2011/06/30

حقائق عن المثلثات

تشابه مثلثين

يقال عن مثلثين أنهما متشابهين إذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما متساوية، أي عندما ينتج أحدهما عن الآخر بتكبيره أو تصغيره. وتكون أطوال أضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة، أي أنه إذا كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول هو ضعفا طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فإن طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول هو ضعفا طولي لضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا، وبالتالي فان النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني. وهناك عدة حالات للتشابه منها زاوتين ويرمز للتشابه بالرمز (~)

حالات التشابه

  1. يتشابه مثلثان إذا تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني .
  2. يتشابه مثلثان إذا تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما .
  3. يتشابه مثلثان إذا تساوى قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر و تناسبت أطوال الأضلاع التي تحتويهما هاتين الزاويتين فإن المثلثين يتشابهان .

نظرية

النسبة بين مساحتي مثلثين متشابهين تساوي مربع النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما .

نظرية فيثاغورس

واحدة من النظريات الأساسية في المثلثات هي مبرهنة فيثاغورس والتي تنص على أنه في المثلث القائم، مربع طول الوتر (c) يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين (a, b)، أي:

 c^2 = a^2 + b^2 \,

مما يعني أن معرفة طولي ضلعين من المثلث القائم، كافٍ لمعرفة طول الضلع الثالث:

من الممكن تعميم نظرية فيثاغورث لتشمل أي مثلث عبر قانون جيب التمام:

مربع طول الضلع = مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروح منه ضعف حاصل ضروب طولي الضلعين الآخرين في جيب تمام "الزاية المحصورة بينهما"

c^2 = a^2 + b^2 -2ab\ Cos\theta\,

و هو صحيح لكل المثلثات حتى لو لم تكن الزاوية ( \theta \, ) قائمة.

حساب مساحة المثلث

أبسط طريقة لحساب مساحة المثلث وأكثرها شهرة هي المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع

Area=\frac{1}{2}bh

حيث b هي طول قاعدة المثلث و h هو ارتفاع المثلث. قاعدة المثلث تمثل أي ضلع من أضلاع المثلث والارتفاع هو طول العمود النازل على هذه القاعدة من الرأس المقابل لها.

من الممكن البرهان على ذلك من خلال الشكل التالي:

حساب مساحة المثلث هندسيا

رباعي دائري



رباعيات دائرية

في الهندسة الرياضية ، الرباعي الدائري (Cyclic quadrilateral) هو الشكل الرباعي المحصور داخل دائرة ما بشرط ان جميع رؤوس ذلك الشكل الرباعي تقع على محيط الدائرة الحاصرة.

في الشكل الرباعي الدائري يكون مجموع كل زاويتين متقابلتين 180 درجة، والعكس صحيح أي إذا كان مجموع أي زاويتين متقابلتين في شكل رباعي مساوياً 180 درجة فإن الرباعي يسمى رباعي دائري .

الجدير بالذكر أن الشكل الرباعي الذي يعتبر دائما دائريا هو المربع أو المستطيل بشكل أعم ، و كذلك شبه منحرف متساوي الساقين يعد رباعي دائري دائماً . كما يجدر بنا الإشارة إلى أن كل رباعي دائري يحقق نظرية بطليموس .

متى يكون الشكل الرباعي رباعياً دائرياً

يكون الشكل الرباعي دائرياً إذا كانت :

  1. رؤوسه الأربعة على محيط دائرة واحدة .
  2. زاويتان متقابلتان متكاملتان .
  3. زاوية خارجة عن الرباعي تساوي الزاوية المقابلة للمجاورة .
*
كيف تضرب 17×18 بطريقة صآإروخيه ؟




