*تعتبر عملية القسمة أكثر العمليات الحسابية صعوبة، وكانت دائما من أكثر العمليات الحسابية التي يتم التدريب عليها لمن يعملون في التجارة والحساب بصفة عامة. وكان علماء الرياضيات المسلمون يرون أن الشخص إذا استطاع أن يكون ماهرا في إجراء عملية القسمة فإن كل شيء آخر في العمليات الحسابية يكون متضمنا فيها من جمع وطرح وضرب .
و قد ابتكر العالم الرياضي القلصادي في عمليات القسمة طريقة القسمة على العوامل. وهي طريقة تعتمد على قسمة العدد المقسوم على عوامل المقسوم عليه.
و يظهر ذلك في قسمة: 216 ÷ 24
وتسير عملية القسمة بطريقة القسمة على العوامل بالخطوات التالية:
24 = 8 × 3
216 ÷ 8 = 27
27 ÷ 3 = 9
لذلك: 216 ÷ 24 = 9 .
2010/03/23
نظرية العدد
*نظرية العدد
تعتمد نظرية العدد كما أوضحها العلماء المسلمون على فكرة الوحدانية أو التوحيد بالله عز وجل. ومن ذلك قولهم في الأعداد أن لها خواص فما من عدد إلا وله خاصية أو عدة خواص. ومعنى الخاصية أنها الصفة الخاصة بالموصوف الذي لا يشاركه فيها غيره.
وأهم ما يذكر في مجال خواص الأعداد هو إفرادهم العدد (1) بخاصية الانفراد والشمولية فهو أصل العدد ومنشؤه وبه يبدأ العد فهو يعد العدد كله الزوجي والفردي معا. ومن خواص العدد (2) أيضا أنه أول العدد مطلقا وبه يبدأ العد للأرقام الزوجية دون الفردية. ومن خواص العدد (3) أنه أول عدد فردي وهو يعد ثلث الأعداد تارة والأزواج تارة أخرى. ومن خواص العدد (4) أنه أول عدد مجذور (له جذر) وجذره اثنين عدد صحيح.
ومن العلماء المسلمين الذين نادوا بخاصية الوحدانية للعدد (1) كان الكندي فهو يرى أن العدد (2) يمثل وحدة، لأنه مركب من 1+1 غير أن الواحد هنا ركن العدد(2) وليس عددا. والركنية عند الكندي هو ما يركب الشيء منه، كالحروف بالنسبة للكلام، أو الطوب بالنسبة للبيت. فالعدد 5 عبارة عن 3+2 ، فالثلاثة ركن الخمسة أي أن الخمسة مركبة من ركنين هما: ثلاثة واثنان. والثلاثة عدد، وكذلك الاثنان.
بمعنى آخر: الأعداد مركبة من أعداد، أي أنها تتكون من الوحدانيات. وهذا يصح بالنسبة لجميع الأعداد إلا العدد (1) الذي هو ركن في أي عدد وليس عددا وسبب ذلك أن جميع الأعداد مركبة، فيما عدا الواحد فإنه بسيط. ويشير الكندي إلى ذلك فيقول: "وقد يظن أن الواحد ركن الاثنين... وهذا الظن غير صادق، لأن الاثنين مركب والواحد وإن كان ركن الاثنين فليس له ركن فهو ليس مركب".
ويحاول الكندي نفي صفة العددية عن الواحد فيقول:- "لأنا إذا قلنا إن الواحد عدد نظن أنه تلحقنا من ذلك شناعة قبيحة جدا، لأنه إن كان الواحد عددا، فهو كمية ما. وإن كان الواحد كمية، فخاصة الكمية تلحقه وتلزمه، أعني أنه مساو ولا مساو له". ثم يستطرد "فإن كان الواحد أوحاد بعضها مساوية له، أو بعضها لا مساوية له، فالواحد منقسم، لأن الواحد الأصغر يعد الواحد الأكبر أو يعد بعضه، فالواحد الأكبر بعض، فهو منقسم".
أما إخوان الصفا فهم يعرِّفون الواحد بأنه هو "كل ما لا ينقسم، وإن شئت قلت: ال واحد ما ليس فيه غيره، بما هو واحد... والواحد بالوحدة كما أن الأسود بالسواد، والوحدة صفة للواحد، كما أن السواد صفة للأسود".
والكثرة عند إخوان الصفا هي جملة الآحاد وأول الكثرة الاثنان، ثم الثلاثة ثم الأربعة ثم الخمسة، والكثرة إما عدد وإما معدود، والفرق بينهما أن العدد إنما هو كمية صور الأشياء في نفس العد، وأما المعدودات فهي الأشياء نفسها، وأما الحساب فهو جمع العدد وتفريقه. والجمع هو إضافة الواحد إلى واحد آخر بالتزايد حتى تصل إلى متسلسلة الأعداد المعروفة، والطرح هو خصم واحد من سلسلة الأعداد حتى نصل إلى الواحد الذي لا جزء له ألبتة.
أما الكسور فإنها تنشأ أيضا من الواحد بنسبته إلى الاثنين مثلا فيقال له عند ذلك نصف، وإذا أشير إليه من جملة الثلاثة فيقال له الثلث وهكذا. ومراتب العدد الكسور عند إخوان الصفا كثيرة "لأنه ما من عدد صحيح إلا وله جزء أو جزءان أو عدة أجزاء كالاثني عشر فإن له نصفا وثلثا وربعا وسدسا ونصف سدس... إلا أن العدد وإن كثرت مراتبه وأجزاؤه فهي مرتبة تحت بعض، ويشملها كلها عشرة ألفاظ لفظة منها عامة مبهمة، وتسعة مخصوصة مفهومة، ومن التسعة الألفاظ لفظة موضوعة، وهي النصف، وثمانية مشتقة وهي الثلث من الثلاثة والربع من الأربعة... والعشر من العشرة، وأما اللفظة العامة المبهمة فهي الجزء لأن الواحد من أحد عشر يقال له جزء من أحد عشر وكذلك من ثلاثة عشر..."
ويذهب إخوان الصفا إلى القول بأن الواحد من الأعداد هو أصل كل الأعداد، وعنه تصدر بالتكرار فيقولون: "واعلم أن الباري -جل ثناؤه- أول شيء اخترعه وأبدعه من نور وحدانيته جوهرا بسيطا يقال له العقل الفعال، كما أنشأ الاثنين من الواحد بالتكرار. ثم أنشأ النفس الكلية من نور العقل، كما أنشأ الثلاثة بزيادة الواحد على الاثنين. ثم أنشأ الهيولى الأولى من حركة النفس، كما أنشأ الأربعة بزيادة الواحد على الثلاثة ثم أنشأ سائر الخلائق من الهيولى ورتبها بتوسط العقل والنفس، كما أنشأ سائر العدد من الأربعة، بإضافة ما قبلها إليها كما مثلنا من قبل".
ونسبة الباري -جل ثناؤه- من الموجودات كنسبة الواحد من العدد عند إخوان الصفا، ذلك "فكما أن الواحد أصل العدد ومنشأه وأوله وآخره، كذلك الله عز وجل، هو علة الأشياء وخالقها وأولها وآخرها، وكما أن الواحد لا جزء له ولا مثل له في العدد، فكذلك الله، جل ثناؤه، لا مثل له في خلقه، ولا شبه، وكما أن الواحد محيط بالعدد كله وبعده، كذلك الله جل جلاله، عالم بالأشياء وماهيتها..."
تعتمد نظرية العدد كما أوضحها العلماء المسلمون على فكرة الوحدانية أو التوحيد بالله عز وجل. ومن ذلك قولهم في الأعداد أن لها خواص فما من عدد إلا وله خاصية أو عدة خواص. ومعنى الخاصية أنها الصفة الخاصة بالموصوف الذي لا يشاركه فيها غيره.
