*علم المثلثات

علم المثلثات هو فرع من الرياضيات يدرس الزوايا و المثلثات و التوابع المثلثية مثل الجيب و التجيب. علم المثلثات هو نوعا ما فرع من الهندسة.

لعلم المثلثات تطبيقات كثيرة، منها حساب المسافات في الجغرافية و الفلك، وفي انظمة الاستكشاف بالاقمار الصناعية.

يقال عن مثلثين انهما متشابهين اذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما متساوية، اي عندما ينتج احدهما عن الاخر بتكبيره او تصغيره. ان اطوال اضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة، اي انه اذا كان طول اقصر اضلاع المثلث الاول هو ضعفا طول اقصر اضلاع المثلث الثاني، فان طول كل من الضلعين الاطول و المتوسط من المثلث الاول هو ضعفا طولي لضلعين الاطول و المتوسط من المثلث الثاني ايضا، و بالتالي فان النسبة بين طولي الضلعين الاقصر و الاطول في المثلث الاول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الاقصر و الاطول في المثلث الثاني.

اعتمادا على هذه الحقائق، من الممكن تعريف التوابع المثلثية، مستخدمين المثلث القائم. في البداية، من الواضح انه اذا تساوت زاويتان في مثلثين قائمين، فان هذين المثلثين متشابهان، و تكون النسبة بين الضلع المقابلة للزاويتين المتساويتين، وتر كل من المثلثين (الضلع المقابلة للزاوية القائمة) متساوية بالنسبة لكل من المثلثين و تعتمد فقط على قيمة الزاوية، و ستكون عددا بين 0 و 1، تدعى هذه النسبة بجيب الزاوية. بشكل مماثل، يمكن تعريف تجيب الزاوية على انها النسبة بين الضلع المجاور لها و الوتر.

جيب يه = المقابل / الوتر

تجيب يه = المجاور / الوتر

تابعا الجيب و التجيب هما اهم التوابع المثلثية، هناك ايضا توابع اخرى تعرف باخذ نسب اخرى من اضلاع المثلث القائم، او نسب من التابعين الاساسيين جيب و تجيب، هذه التوابع هي: طل، تطل، قا، و تقا.

طل يه = جيب يه / تجيب يه = المقابل / المجاور

تطل يه = تجيب يه / جيب يه = المجاور / المقابل

قا يه = 1 / تجيب يه = الوتر / المجاور

تقا يه = 1 / جيب يه = الوتر / المقابل

بهذا نكون قد عرفنا التوابع المثلثية للزوايا من 0 الى 90، من الممكن توسيع تعريفنا ليشمل كل القيم الحقيقية للزوايا باستخدام الدائرة الواحدية.

عند امكانية حساب التوابع المثلثية (من جداول او الالة الحاسبة) و معرفة قيم ضلع و زاويتين او ضلعين و زاوية او ثلاثة اضلاع من المثلث، يمكن ايجاد قيم باقي عناصر المثلث (زوايا و اضلاع) باستخدام قوانين الجيب و قوانين التجيب.