إذا ما سألتك الآن : ما حاصل ضرب 2×3 ؟
ستجيب بكل سلاسة : 6 !
وإذا ما سألتك في كم ثانية حللت هذه المسألة ؟؟ ... ستجيب في أقل من ثانية !!
حسناً.. هل تستطيع ( بنفس السرعة ) أن تحسب حاصل ضرب 12×13 ؟
ستتردد وربما استخدمت الآلة !!.. لا لا بدون آلة......!
هناك طريقة رياضية صاروخية تضمن لك دقة النتيجة المتناهية مع سرعة رهيبة الآداء , مختصرا
بذلك الكثير من الوقت .. الهدف منها هو الحصول على نواتج ضرب الأعداد من 11 إلى 19
بنفس السرعة والكفائة التي نضرب بها الأعداد من 1 إلى 9
أكمل معنا بقية الموضوع حتى تشاهدها !
إليك الحل :
12 × 13
خذ الرقم(2) واضربه في(3) وضع أول ناتج : 6
نفس الرقم(2) اجمعه مع (3) وضع ثاني ناتح :5
ضع الواحد الأخير : 1
فتصبح النتيجة : 156
فلنجرب مثال آخر :
14×12 = ؟
4×2 = 8 وأيضا 4+2=6 .. مع الواحد الأخير إذا ً الناتج هو : 168
كما ترى , نحن نأخذ الرقمين من خانة الاحاد , ونضربهم في بعضهم.. ونأخذ نفس الرقمين
من خانة الاحاد...... ونقوم بجمعهم.. بعد ذلك نضع الواحد لأن مضروب أي رقمين في
بعضهم يكون الناتج ثلاثة أرقام ورقمنا الثالث طبعا هو الواحد .
مثال للتثبيت :
11×13 = ؟
1×3 = 3 وأيضا 1+3=4 . مع الواحد الأخير فالناتج : 143
مثال أخير :
17× 12 = ؟
7×2= 4 (العشرة تضاف الى حاصل الجمع في الخطوة الثانية)
وأيضا 7+2(+1 وهي العشرة المتبقية من الخطوة الاولى)=0
الواحد الأخير(+1) يكون الناتج 204
كما رأيت , في حالة كان هناك ناتج ضرب أو
جمع فوق العشرة فنتعامل معها كما نتعامل مع مسائل الجمع ..
مع الوقت والتعود .. ستصبح مسألة بديهية جدا وستضرب جميع الأرقام من 11إلى19 في أقل من ثلاث ثواني !!
هل رأيت سرعتها ؟؟
الآن بعد أن تعلمتها بإمكانك تطبيقها كما تشاء ! فمن منا لم يتعامل مع الضرب في أي تطبيق من حياته...
الآن بدل من أن تضيع وقتك في التخمين أو الكتابة بالآلة أمكنك إيجاد معين مناسب لك ومختصر جدا لوقتك..

2011/06/27

* عجائب الأرقام في القرآن الكريم :

من عجائب الأرقام في القرآن الكريم انه :

ذكرت الدنيا 115 مره........ ذكرت الاخره 115 مره
ذكرت الملائكه 88 مره........ ذكرت الشياطين88مره
ذكرت الحياه 145 مره........ ذكر الموت 145 مره
ذكر النفع 50 مره........ ذكر الفساد 50 مره

ذكرالناس 368 مره........ ذكرالرسل 368 مره
ذكر ابليس 11 مره........ ذكرت الاستعاذه من ابليس 11 مره
ذكرت المصيبه 75 مره ........ ذكر الشكر 75 مره
ذكر الانفاق 73 مره........ ذكر الرضا73 مره
ذكر الضالون 17 مره ........ ذكر الموتى 17 مره
ذكر المسلمين 41 مره ........ ذكر الجهاد 41مره
ذكر الذهب 8 مرات ........ ذكر الترف 8 مرات
ذكر السحر 60 مره ........ ذكرت الفتنه 60 مره
ذكرت الزكاة 32 مره ........ ذكرت البركه 32 مره
ذكر العقل 49 مره ........ ذكر النور 49 مره
ذكر اللسان 25 مره ........ ذكرت الموعظه25 مره
ذكرت الرغبه 8 مرات ........ ذكرت الرهبه 8 مرات
ذكر الجهر 16 مره ........ ذكرت العلانيه 16 مره
ذكرت الشده 114 مره ........ ذكر الصبر114 مره
ذكر الرسول محمد صلى الله عليه وسلم 4 مرات ...ذكرت الشريعه 4 مرات
ذكر الرجل 24 مره........ ذكرت المراه 24 مره
ذكرت الصلاه 5 مرات وعدد ابفروض خمسه
ذكرت كلمه الشهر 12 مره وهذا عدد الاشهر في السنه
ذكر ( اليوم ) 365 مره وهذه عدد الايام في السنة.