وأهم ما يذكر في مجال خواص الأعداد هو إفرادهم العدد (1) بخاصية الانفراد والشمولية فهو أصل العدد ومنشؤه وبه يبدأ العد فهو يعد العدد كله الزوجي والفردي معا. ومن خواص العدد (2) أيضا أنه أول العدد مطلقا وبه يبدأ العد للأرقام الزوجية دون الفردية. ومن خواص العدد (3) أنه أول عدد فردي وهو يعد ثلث الأعداد تارة والأزواج تارة أخرى. ومن خواص العدد (4) أنه أول عدد مجذور (له جذر) وجذره اثنين عدد صحيح.
ومن العلماء المسلمين الذين نادوا بخاصية الوحدانية للعدد (1) كان الكندي فهو يرى أن العدد (2) يمثل وحدة، لأنه مركب من 1+1 غير أن الواحد هنا ركن العدد(2) وليس عددا. والركنية عند الكندي هو ما يركب الشيء منه، كالحروف بالنسبة للكلام، أو الطوب بالنسبة للبيت. فالعدد 5 عبارة عن 3+2 ، فالثلاثة ركن الخمسة أي أن الخمسة مركبة من ركنين هما: ثلاثة واثنان. والثلاثة عدد، وكذلك الاثنان.
بمعنى آخر: الأعداد مركبة من أعداد، أي أنها تتكون من الوحدانيات. وهذا يصح بالنسبة لجميع الأعداد إلا العدد (1) الذي هو ركن في أي عدد وليس عددا وسبب ذلك أن جميع الأعداد مركبة، فيما عدا الواحد فإنه بسيط. ويشير الكندي إلى ذلك فيقول: "وقد يظن أن الواحد ركن الاثنين... وهذا الظن غير صادق، لأن الاثنين مركب والواحد وإن كان ركن الاثنين فليس له ركن فهو ليس مركب".
ويحاول الكندي نفي صفة العددية عن الواحد فيقول:- "لأنا إذا قلنا إن الواحد عدد نظن أنه تلحقنا من ذلك شناعة قبيحة جدا، لأنه إن كان الواحد عددا، فهو كمية ما. وإن كان الواحد كمية، فخاصة الكمية تلحقه وتلزمه، أعني أنه مساو ولا مساو له". ثم يستطرد "فإن كان الواحد أوحاد بعضها مساوية له، أو بعضها لا مساوية له، فالواحد منقسم، لأن الواحد الأصغر يعد الواحد الأكبر أو يعد بعضه، فالواحد الأكبر بعض، فهو منقسم".
أما إخوان الصفا فهم يعرِّفون الواحد بأنه هو "كل ما لا ينقسم، وإن شئت قلت: ال واحد ما ليس فيه غيره، بما هو واحد... والواحد بالوحدة كما أن الأسود بالسواد، والوحدة صفة للواحد، كما أن السواد صفة للأسود".
والكثرة عند إخوان الصفا هي جملة الآحاد وأول الكثرة الاثنان، ثم الثلاثة ثم الأربعة ثم الخمسة، والكثرة إما عدد وإما معدود، والفرق بينهما أن العدد إنما هو كمية صور الأشياء في نفس العد، وأما المعدودات فهي الأشياء نفسها، وأما الحساب فهو جمع العدد وتفريقه. والجمع هو إضافة الواحد إلى واحد آخر بالتزايد حتى تصل إلى متسلسلة الأعداد المعروفة، والطرح هو خصم واحد من سلسلة الأعداد حتى نصل إلى الواحد الذي لا جزء له ألبتة.
أما الكسور فإنها تنشأ أيضا من الواحد بنسبته إلى الاثنين مثلا فيقال له عند ذلك نصف، وإذا أشير إليه من جملة الثلاثة فيقال له الثلث وهكذا. ومراتب العدد الكسور عند إخوان الصفا كثيرة "لأنه ما من عدد صحيح إلا وله جزء أو جزءان أو عدة أجزاء كالاثني عشر فإن له نصفا وثلثا وربعا وسدسا ونصف سدس... إلا أن العدد وإن كثرت مراتبه وأجزاؤه فهي مرتبة تحت بعض، ويشملها كلها عشرة ألفاظ لفظة منها عامة مبهمة، وتسعة مخصوصة مفهومة، ومن التسعة الألفاظ لفظة موضوعة، وهي النصف، وثمانية مشتقة وهي الثلث من الثلاثة والربع من الأربعة... والعشر من العشرة، وأما اللفظة العامة المبهمة فهي الجزء لأن الواحد من أحد عشر يقال له جزء من أحد عشر وكذلك من ثلاثة عشر..."
ويذهب إخوان الصفا إلى القول بأن الواحد من الأعداد هو أصل كل الأعداد، وعنه تصدر بالتكرار فيقولون: "واعلم أن الباري -جل ثناؤه- أول شيء اخترعه وأبدعه من نور وحدانيته جوهرا بسيطا يقال له العقل الفعال، كما أنشأ الاثنين من الواحد بالتكرار. ثم أنشأ النفس الكلية من نور العقل، كما أنشأ الثلاثة بزيادة الواحد على الاثنين. ثم أنشأ الهيولى الأولى من حركة النفس، كما أنشأ الأربعة بزيادة الواحد على الثلاثة ثم أنشأ سائر الخلائق من الهيولى ورتبها بتوسط العقل والنفس، كما أنشأ سائر العدد من الأربعة، بإضافة ما قبلها إليها كما مثلنا من قبل".
ونسبة الباري -جل ثناؤه- من الموجودات كنسبة الواحد من العدد عند إخوان الصفا، ذلك "فكما أن الواحد أصل العدد ومنشأه وأوله وآخره، كذلك الله عز وجل، هو علة الأشياء وخالقها وأولها وآخرها، وكما أن الواحد لا جزء له ولا مثل له في العدد، فكذلك الله، جل ثناؤه، لا مثل له في خلقه، ولا شبه، وكما أن الواحد محيط بالعدد كله وبعده، كذلك الله جل جلاله، عالم بالأشياء وماهيتها..."
الأعداد المتحابة والأعداد غير المتحابة
* الأعداد المتحابة والأعداد غير المتحابة
وصف الفيثاغورثيون الإغريق، ومن جاء بعدهم من رياضيي الإسكندرية الأعداد بأنها تامة إذا تساوى مجموع قواسمها معها مثل: العدد 6، فقواسمه هى: 1، 2، 3. ومجموعها 6، والعدد 28 قواسمه هي: 1، 2، 4، 7، 14، ومجموعها 28.
أما الأعداد الناقصة فهي الأعداد التي يقل مجموع قواسمها عن العدد مثل العدد 4 مثلا أو العدد 5، وأول تعريف ورد إلينا لهذه الأعداد كان لإقليدس في كتابه الشهير "الأصول". ثم ميز رياضيو الإغريق بين نوعين آخرين: الأعداد التامة، والأعداد الزائدة أو فوق التامة. وهي التي يزيد مجموع أجزائها عن العدد نفسه مثل العدد 12، فقواسمه هي: 1، 2، 3، 4، 6 ومجموعها 16.
وقد عرف الفيثاغورثيون الأعداد المتحابة بحكاية، وبهذا المنطق طبق فيثاغورث الصيغة المتحابة أو الصديقة. فالعددان: أ و ب متحابان، إذا كانت قواسم كل منهما تعطي مجموع الآخر.
إذ يروى أن فيثاغورث سئل مرة: ما هو الصديق؟ فقال: نفسٌ ثانية.