*
الرياضيات عند المسلمين

في بغداد أسس الخوارزمي علم الجبر والمقابلة في أوائل القرن التاسع.وفي خلافة أبي جعفر المنصور ترجمت بعض أعمال العالم السكندري القديم بطليموس القلوذي CLAUDIUS PTOLOMY ( (ت. 17 م)، ومن أهمها كتابه المعروف، باسم "المجسطي ". واسم هذا الكتاب في اليونانية " (EMEGAL MATHEMATIKE ، " أي الكتاب الأعظم في الحساب .والكتاب دائرة معارف في علم الفلك والرياضيات. وقد أفاد منه علماء المسلمين وصححوا بعض معلوماته وأضافوا إليه. وعن الهندية، ترجمت أعمال كثيرة مثل الكتاب الهندي المشهور في علم الفلك والرياضيات، سد هانتاSiddhanta أي " المعرفة والعلم والمذهـب ". وقد ظهرت الترجمة العربية في عهد أبي جعفر المنصور بعنوان "السند هند.ومع كتاب "السند هند" دخل علم الحساب الهندي بأرقامه المعروفة في العربية بالأرقام الهندية فقد تطور على أثرها علم العدد عند العرب، وأضاف المسلمون نظام الصفرمما جعل الرياضيين العرب يحلون الكثير من المعادلات الرياضية من مختلف الدرجات، فقد سهل استعماله لجميع أعمال الحساب، وخلص نظام الترقيم من التعقيد، ولقد أدى استعمال الصفر في العمليات الحسابية إلى اكتشاف الكسر العشري الذي ورد في كتاب مفتاح الحساب للعالم الرياضى جمشيد بن محمود غياث الدين الكاشي (ت 840 هـ1436 م)، وكان هذا الكشف المقدمة الحقيقية للدراسات والعمليات الحسابية المتناهية في الصغر. و استخرج إبراهيم الفزاري جدولاً حسابياً فلكياً يبين مواقع النجوم وحساب حركاتها وهو ما عرف بالزيج . وفي بغداد أسس الخزارزمي علم الجبر والمقابلة في أوائل القرن التاسع . . وكان من علماء بيت الحكمة ببعداد محمد بن موسى الخوارزمي (ت 232 هـ846 م) " الذي عهد إليه المأمون بوضع كتاب في علم الجبر، فوضع كتابه " المختصر في حساب الجبر والمقابلة وهذا الكتاب هو الذي أدى إلى وضع لفظ الجبر وإعطائه مدلوله الحالي. قال ابن خلدون: "علم الجبر والمقابلة (أي المعادلة) من فروع علوم العدد، وهو صناعة يستخرج بها العدد المجهول من العدد المعلوم إذا كان بينهما صلة تقتضي ذلك فيقابل بعضها بعضاً، ويجبر ما فيها من الكسر حتى يصير صحيحاً". فالجبر علم عربي سماه العرب بلفظ من لغتهم، و الخوارزمي هو الذي خلع عليه هذا الاسم الذي انتقل إلى اللغات الأوروبية بلفظه العربي ALGEBRA .و ترجم هذا الكتاب للاتينية في سنة 1135 م .وظل يدرس في جامعات أوربا حتى القرن 16 م. كما انتقلت الأرقام العربية إلى أوربا عن طريق ترجمات كتب الخوارزمي الذي أطلق عليه في اللاتينية "الجور تمي "ALGORISMO ثم عدل للجورزمو ALGORISMO للدلالة على نظام الأعداد وعلم الحساب والجبر وطريقة حل المسائل الحسابية وظهرت عبقرية "الخوارزمي " في " الزيج " أو الجدول الفلكي الذي صنعه وأطلق عليه اسم "السند هند الصغير،،وقد جامع فيه بين مذهب الهند، ومذهب الفرس، ومذهب بطليموس (مصر )، فاستحسنه أهل زمانه ذلك وانتفعوا به مدة طويلة فذاعت شهرته وصار لهذا الزيج أثر كبير في الشرق والغرب. وقد نقل الغرب العلوم الرياضية عن العرب وطوروها. وعرف حساب أباكوس: Abacus.أو أباكس.لوحة العد . وهي عبارة عن اطار وضعت به كرات للعد اليدوي. وكانت هذه اللوحة يستعملها الاغريق والمصر يون والرومان وبعض البلدان الأوربية قبل وصول الحساب العربي أوربا في القرن 13. وكان يجري من خلال لوحة العد الجمع

* أوائل في الرياضيات

(1) أوّل من حوّل الكسور العاديّة إلى عشريّة :-

أوّل من حوّل الكسور العاديّة إلى كسور عشريّة في علم الحساب هو غياث الدين جمشيد الكاشي قبل عام 840 هجرية/1436 م .

(2) أوّل من استعمل الأسس السالبة :-

يعدّ العالم المسلم السموأل المغربي ، وهو عالم اشتهر باختصاصه في علم الحساب ، أوّل من استعمل الأسس السالبة في الرياضيات ، وتوفي هذا العالم الفذّ في بغداد عام 1175م .

(3) أوّل من استخدم الجذر التربيعي :-

إن الجذر التربيعي هو أوّل حرف من حروف كلمة جذر، وهو المصطلح الذي أدخله العالم المسلم الرياضي محمد بن موسى الخوارزمي، وأوّل من استعمله للأغراض الحسابية هو العالم أبو الحسن علي بن محمد القلصادي الأندلسي الذي ولد عام 825 هجرية وتوفي سنة 891 هجرية وانتشر هذا الرمز في مختلف لغات العالم .

(4) أوّل من وضع أسس علم الجبر :-

أوّل من وضع أسس علم الجبر هو العالم المسلم أبو الحسن محمد بن موسى الخوارزمي ، ولد هذا العبقري الفذّ في بلدة خوارزم بإقليم تركستان في العام 164 هجرية، برع في علم الحساب ووضع فيه كتاباً له أسماه ((الجبر والمقابلة)) شرح فيه قواعد وأسس هذا العلم العام ،تحرف اسمه عند الأوروبيين فأطلقوا عليه (ALGEBRA) أي علم الحساب ، وتوفي –رحمه الله –عام 235 هجرية.