2011/06/26

* بسم الله الرحمن الرحيم

قال تعالى ( وفي أنفسكم أفلا تبصرون)


أيها الإنسان انظر الى نفسك كيف خلقت وكيف عشت وكيف ترد الجميل الى الله تعالى
إليكم هذه الإحصائية والتي فيها من العبر والعجب الشيء الكثير...


عدد الخلايا العصبية ( 14 ) مليار منها ( 9 ) مليارات في الدماغ تتوزع على 64 منطقة من مناطق الدمــــاغ خلايا الجهاز العصبي لا تتكاثر ولا تتغير ولو تغيــرت لا احتاج الإنسان لتعلم اللغة كُل 6 أشهــــــر.


( 25000 ) مليار كرية حمراء في دم الإنسان الواحــد لو وضعت في خط لطوقت الأرض 6 - 7 مرات.


( 70 ) ضربه للقلب في الدقيقة أي ( 100 ) ألف مرة يومياً و ( 40 ) مليون مرة سنوياً أو ( 2 ) مليار مرة في متوسط العمر بدون توقف. ( فسبحان الله )


( 3000 ) مليار مرة يزداد حجم الجنين من بداية تكوينه إلى ولادته.

( 6500 ) لتراً من الدماء يضخها القلب يومياً.

( 5 ) لترات من الدم يتم تنقيتها كُل دقيقة.

( 20 ) ألف خطوة يمشيها الرجل العادي في اليوم الواحد أي في خلال ( 80 ) سنة يكون قد طاف العالم 6 مرات.

( 23 ) ألف مرة يتنفس الإنسان في اليوم الواحد أي 204 مليون مرة في الحياة .

( 12 ) متراً مكعباً من الهواء يتنفس الإنسان يومياً , منها 2.4 متراً مكعباً من الأكسجين .

( 1.4 - 1.8 ) كجم من الطعام يأكلها الإنسان في 24 ساعة، طبعاً هذا العادي أما ( الدبا ) السمين يكون مضروب في 2.

( 2.5 ) لتر من السوائل يشربها الإنسان يومياً.

يخزن في ذاكرته ( 500 ألف ) صورة جديدة.

يفرز ( 1.5 ) لتر من اللعاب ولتراً واحداً من العرق خلال 24 ساعة.

عند الضحك تتحرك ( 17 ) عضله من عضلات وجه الإنسان.

التكشير _ أي الغضب _ يحرك ( 43 ) عضلة من عضلات وجهك التي سرعان ما تنتابها التجاعيد.

طول الأمعاء الغليظ ( 1.5 ) متر.

طول الأمعاء الدقيقة في جسم الإنسان ستة أمتار.


يتعلم الإنسان عن طريق الحواس بالنسب الآتية..

75 % البصر

13 % السمع

6 % اللمس

3 % الشم

3 % الذوق




فتبارك الله أحسن الخالقين

2011/06/25

*عجــائب الأرقــام




العدد 3025

- - قسمهُ إلى جزأين : 25 ، 30
- - أوجد مجموع الجزأين : 25 + 30 = 55
اضرب الناتج في نفسه : 55 × 55 = 3025
- - نلاحظ أن الناتج هو العدد الأصلي

العددين 8 و 5

8 × 5 = 40
88 × 5 = 440
888 × 5 = 4440
8888 × 5 = 44440
88888 × 5 =444440
888888 × 5 = 4444440

العددين 99 و 1

99 × 1 = 99
99 × 2 = 198
99 × 3 = 297
99 × 4 = 396
99 × 5 = 495
99 × 6 = 594
99 × 7 = 693
99 × 8 = 792
99 × 9 = 891
99 × 10 = 990

: نلاحظ أن
- الرقم الأوسط دائماً في ناتج الضرب = 9
- مجموع الرقمين الأول والثالث دائماً = 9
- ينقص رقم الآحاد كل مرة بمقدار 1 بينما يزداد رقم العشرات بمقدار 1





هناك عدد يكون نصفه وثلثه وربعه وخمسه وسدسه وسبعه وثمنه وتسعه وعشره أعداد صحيحة !