وقد تابع العرب من بعد الإغريق دراسة خواص الأعداد من متحابة وتامة وناقصة وغيرها بعد أن استوعبوها جيدا ووسعوا فيها وزادوا عليها، وكان ثابت ابن قرة أول من أوجد قاعدة الأعداد المتحابة وهي: إذا كانت: ب = 3 × 2ن - 1 ك = 3 × 2ن - 1 - 1 ج = 9 × 2ن - 1 - 1 (حيث إن ن عدد صحيح موجب أكبر من واحد)، وكانت ب ، ك ، ج ، أعدادا أولية فإن: (هـ = 2ن × ب × ك ع = 2ن × ج هما عددان متحابان) . مثال ذلك: في حالة ن = 2 فإن ب = 3 × 22 - 1 =11 . ك = 3 × 2 - 1 = 5 . ج = 9 × 32 - 1 = 71 . هي أعداد أولية حينئذ ينتج أن العددين: هـ = 22 × 11 × 5 = 220 . ع = 22 × 71 = 284 . فالعددان 284 ، 220 متحابان، لأن مجموع قواسم العدد 220 يساوي العدد الثاني 284 ، وكذلك مجموع قواسم العدد الثاني 284 يساوي العدد الأول 220 . فإن مجموع قواسم العدد 220 هو: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284 = ع . ومجموع قواسم العدد 284 هو: 1+2+4+71+142 = 220 = هـ . لوحظ أن (ن = 1) لا يحقق المعادلة بالرغم من أن: ب ، ك ، ج أعداد أولية. ولهذا أضاف ثابت بن قرة الشرط التالي: أن ن عدد صحيح يزيد عن الواحد. وقد تأكدت صحة قاعدة ثابت بن قرة رياضيا.
وصف الفيثاغورثيون الإغريق، ومن جاء بعدهم من رياضيي الإسكندرية الأعداد بأنها تامة إذا تساوى مجموع قواسمها معها مثل: العدد 6، فقواسمه هى: 1، 2، 3. ومجموعها 6، والعدد 28 قواسمه هي: 1، 2، 4، 7، 14، ومجموعها 28.
أما الأعداد الناقصة فهي الأعداد التي يقل مجموع قواسمها عن العدد مثل العدد 4 مثلا أو العدد 5، وأول تعريف ورد إلينا لهذه الأعداد كان لإقليدس في كتابه الشهير "الأصول". ثم ميز رياضيو الإغريق بين نوعين آخرين: الأعداد التامة، والأعداد الزائدة أو فوق التامة. وهي التي يزيد مجموع أجزائها عن العدد نفسه مثل العدد 12، فقواسمه هي: 1، 2، 3، 4، 6 ومجموعها 16.
وقد عرف الفيثاغورثيون الأعداد المتحابة بحكاية، وبهذا المنطق طبق فيثاغورث الصيغة المتحابة أو الصديقة. فالعددان: أ و ب متحابان، إذا كانت قواسم كل منهما تعطي مجموع الآخر.
إذ يروى أن فيثاغورث سئل مرة: ما هو الصديق؟ فقال: نفسٌ ثانية.
وقد تابع العرب من بعد الإغريق دراسة خواص الأعداد من متحابة وتامة وناقصة وغيرها بعد أن استوعبوها جيدا ووسعوا فيها وزادوا عليها، وكان ثابت ابن قرة أول من أوجد قاعدة الأعداد المتحابة وهي: إذا كانت: ب = 3 × 2ن - 1 ك = 3 × 2ن - 1 - 1 ج = 9 × 2ن - 1 - 1 (حيث إن ن عدد صحيح موجب أكبر من واحد)، وكانت ب ، ك ، ج ، أعدادا أولية فإن: (هـ = 2ن × ب × ك ع = 2ن × ج هما عددان متحابان) . مثال ذلك: في حالة ن = 2 فإن ب = 3 × 22 - 1 =11 . ك = 3 × 2 - 1 = 5 . ج = 9 × 32 - 1 = 71 . هي أعداد أولية حينئذ ينتج أن العددين: هـ = 22 × 11 × 5 = 220 . ع = 22 × 71 = 284 . فالعددان 284 ، 220 متحابان، لأن مجموع قواسم العدد 220 يساوي العدد الثاني 284 ، وكذلك مجموع قواسم العدد الثاني 284 يساوي العدد الأول 220 . فإن مجموع قواسم العدد 220 هو: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284 = ع . ومجموع قواسم العدد 284 هو: 1+2+4+71+142 = 220 = هـ . لوحظ أن (ن = 1) لا يحقق المعادلة بالرغم من أن: ب ، ك ، ج أعداد أولية. ولهذا أضاف ثابت بن قرة الشرط التالي: أن ن عدد صحيح يزيد عن الواحد. وقد تأكدت صحة قاعدة ثابت بن قرة رياضيا.
*اهتم الرياضيون المسلمون اهتماما بالغا بالمربعات السحرية كنوع من أنواع التسلية والرياضية العقلية، مثل لغة الكلمات المتقاطعة. ويتكون المربع السحري من عدد من الأعمدة والصفوف المتساوية، بحيث يكون مجموع الأرقام التي يحتوي عليها أي صف من صفوفه أو عمود من أعمدته أو قطر من قطريه متساويا.
فعلى سبيل المثال ذلك: لو حاولنا تكوين مربع سحري يكون مجموع أرقام أي صف من صفوفه أو أي عمود من أعمدته أو أي قطر من قطريه يساوي 15. وفي هذه الحالة يصبح علينا أن نكمل باقي المربعات بأعداد يساوي مجموعها 15 آخذين في الاعتبار الأرقام التي وضعت في كل عمود.
ولقد أولى ثابت بن قرة المربعات السحرية هذه عناية كبيرة حتى توصل إلى معادلة عامة للمربعات السحرية وصاغها بالشكل الآتي:-
ج=ن(1+ن2)
--------------
2
حيث أن (ن) عدد الأعمدة أو الصفوف، و(جـ) مجموع الأرقام في أي عمود أو صف أو قطر.
مثال:
كون من الأرقام مربعا سحريا يكون عدد صفوفه أو أعمدته أربعة.
الطريقة:
ج= 4(1+16)
----------- = 34
2
الحل:
يوضع في كل من الأعمدة أو الصفوف أو القطرين من الأرقام ما مجموعه 34 .
فعلى سبيل المثال ذلك: لو حاولنا تكوين مربع سحري يكون مجموع أرقام أي صف من صفوفه أو أي عمود من أعمدته أو أي قطر من قطريه يساوي 15. وفي هذه الحالة يصبح علينا أن نكمل باقي المربعات بأعداد يساوي مجموعها 15 آخذين في الاعتبار الأرقام التي وضعت في كل عمود.
ولقد أولى ثابت بن قرة المربعات السحرية هذه عناية كبيرة حتى توصل إلى معادلة عامة للمربعات السحرية وصاغها بالشكل الآتي:-
ج=ن(1+ن2)
--------------
2
حيث أن (ن) عدد الأعمدة أو الصفوف، و(جـ) مجموع الأرقام في أي عمود أو صف أو قطر.
مثال:
كون من الأرقام مربعا سحريا يكون عدد صفوفه أو أعمدته أربعة.
الطريقة:
ج= 4(1+16)
----------- = 34
2
الحل:
يوضع في كل من الأعمدة أو الصفوف أو القطرين من الأرقام ما مجموعه 34 .
الطرح بالاستلاف
*طريقة الطرح بالاستلاف - عند الضرورة لذلك - طريقة ميسرة ابتكرها العالم الرياضي النسوي لإجراء عملية الطرح بيسر وبسرعة. فلإجراء عملية طرح :
422 - 287 =
تسير خطوات عملية الطرح بالاستلاف كالتالي:
422
287
----
135
و تفسيرها هو: الخانة الأولى: 2-7 لا يصح . ولذلك نستلف 1 من خانة العشرات، ويساوى عشرة و نطرح 10 -7 =3 ، ثم نجمع 3 + 2 بأعلى العمود الأول = 5 ، و توضع في الناتج. و الخانة الثانية 2 بأعلى العمود أصبحت 1 لأننا استلفنا منها واحد . وإذن: 1-8 لا يصح . فنستلف 1 من خانة المئات ، و يساوى 100 ، و 10 -8 = 2 ،ثم نجمع 2+1 بأعلى العمود الثاني = 3 ، وتوضح في الناتج. الخانة الثالثة 4 تصبح 3 لأننا استلفنا منها 1 ، و إذن 3-2 = 1 و توضع في الناتج .