(5) أوّل من أسس علم حساب المثلثات:-

يبدو أن الفراعنة القدماء عرفوا حساب المثلثات وساعدهم ذلك على بناء الأهرامات الثلاثة،وظل علم حساب المثلثات نوعاً من أنواع الهندسة ،حتى جاء العرب المسلمون وطوروه ووضعوا الأسس الحديثة له لجعله علماً مستقلاً بذاته ،وكان من أوائل المؤسسين لحساب المثلثات ،أبو عبد الله البتاني والزرقلي ونصير الدين الطوسي.

(6) أوّل من أدخل الصفر في علم الحساب :-

أوّل من أدخل الصفر في علم الحساب هو العالم المسلم محمد بن موسى الخوارزمي المتوفى عام 235م. وكان هذا الاكتشاف في علم الحساب نقلة كبيرة في دراسة الأرقام وتغيراً جذرياًّ لمفهوم الرقم .

(7) أوّل من استعمل الرموز في الرياضيات :-

أوّل من استعمل الرموز أو المجاهيل في علم الرياضيات هم العرب المسلمون ، فاستعملوا (س) للمجهول الأول ، و (ص) للثاني و (ج) للمعادلات للجذر .. وهكذا .

(8) أوّل رسالة طبعت في أوروبا عن الرياضيات :-

أوّل رسالة عن علم الرياضيات طبعت في أوروبا كانت مأخوذة من جداول العالم المسلم أبي عبد الله البتاني ،وقد طبعت هذه الرسالة الأولى عام 1493م في اليونان .

(9) أوّل من أدخل الأرقام الهندية إلى العربية :-

إن الأرقام التي نستعملها اليوم في كتابة الأعداد العربية ،… الخ هي أرقام دخيلة استعملها الهنود من قبل العرب بقرون طويلة ، وأول من أدخل هذه الأرقام إلى العربية هو أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي عالم الرياضيات .

(10) أوّل معداد يدوي :-

قام الصينيون باختراع أوّل معداد يدوي في التاريخ ، واستعانوا به على إجراء العمليات الحسابية وذلك في العام 1000 قبل الميلاد وسموه (( الأبوكس)).

(11) أوّل حاسوب إلكتروني :-

تم اختراع أوّل حاسوب إلكتروني يعمل بالكهرباء في عام 1946م بالولايات المتحدة الأمريكية ، وأطلق عليه اسم (إنياك:Eniac ) ، وهو من حواسيب الجيل الأوّل التي تعمل بالصمامات المفرغة وتستهلك قدراً كبيراً من الكهرباء ، وهي تشمل مساحة كبيرة.

*غربال إيراتوستين :



كلمة غربال تعني طريقة للتصفية أو التنقية ، و تنسب هذه الطريقة للعالم الإغريقي إيراتوستين حيث اكتشفها ، و هي أسهل الطرق المستخدمة في الكشف عن الأعداد الأولية و يستطيع الطالب في المرحلة الإبتدائية العليا أو الإعدادية استخدامها ، و تزيد صعوبتها كلما كبرت الأعداد حتى تصبح غير فعالة مع الأعداد الكبيرة ، لذا تكون فعالة في الأعداد الصغيرة جدا ( الأقل من 1000000) .



و تقول هذه الطريقة أنه لإيجاد جميع الأعداد الأولية الأصغر من n اكتب في قائمة جميع هذه الأعداد الأصغر من n ثم استبعد جميع مضاعفات الأعداد الأولية بحيث تبدأ من مضاعفات 2 ثم 3 ثم 5 ثم 7 و هكذا فالأعداد المتبقية هي الأعداد الأولية و الجدول التالي يوضح مثال لغربال إيراتوستين المستخدم في الأعداد الأقل من 100 :



و كيفية العمل في الجدول السابق هو بأن نبدأ بأول عدد و هو الواحد و يتم استبعاده مباشرة ، العدد الذي يليله هو 2 فيكون أول عدد أولي ثم نستبعد جميع مضاعفاته الموجودة بالجدول ، العدد التالي هو 3 فنختاره حيث أنه العدد الذي لم يحذف فيكون أول عدد أولي فردي ثم نحذف جميع مضاعفاته الغير محذوفة ، و نستمر بالمسير فنجد أن 4 محذوف أي إنه غير أولي ، و لكن الذي يليه و هو 5 غير محذوف فيكون العدد الأولي الثالث ثم نحذف جميع مضاعفاته الغير محذوفة ، و نستمر بهذه الطريقة بالنسبة للعدد 7 و 11 و هكذا حتى نكون قد استبعدنا جميع المضاعفات ليتبقى لدينا الأعداد الأولية الأقل من 100 ، و هي الأعداد الزرقاء في الجدول .