وهذه الطريقة العربية في عملية الطرح لا تزال مستخدمة إلى اليوم في مدارس العالم مع تعديل طفيف. وهناك طريقتان عربيتان أخريان للطرح بالاستلاف، وبالإضافة إلى العدد المطروح منه . وللطرح من اليسار إلى اليمين بدلا من اليمين إلى اليسار . ولم تنل أي من هاتين الطريقتين العربيتين شهرة مدرسية في التعليم بالعالم الحديث .
422 - 287 =
تسير خطوات عملية الطرح بالاستلاف كالتالي:
422
287
----
135
و تفسيرها هو: الخانة الأولى: 2-7 لا يصح . ولذلك نستلف 1 من خانة العشرات، ويساوى عشرة و نطرح 10 -7 =3 ، ثم نجمع 3 + 2 بأعلى العمود الأول = 5 ، و توضع في الناتج. و الخانة الثانية 2 بأعلى العمود أصبحت 1 لأننا استلفنا منها واحد . وإذن: 1-8 لا يصح . فنستلف 1 من خانة المئات ، و يساوى 100 ، و 10 -8 = 2 ،ثم نجمع 2+1 بأعلى العمود الثاني = 3 ، وتوضح في الناتج. الخانة الثالثة 4 تصبح 3 لأننا استلفنا منها 1 ، و إذن 3-2 = 1 و توضع في الناتج .
وهذه الطريقة العربية في عملية الطرح لا تزال مستخدمة إلى اليوم في مدارس العالم مع تعديل طفيف. وهناك طريقتان عربيتان أخريان للطرح بالاستلاف، وبالإضافة إلى العدد المطروح منه . وللطرح من اليسار إلى اليمين بدلا من اليمين إلى اليسار . ولم تنل أي من هاتين الطريقتين العربيتين شهرة مدرسية في التعليم بالعالم الحديث .
2010/03/10
الرياضيات عند الإغريق
*
الرياضيات عند الإغريق
قام الإغريق بعدما نقلوا الرياضيات الفرعونية إستطاع تاليس (طاليس) في القرن السابع ق.م. أن يجعل الرياضيات نظريات بحتة حيث بين أن قطر الدائرة يقسمها لنصفين متساويين في المساحة والمثلث المتساوي الضلعين به زاويتين متساويتين. وتوصل بعده فيثاغورث إلى أن في المثلث مربع ضلعي الزاوية القائمة يساوي مربع الوتر. وفي الإسكندرية ظهر إقليدس بالقرن الثالث ق.م. و وضع أسس الهندسة التي عرفت بالإقليدية والتي مازالت نظرياتهاتتبع اليوم. ثم ظهر أرخميدس (287 ق.م. – 212ق.م. ) باليونان حيث عين الكثافة النوعية .
لم يضف الرومان جديدا على الرياضيات بعد الإغريق .
الرياضيات الهندية
في بلاد الشرق نجد الهنود قد إبتكروا الأرقام العربية التي نستعملها حتي اليوم وقد أخذها العرب عنهم وأطلقوا عليها علم الخانات. وكان الهنود فيه يستعملون الأعداد العشرية من 1-9 واضافوا لها الصفر, وهذا العلم نقلته أوربا عن المسلمين.
== == الرياضيات عند المسلمين == ==
في بغداد أسس الخوارزمي علم الجبر والمقابلة في أوائل القرن التاسع.وفي خلافة أبي جعفر المنصور ترجمت بعض أعمال العالم السكندري القديم بطليموس القلوذي CLAUDIUS PTOLOMY ( (ت. 17 م)، ومن أهمها كتابه المعروف، باسم "المجسطي ". واسم هذا الكتاب في اليونانية " (EMEGAL MATHEMATIKE ، " أي الكتاب الأعظم في الحساب .والكتاب دائرة معارف في علم الفلك والرياضيات. وقد أفاد منه علماء المسلمين وصححوا بعض معلوماته وأضافوا إليه. وعن الهندية، ترجمت أعمال كثيرة مثل الكتاب الهندي المشهور في علم الفلك والرياضيات، سد هانتاSiddhanta أي " المعرفة والعلم والمذهـب ". وقد ظهرت الترجمة العربية في عهد أبي جعفر المنصور بعنوان "السند هند.ومع كتاب "السند هند" دخل علم الحساب الهندي بأرقامه المعروفة في العربية بالأرقام الهندية فقد تطور على أثرها علم العدد عند العرب، وأضاف المسلمون نظام الصفرمما جعل الرياضيين العرب يحلون الكثير من المعادلات الرياضية من مختلف الدرجات، فقد سهل استعماله لجميع أعمال الحساب، وخلص نظام الترقيم من التعقيد، ولقد أدى استعمال الصفر في العمليات الحسابية إلى اكتشاف الكسر العشري الذي ورد في كتاب مفتاح الحساب للعالم الرياضى جمشيد بن محمود غياث الدين الكاشي (ت 840 هـ1436 م)، وكان هذا الكشف المقدمة الحقيقية للدراسات والعمليات الحسابية المتناهية في الصغر. و استخرج إبراهيم الفزاري جدولاً حسابياً فلكياً يبين مواقع النجوم وحساب حركاتها وهو ما عرف بالزيج . وفي بغداد أسس الخزارزمي علم الجبر والمقابلة في أوائل القرن التاسع . . وكان من علماء بيت الحكمة ببعداد محمد بن موسى الخوارزمي (ت 232 هـ846 م) " الذي عهد إليه المأمون بوضع كتاب في علم الجبر، فوضع كتابه " المختصر في حساب الجبر والمقابلة وهذا الكتاب هو الذي أدى إلى وضع لفظ الجبر وإعطائه مدلوله الحالي. قال ابن خلدون: "علم الجبر والمقابلة (أي المعادلة) من فروع علوم العدد، وهو صناعة يستخرج بها العدد المجهول من العدد المعلوم إذا كان بينهما صلة تقتضي ذلك فيقابل بعضها بعضاً، ويجبر ما فيها من الكسر حتى يصير صحيحاً". فالجبر علم عربي سماه العرب بلفظ من لغتهم، و الخوارزمي هو الذي خلع عليه هذا الاسم الذي انتقل إلى اللغات الأوروبية بلفظه العربي ALGEBRA .و ترجم هذا الكتاب للاتينية في سنة 1135 م .وظل يدرس في جامعات أوربا حتى القرن 16 م. كما انتقلت الأرقام العربية إلى أوربا عن طريق ترجمات كتب الخوارزمي الذي أطلق عليه في اللاتينية "الجور تمي "ALGORISMO ثم عدل للجورزمو ALGORISMO للدلالة على نظام الأعداد وعلم الحساب والجبر وطريقة حل المسائل الحسابية وظهرت عبقرية "الخوارزمي " في " الزيج " أو الجدول الفلكي الذي صنعه وأطلق عليه اسم "السند هند الصغير،،وقد جامع فيه بين مذهب الهند، ومذهب الفرس، ومذهب بطليموس (مصر )، فاستحسنه أهل زمانه ذلك وانتفعوا به مدة طويلة فذاعت شهرته وصار لهذا الزيج أثر كبير في الشرق والغرب. وقد نقل الغرب العلوم الرياضية عن العرب وطوروها. وعرف حساب أباكوس: Abacus.أو أباكس.لوحة العد . وهي عبارة عن اطار وضعت به كرات للعد اليدوي. وكانت هذه اللوحة يستعملها الاغريق والمصر يون والرومان وبعض البلدان الأوربية قبل وصول الحساب العربي أوربا في القرن 13. وكان يجري من خلال لوحة العد الجمع والطرح والضرب والقسمة.
الرياضيات عند الحضارات الأمريكية القديمة
وفي حضارة المايا بالمكسيك عرف الحساب . وكان متطورا . فالوحدة نقطة والخمسة وحدات قضيب والعشرون هلال . وكانوا يتخذون اشكال الإنسان والحيوان كوحدات عددية .
تطور الرياضيات
وبناء على ما سبق فإن الرياضيات ظهرت بداية كحاجة للقيام بالحسابات في الاعمال التجارية، و لقياس المقادير، كالاطوال و المساحات، و لتوقع الاحداث الفلكية، يمكن اعتبار الحاجات الثلاث هذه البداية للاقسام العريضة الثلاث للرياضيات، و هي دراسة البنية، الفضاء، و التغير. ظهرت دراسة البنى مع ظهور الاعداد، و كانت بداية مع الاعداد الطبيعية و الاعداد الصحيحة و العمليات الحسابية عليها، ثم ادت الدراسات المعمقة على الاعداد الى ظهور نظرية الاعداد. كما ادى البحث عن طرق لحل المعادلات الى ظهور الجبر المجرد، ان الفكرة الفيزيائية الشعاع تم تعميمها الى الفضاءات الشعاعية و تمت دراستها في الجبر الخطي.
ظهرت دراسة الفضاء مع الهندسة، وبدأت مع الهندسة الاقليدية و علم المثلثات، في الفضائين ثنائي و ثلاثي البعد، ثم تم تعميم ذلك لاحقا الى علوم هندسية غير اقليدية، لتلعب دورا في النظرية النسبية العامة.
ان فهم و دراسة التغير في القيم القابلة للقياس هو ظاهرة عامة في العلوم الطبيعية، فظهر التحليل الرياضي كاداة مناسبة للقيام بهذه العمليات، حيث ان الفكرة العامة هي التعبير عن القيمة بتابع، و من ثم يمكن تحليل الكثير من الظواهر على اساس دراسة معدل تغير هذا التابع.
مع ظهور الحواسيب، ظهرت العديد من المفاهيم الرياضية الجديدة، كعلوم قابلية الحساب، تعقيد الحساب، نظرية المعلومات، و الخوارزميات. العديد من هذه المفاهيم هي حاليا جزء من علوم الحاسوب.
حقل اخر هام من حقول لرياضيات هو الاحصاء، الذي يستخدم نظرية الاحتمال في وصف و تحليل و توقع سلوك الظواهر في مختلف العلوم، بينما يوفر التحليل الرياضي طرقا فعالة في القيام بالعديد من العمليات الحسابية على الحاسوب، مع اخذ اخطاء التقريب بالاعتبار
الرياضيات عند الإغريق
قام الإغريق بعدما نقلوا الرياضيات الفرعونية إستطاع تاليس (طاليس) في القرن السابع ق.م. أن يجعل الرياضيات نظريات بحتة حيث بين أن قطر الدائرة يقسمها لنصفين متساويين في المساحة والمثلث المتساوي الضلعين به زاويتين متساويتين. وتوصل بعده فيثاغورث إلى أن في المثلث مربع ضلعي الزاوية القائمة يساوي مربع الوتر. وفي الإسكندرية ظهر إقليدس بالقرن الثالث ق.م. و وضع أسس الهندسة التي عرفت بالإقليدية والتي مازالت نظرياتهاتتبع اليوم. ثم ظهر أرخميدس (287 ق.م. – 212ق.م. ) باليونان حيث عين الكثافة النوعية .
لم يضف الرومان جديدا على الرياضيات بعد الإغريق .
الرياضيات الهندية
في بلاد الشرق نجد الهنود قد إبتكروا الأرقام العربية التي نستعملها حتي اليوم وقد أخذها العرب عنهم وأطلقوا عليها علم الخانات. وكان الهنود فيه يستعملون الأعداد العشرية من 1-9 واضافوا لها الصفر, وهذا العلم نقلته أوربا عن المسلمين.
== == الرياضيات عند المسلمين == ==
في بغداد أسس الخوارزمي علم الجبر والمقابلة في أوائل القرن التاسع.وفي خلافة أبي جعفر المنصور ترجمت بعض أعمال العالم السكندري القديم بطليموس القلوذي CLAUDIUS PTOLOMY ( (ت. 17 م)، ومن أهمها كتابه المعروف، باسم "المجسطي ". واسم هذا الكتاب في اليونانية " (EMEGAL MATHEMATIKE ، " أي الكتاب الأعظم في الحساب .والكتاب دائرة معارف في علم الفلك والرياضيات. وقد أفاد منه علماء المسلمين وصححوا بعض معلوماته وأضافوا إليه. وعن الهندية، ترجمت أعمال كثيرة مثل الكتاب الهندي المشهور في علم الفلك والرياضيات، سد هانتاSiddhanta أي " المعرفة والعلم والمذهـب ". وقد ظهرت الترجمة العربية في عهد أبي جعفر المنصور بعنوان "السند هند.ومع كتاب "السند هند" دخل علم الحساب الهندي بأرقامه المعروفة في العربية بالأرقام الهندية فقد تطور على أثرها علم العدد عند العرب، وأضاف المسلمون نظام الصفرمما جعل الرياضيين العرب يحلون الكثير من المعادلات الرياضية من مختلف الدرجات، فقد سهل استعماله لجميع أعمال الحساب، وخلص نظام الترقيم من التعقيد، ولقد أدى استعمال الصفر في العمليات الحسابية إلى اكتشاف الكسر العشري الذي ورد في كتاب مفتاح الحساب للعالم الرياضى جمشيد بن محمود غياث الدين الكاشي (ت 840 هـ1436 م)، وكان هذا الكشف المقدمة الحقيقية للدراسات والعمليات الحسابية المتناهية في الصغر. و استخرج إبراهيم الفزاري جدولاً حسابياً فلكياً يبين مواقع النجوم وحساب حركاتها وهو ما عرف بالزيج . وفي بغداد أسس الخزارزمي علم الجبر والمقابلة في أوائل القرن التاسع . . وكان من علماء بيت الحكمة ببعداد محمد بن موسى الخوارزمي (ت 232 هـ846 م) " الذي عهد إليه المأمون بوضع كتاب في علم الجبر، فوضع كتابه " المختصر في حساب الجبر والمقابلة وهذا الكتاب هو الذي أدى إلى وضع لفظ الجبر وإعطائه مدلوله الحالي. قال ابن خلدون: "علم الجبر والمقابلة (أي المعادلة) من فروع علوم العدد، وهو صناعة يستخرج بها العدد المجهول من العدد المعلوم إذا كان بينهما صلة تقتضي ذلك فيقابل بعضها بعضاً، ويجبر ما فيها من الكسر حتى يصير صحيحاً". فالجبر علم عربي سماه العرب بلفظ من لغتهم، و الخوارزمي هو الذي خلع عليه هذا الاسم الذي انتقل إلى اللغات الأوروبية بلفظه العربي ALGEBRA .و ترجم هذا الكتاب للاتينية في سنة 1135 م .وظل يدرس في جامعات أوربا حتى القرن 16 م. كما انتقلت الأرقام العربية إلى أوربا عن طريق ترجمات كتب الخوارزمي الذي أطلق عليه في اللاتينية "الجور تمي "ALGORISMO ثم عدل للجورزمو ALGORISMO للدلالة على نظام الأعداد وعلم الحساب والجبر وطريقة حل المسائل الحسابية وظهرت عبقرية "الخوارزمي " في " الزيج " أو الجدول الفلكي الذي صنعه وأطلق عليه اسم "السند هند الصغير،،وقد جامع فيه بين مذهب الهند، ومذهب الفرس، ومذهب بطليموس (مصر )، فاستحسنه أهل زمانه ذلك وانتفعوا به مدة طويلة فذاعت شهرته وصار لهذا الزيج أثر كبير في الشرق والغرب. وقد نقل الغرب العلوم الرياضية عن العرب وطوروها. وعرف حساب أباكوس: Abacus.أو أباكس.لوحة العد . وهي عبارة عن اطار وضعت به كرات للعد اليدوي. وكانت هذه اللوحة يستعملها الاغريق والمصر يون والرومان وبعض البلدان الأوربية قبل وصول الحساب العربي أوربا في القرن 13. وكان يجري من خلال لوحة العد الجمع والطرح والضرب والقسمة.
الرياضيات عند الحضارات الأمريكية القديمة
وفي حضارة المايا بالمكسيك عرف الحساب . وكان متطورا . فالوحدة نقطة والخمسة وحدات قضيب والعشرون هلال . وكانوا يتخذون اشكال الإنسان والحيوان كوحدات عددية .
تطور الرياضيات
وبناء على ما سبق فإن الرياضيات ظهرت بداية كحاجة للقيام بالحسابات في الاعمال التجارية، و لقياس المقادير، كالاطوال و المساحات، و لتوقع الاحداث الفلكية، يمكن اعتبار الحاجات الثلاث هذه البداية للاقسام العريضة الثلاث للرياضيات، و هي دراسة البنية، الفضاء، و التغير. ظهرت دراسة البنى مع ظهور الاعداد، و كانت بداية مع الاعداد الطبيعية و الاعداد الصحيحة و العمليات الحسابية عليها، ثم ادت الدراسات المعمقة على الاعداد الى ظهور نظرية الاعداد. كما ادى البحث عن طرق لحل المعادلات الى ظهور الجبر المجرد، ان الفكرة الفيزيائية الشعاع تم تعميمها الى الفضاءات الشعاعية و تمت دراستها في الجبر الخطي.
ظهرت دراسة الفضاء مع الهندسة، وبدأت مع الهندسة الاقليدية و علم المثلثات، في الفضائين ثنائي و ثلاثي البعد، ثم تم تعميم ذلك لاحقا الى علوم هندسية غير اقليدية، لتلعب دورا في النظرية النسبية العامة.
ان فهم و دراسة التغير في القيم القابلة للقياس هو ظاهرة عامة في العلوم الطبيعية، فظهر التحليل الرياضي كاداة مناسبة للقيام بهذه العمليات، حيث ان الفكرة العامة هي التعبير عن القيمة بتابع، و من ثم يمكن تحليل الكثير من الظواهر على اساس دراسة معدل تغير هذا التابع.
مع ظهور الحواسيب، ظهرت العديد من المفاهيم الرياضية الجديدة، كعلوم قابلية الحساب، تعقيد الحساب، نظرية المعلومات، و الخوارزميات. العديد من هذه المفاهيم هي حاليا جزء من علوم الحاسوب.
حقل اخر هام من حقول لرياضيات هو الاحصاء، الذي يستخدم نظرية الاحتمال في وصف و تحليل و توقع سلوك الظواهر في مختلف العلوم، بينما يوفر التحليل الرياضي طرقا فعالة في القيام بالعديد من العمليات الحسابية على الحاسوب، مع اخذ اخطاء التقريب بالاعتبار
*أعداد حقيقية
*أعداد حقيقية
في الرياضيات , تعرف مجموعة الأعداد الحقيقية على أنها الأعداد التي تقابل واحدا لواحد نقاط مستقيم العداد اللامتناهي . تأخذ الأعداد الحقيقية اسمها من تضادها مع فكرة الأعداد التخيلية .
يمكن للأعداد الحقيقية ان تكون منطقة (كسرية) أو غير منطقة , موجبة او سالبة أو معدومة (صفر) .
كما يمكن لها أن تقوم بقياس الكميات المستمرة على اختلافها . يمكن التعبير عنها بالكسور العشرية التي تكون عادة سلسلة من الأرقام غير منتهية و غير دورية في حالة الأرقام غير المنطقة (غير الكسرية) أو دورية في حالة الأعداد الكسرية .
نشأت فكرة الأعداد الحقيقية بسبب وجود أطوال لا يمكن التعبير عن قياسها باستعمال أعداد صحيحة طبيعية أو كسرية أو أعداد جذرية , لهذا يتم إنشاء مجموعة الأعداد الحقيقية و في هذه المجموعة المعادلة الآتية: x2 + a = 0 لها حل في هذه المجموعة:
في الرياضيات , تعرف مجموعة الأعداد الحقيقية على أنها الأعداد التي تقابل واحدا لواحد نقاط مستقيم العداد اللامتناهي . تأخذ الأعداد الحقيقية اسمها من تضادها مع فكرة الأعداد التخيلية .
يمكن للأعداد الحقيقية ان تكون منطقة (كسرية) أو غير منطقة , موجبة او سالبة أو معدومة (صفر) .
كما يمكن لها أن تقوم بقياس الكميات المستمرة على اختلافها . يمكن التعبير عنها بالكسور العشرية التي تكون عادة سلسلة من الأرقام غير منتهية و غير دورية في حالة الأرقام غير المنطقة (غير الكسرية) أو دورية في حالة الأعداد الكسرية .
نشأت فكرة الأعداد الحقيقية بسبب وجود أطوال لا يمكن التعبير عن قياسها باستعمال أعداد صحيحة طبيعية أو كسرية أو أعداد جذرية , لهذا يتم إنشاء مجموعة الأعداد الحقيقية و في هذه المجموعة المعادلة الآتية: x2 + a = 0 لها حل في هذه المجموعة:
التفاضل والتكامل
*
التفاضل والتكامل
1 - التفاضل
التفاضل هو احد فروع علم الرياضيات وهو يعنى بمقدار تناسب التغير عند نقطة معينة في علاقة ما ، ورياضياً مفاضلة الدالة(أو التابع) عند نقطة معينة هو مقياس لمقدار تغير متغيير بالنسبة لمتغير آخر.
يقوم مبدأ التفاضل على حساب التغير في قيمة ما بين نقطتين بالنسبة لمتغير ثاني ، ومن ثم تقليل الفرق للمتغير الثاني لحساب أدق للتغير وذلك حتى يؤول الفرق بين قيمتي المتغير الثاني إلى الصفر. فمثلا إذا كان هناك علاقة بين المسافة التي تقطعها سيارة ما بدءا من نقطة البداية في سباق ما والزمن المار منذ لحظة الإنطلاق ، فإن سرعة السيارة في السباق تساوي الفرق بين القيمة الأخيرة للزمن والقيمة الأولى له ، اي بكلمات اخرى الزمن المستغرق للسباق . والفرق بين المسافة المقطوعة بالنسبة لهذا المتغير (أي الزمن) ستكون المسافة المقطوعة عند إنتهاء السباق (أي المسافة المقابلة للنقطة الثانية في متغير الزمن) والمسافة المقطوعة عند إبتداء السباق (أي المسافة المقابلة للنقطة الأولى في متغير الزمن ، والذي يساوي في هذا الحالة صفر متر عند الزمن صفر) ، ولكن ما عند تقسيم مسافة السباق إلى فترات زمنية معينة ، فإنه يمكن حساب أكثر من قيمة للسرعة ، وذلك بقسمة المسافة المقطوعة في الدقيقة الأولى على زمن دقيقة واحدة. وبالتالي فإنه يمكن الحصول على معدل السرعة خلال الدقيقة الأولى أو الثانية أو العاشرة أو دقيقة من دقائق السباق. ويمكن فعل المثل للثواني ، فنحسب سرعة السيارة في أية ثانية من ثواني السباق ، وهكذا بأي درجة من الدقة ، حتى إذا قلنا أن التغيير في الزمن سيؤول الى الصفر ، اي اننا نريد السرعة بين زمنين الفرق بينهما ضئيل لدرجة انه قريب جدا من الصفر ، فإن النظريات الرياضية تسمح لنا بإستنتاج حل لهذه المسألة وهذا الحل يسمى بتفاضل دالة المسافة-الزمن عند نقطة ما. يفيد هذا الموضوع في جميع فروع العلم من الفيزياء أو الكيماء أو المجالات التقنية ......
تفاضل جزئي
مواضيع متعلقة
* نهاية (رياضيات)
* اشتقاق (رياضيات)
2 - التكامل
في علم الرياضيات، تعتبر مكاملة الدالة نوعاً من التعميم لكميات قابلة للتجزئة مثل :المساحة أو الحجم أو الكتلة أو أي مجموع لعناصر متناهية في الصغر.
بالرغم من تعدد التعاريف المستخدمة للتكامل وتعدد طرق استخدامه فإن نتيجة هذه الطرق جميعها متشابهة وجميع التعاريف تؤدي في النهاية إلى المعنى ذاته. يمكن اعتبار تكامل دالة حقيقية مستمرة ذات قيم موجبة لمتغير حقيقي بين قيمة حدية دنيا و قيمة حدية عليا هي المساحة المحصورة بين المستقيمين الرأسيين : x=a, x=b و المحور x و المنحني المحدد بالدالة , يمكن صياغة ذلك بشكل رياضي:
S= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2:a \leq x \leq b ,0 \leq y \leq f(x)\},
ويرمز لهذه العملية حسب اصطلاح لورينتز :
\int_a^b f(x)\,dx.
النقطة الأساسية في التكامل تأتي من المبرهنة الأساسية في التكامل و التي تنص على أن مشتق تابع المساحة تحت منحني الدالة هو الدالة نفسها . بالتالي اذا عرفنا دالة تربط القيمة x يقيمة المساحة المحدودة بين منحني الدالة f(x) و محور السينات و من الجهة الخرى محدودة بمحور العينات و المستقيم X=x , تدعى هذه الدالة ب دالة المساحة و مشتقها هو الدالة f(x) نفسها , لذلك ندعو تابع المساحة عكس الإشتقاق أو التابع الأصلي للدالة f(x) .
يقوم حساب التكامل على ايجاد التابع الأصلي للدالة التي نريد القيام بمكاملتها .
وقد عرض جوتفريد لايبنتز، في 13 نوفمبر 1675، أول عملية تكامل لحساب المساحة تحت منحنى الدالة ص = د(س).
التفاضل والتكامل
1 - التفاضل
التفاضل هو احد فروع علم الرياضيات وهو يعنى بمقدار تناسب التغير عند نقطة معينة في علاقة ما ، ورياضياً مفاضلة الدالة(أو التابع) عند نقطة معينة هو مقياس لمقدار تغير متغيير بالنسبة لمتغير آخر.
يقوم مبدأ التفاضل على حساب التغير في قيمة ما بين نقطتين بالنسبة لمتغير ثاني ، ومن ثم تقليل الفرق للمتغير الثاني لحساب أدق للتغير وذلك حتى يؤول الفرق بين قيمتي المتغير الثاني إلى الصفر. فمثلا إذا كان هناك علاقة بين المسافة التي تقطعها سيارة ما بدءا من نقطة البداية في سباق ما والزمن المار منذ لحظة الإنطلاق ، فإن سرعة السيارة في السباق تساوي الفرق بين القيمة الأخيرة للزمن والقيمة الأولى له ، اي بكلمات اخرى الزمن المستغرق للسباق . والفرق بين المسافة المقطوعة بالنسبة لهذا المتغير (أي الزمن) ستكون المسافة المقطوعة عند إنتهاء السباق (أي المسافة المقابلة للنقطة الثانية في متغير الزمن) والمسافة المقطوعة عند إبتداء السباق (أي المسافة المقابلة للنقطة الأولى في متغير الزمن ، والذي يساوي في هذا الحالة صفر متر عند الزمن صفر) ، ولكن ما عند تقسيم مسافة السباق إلى فترات زمنية معينة ، فإنه يمكن حساب أكثر من قيمة للسرعة ، وذلك بقسمة المسافة المقطوعة في الدقيقة الأولى على زمن دقيقة واحدة. وبالتالي فإنه يمكن الحصول على معدل السرعة خلال الدقيقة الأولى أو الثانية أو العاشرة أو دقيقة من دقائق السباق. ويمكن فعل المثل للثواني ، فنحسب سرعة السيارة في أية ثانية من ثواني السباق ، وهكذا بأي درجة من الدقة ، حتى إذا قلنا أن التغيير في الزمن سيؤول الى الصفر ، اي اننا نريد السرعة بين زمنين الفرق بينهما ضئيل لدرجة انه قريب جدا من الصفر ، فإن النظريات الرياضية تسمح لنا بإستنتاج حل لهذه المسألة وهذا الحل يسمى بتفاضل دالة المسافة-الزمن عند نقطة ما. يفيد هذا الموضوع في جميع فروع العلم من الفيزياء أو الكيماء أو المجالات التقنية ......
تفاضل جزئي
مواضيع متعلقة
* نهاية (رياضيات)
* اشتقاق (رياضيات)
2 - التكامل
في علم الرياضيات، تعتبر مكاملة الدالة نوعاً من التعميم لكميات قابلة للتجزئة مثل :المساحة أو الحجم أو الكتلة أو أي مجموع لعناصر متناهية في الصغر.
بالرغم من تعدد التعاريف المستخدمة للتكامل وتعدد طرق استخدامه فإن نتيجة هذه الطرق جميعها متشابهة وجميع التعاريف تؤدي في النهاية إلى المعنى ذاته. يمكن اعتبار تكامل دالة حقيقية مستمرة ذات قيم موجبة لمتغير حقيقي بين قيمة حدية دنيا و قيمة حدية عليا هي المساحة المحصورة بين المستقيمين الرأسيين : x=a, x=b و المحور x و المنحني المحدد بالدالة , يمكن صياغة ذلك بشكل رياضي:
S= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2:a \leq x \leq b ,0 \leq y \leq f(x)\},
ويرمز لهذه العملية حسب اصطلاح لورينتز :
\int_a^b f(x)\,dx.
النقطة الأساسية في التكامل تأتي من المبرهنة الأساسية في التكامل و التي تنص على أن مشتق تابع المساحة تحت منحني الدالة هو الدالة نفسها . بالتالي اذا عرفنا دالة تربط القيمة x يقيمة المساحة المحدودة بين منحني الدالة f(x) و محور السينات و من الجهة الخرى محدودة بمحور العينات و المستقيم X=x , تدعى هذه الدالة ب دالة المساحة و مشتقها هو الدالة f(x) نفسها , لذلك ندعو تابع المساحة عكس الإشتقاق أو التابع الأصلي للدالة f(x) .
يقوم حساب التكامل على ايجاد التابع الأصلي للدالة التي نريد القيام بمكاملتها .
وقد عرض جوتفريد لايبنتز، في 13 نوفمبر 1675، أول عملية تكامل لحساب المساحة تحت منحنى الدالة ص = د(س).
تحليل رياضي
*
تحليل رياضي
يطلق اسم التحليل الرياضي على فرع الرياضيات الذي يهتم بدراسة الدوال الرياضية و تحولاتها باستخدام أدوات ترتبط بمفاهيم النهاية , حيث تدرس خواص مثل الاستمرار و الاشتقاق و التكامل و التفاضل , التقعر و الإنعطاف في منحنيات التوابع و الدوال, وغالباً ما تدرس هذه المفاهيم على أعداد حقيقية أو أعداد مركبة والدوال المعرفة عليها ومن الممكن أن تدرس أيضاً على فضاءات أخرى كالفضاء المتري أو الطبولوجي.
التاريخ
أول من عرف باستخدام مفاهيم النهايات limits و التقارب convergence كان عدد من رياضيي اليونان أمثال اودوكسوس و أرخميدس الذين قاما باستخدام هذه المفاهيم بشكل غير تقليدي عندما استخدما طريقة method of exhaustion لحساب مساحة و حجم المساحات و الأجسام . في القرن الثاني عشر قام الرياضي الهندي باسكارا بإعطاء عما يمكن أن ندعوه الان "معامل تفاضلي" differential coefficient و كانت الفكرة الأساسية وراء ما ندعوه حاليا مبرهنة رول. في القرن الرابع عشر قام الرياضياتي الهندي مادهافا من سانغاماغراما بالتعبير عن عدة دوال مثلثية كسلاسل غير متناهية , قدر مقدار الخطأ في التقديرات التي تعطيها هذه السلاسل .
في اوروبا ,نشأ التحليل في القرن السابع عشر, عن طريق اختراع مستقل لكلا العالمين اسحاق نيوتن و غوتفريد لايبنتز . في القرن السابع عشر و الثامن عشر, تطورت تطبيقات مواضيع التحليل مثل حسبان التغيرات و المعادلات التفاضلية النظامية و الجزئية, سلاسل فورييه و الدوال المولدة generating function في الأعمال التطبيقية .كما استخدم التحليل الرياضي لمقاربة مسائل الرياضيات المتقطعة بمثيلاتها المستمرة و نجحت هذه الطريقة في عدة حالات .
خلال القرن الثامن عشر كان تعريف الدالة الرياضي موضع نقاش طيل بين الرياضياتيين . في القرن التاسع عشر , كاوشي كان أول من وضع التحليل على أساس منطقي ثابت بإدخال مفهوم سلسلة كاوشي . كما إنه بدأ بوضع النظرية الشكلية للتحليل المركب (العقدي). سيمون بواسون و ليوفيل Liouville و جان-بابتيست جوزيف فورييه و آخرون قاموا بدراسة المعادلات التفاضلية الجزئية و التحليل التوافقي harmonic analysis.
في متصف القرن , قدم بيرنارد ريمان نظريته حول التكامل . جاء بعده كارل فايرشتراس الذي قام بحسبنة arithmetization التحليل في نهاية القرن التاسع عشر , معبرا عن شكوكه ان البرهنة الهندسية تحوي خللا مضللا و هنا قام بتقديم تعريف ε-δ للنهاية .
بدأ عندها شك الرياضيون بأنهم يفترضون وجود استمرارية continuum في الأعداد الحقيقية بدون برهان . قام عندها ديديكايند بتشكيل الأعداد الحقيقية باستخدام حد ديديكايند Dedekind cut . في ذات الوقت تتالت المحاولات لتحسن مبرهنة تكامل ريمان مما أدى لدراسة "حجم" مجموعة تقطعات discontinuity الدوال الحقيقية .
ضمن هذا السياق , قام كاميل جوردان بتطوير نظريته حول القياس , في حين طور كانتور ما يمكن تسميته حاليا بنظرية المجموعات المبسطة , باير قام بالبرهنة عن مبرهنة تصنيف باير . في أوائل القرن العشرين , تمت صياغة التحليل الرياضي باستخدام نظرية المجموعات البدهياتية axiomatic set theory. قام هنري ليون ليبيسيغ Henri Leon Lebesgue بحل مشكلة القياس , في حين قام هلبرت بتقديم فضاء هلبرت لحل المعادلات التكاملية . كانت فكرة الفضاء الشعاعي المنظم normed vector space تلوح في الأفق , في عام 1920 قام ستيفان باناخ بإيجاد التحليل الدالي functional analysis .
تحليل رياضي
يطلق اسم التحليل الرياضي على فرع الرياضيات الذي يهتم بدراسة الدوال الرياضية و تحولاتها باستخدام أدوات ترتبط بمفاهيم النهاية , حيث تدرس خواص مثل الاستمرار و الاشتقاق و التكامل و التفاضل , التقعر و الإنعطاف في منحنيات التوابع و الدوال, وغالباً ما تدرس هذه المفاهيم على أعداد حقيقية أو أعداد مركبة والدوال المعرفة عليها ومن الممكن أن تدرس أيضاً على فضاءات أخرى كالفضاء المتري أو الطبولوجي.
التاريخ
أول من عرف باستخدام مفاهيم النهايات limits و التقارب convergence كان عدد من رياضيي اليونان أمثال اودوكسوس و أرخميدس الذين قاما باستخدام هذه المفاهيم بشكل غير تقليدي عندما استخدما طريقة method of exhaustion لحساب مساحة و حجم المساحات و الأجسام . في القرن الثاني عشر قام الرياضي الهندي باسكارا بإعطاء عما يمكن أن ندعوه الان "معامل تفاضلي" differential coefficient و كانت الفكرة الأساسية وراء ما ندعوه حاليا مبرهنة رول. في القرن الرابع عشر قام الرياضياتي الهندي مادهافا من سانغاماغراما بالتعبير عن عدة دوال مثلثية كسلاسل غير متناهية , قدر مقدار الخطأ في التقديرات التي تعطيها هذه السلاسل .
في اوروبا ,نشأ التحليل في القرن السابع عشر, عن طريق اختراع مستقل لكلا العالمين اسحاق نيوتن و غوتفريد لايبنتز . في القرن السابع عشر و الثامن عشر, تطورت تطبيقات مواضيع التحليل مثل حسبان التغيرات و المعادلات التفاضلية النظامية و الجزئية, سلاسل فورييه و الدوال المولدة generating function في الأعمال التطبيقية .كما استخدم التحليل الرياضي لمقاربة مسائل الرياضيات المتقطعة بمثيلاتها المستمرة و نجحت هذه الطريقة في عدة حالات .
خلال القرن الثامن عشر كان تعريف الدالة الرياضي موضع نقاش طيل بين الرياضياتيين . في القرن التاسع عشر , كاوشي كان أول من وضع التحليل على أساس منطقي ثابت بإدخال مفهوم سلسلة كاوشي . كما إنه بدأ بوضع النظرية الشكلية للتحليل المركب (العقدي). سيمون بواسون و ليوفيل Liouville و جان-بابتيست جوزيف فورييه و آخرون قاموا بدراسة المعادلات التفاضلية الجزئية و التحليل التوافقي harmonic analysis.
في متصف القرن , قدم بيرنارد ريمان نظريته حول التكامل . جاء بعده كارل فايرشتراس الذي قام بحسبنة arithmetization التحليل في نهاية القرن التاسع عشر , معبرا عن شكوكه ان البرهنة الهندسية تحوي خللا مضللا و هنا قام بتقديم تعريف ε-δ للنهاية .
بدأ عندها شك الرياضيون بأنهم يفترضون وجود استمرارية continuum في الأعداد الحقيقية بدون برهان . قام عندها ديديكايند بتشكيل الأعداد الحقيقية باستخدام حد ديديكايند Dedekind cut . في ذات الوقت تتالت المحاولات لتحسن مبرهنة تكامل ريمان مما أدى لدراسة "حجم" مجموعة تقطعات discontinuity الدوال الحقيقية .
ضمن هذا السياق , قام كاميل جوردان بتطوير نظريته حول القياس , في حين طور كانتور ما يمكن تسميته حاليا بنظرية المجموعات المبسطة , باير قام بالبرهنة عن مبرهنة تصنيف باير . في أوائل القرن العشرين , تمت صياغة التحليل الرياضي باستخدام نظرية المجموعات البدهياتية axiomatic set theory. قام هنري ليون ليبيسيغ Henri Leon Lebesgue بحل مشكلة القياس , في حين قام هلبرت بتقديم فضاء هلبرت لحل المعادلات التكاملية . كانت فكرة الفضاء الشعاعي المنظم normed vector space تلوح في الأفق , في عام 1920 قام ستيفان باناخ بإيجاد التحليل الدالي functional analysis .
الاشتراك في:
الرسائل (Atom)