هل عرفت ذلك العدد ؟

العدد هو : ( 2520 )

2520 ÷ 2 = 1260


2520 ÷ 3 =840



2520 ÷ 4 =630


2520 ÷ 5 = 504


2520 ÷ 6 = 420


2520 ÷ 7 = 360


2520 ÷ 8 = 315

2520 ÷ 9 = 280

2520 ÷ 10 = 252

هل تعلم أن هذا العدد هو عبارة عن :

حاصل ضرب عدد أيام الأسبوع بعدد أيام الشهر بعدد أشهر السنة

انظر : 7 × 30 × 12 = 2520
*





نبتون

يعد نبتون أبعد الكواكب الكبيرة عن الشمس, وهو ذو قلب صخري صغير محاط بمحيط من الماء, الأمونياك و الميثان المجمد. غلافه الجوي مكون من الهيدروجين,الهليوم والميثان, هذا الغاز الذي يعطي الكوكب لونه الأزرق المميز.


نبتون بالأرقام


القطر عند خط الاستواء:
49500 كلم


البعد المتوسط عن الشمس:
4496.38 مليون كلم


السرعة المدارية المتوسطة:
5.42 كلم/الساعة


السنة بالتقويم الأرضي:
164.79 سنة أرضية


اليوم بالتقويم الأرضي:
16.11 ساعة


الثقالة: 50 كلغ على الأرض=57 كلغ على نبتون


درجات الحرارة المتوسطة:
-214°


التوابع:
8

2011/06/24

*





زحـل

إن كوكب زحل أجمل الأجرام السماوية على الإطلاق, و ما هو في الواقع إلا فلكة عملاقة من الغاز ذات القلب المعدني المحاط بالهيدروجين و الهليوم. و حلقاته الرائعة المحيرة ما هي إلا ملايين من الصخور الجليدية التي انتظمت حوله في مدار ساحر. و يمكن ملاحظة ثلاث منها بسهولة بواسطة التلسكوب, و الرابعة كذلك تمت مشاهدتها أرضيا, إلا أن المعاينة عن قرب تبين أنها مكونة من الآلاف من الحلقات الصغيرة.
ربما تكون هذه الحلقات بقايا قمر كان تابعا لزحل و انفجر فيما مضى أو لم يتم تشكله أصلا.إلا أن تاريخها حافل, فقديما, ظنها بعض المراقبين طيفا, وهناك من خالها قمرا,
بل وصل الخيال بالبعض إلى تصورها كوكبا توأما لزحل.


زحل بالأرقام


القطر عند خط الاستواء:
120660 كلم



البعد المتوسط عن الشمس:
مليون كلم1425.84



السرعة المدارية المتوسطة:
9.64 كلم/الثانية



السنة بالتقويم الأرضي:
29.46 سنة أرضية




اليوم بالتقويم الأرضي:
10.2ساعة


الثقالة: 50 كلغ على الأرض=47 كلغ على زحل

درجات الحرارة المتوسطة:
-180°




التوابع:
لا تقل عن 21
*



المشتري

يعد المشتري أضخم كواكب المجموعة الشمسية على الإطلاق, وكتلته وحده تساوي ثلاثة أضعاف كتلة كل الكواكب الأخرى مجتمعة, يتوفر المشتري على قلب صخري صغير نسبيا محاط بطبقة من الهيدروجين السائل الذي يتصرف كالمعدن نتيجة للضغط الهائل الذي يتلقاه,إضافة إلى طبقة أخرى من الهيدروجين و الهليوم الغازيين, و سحب مكونة من كريستالات الأمونياك و الميثان المتجمد و التي تشكل أشرطة حمراء و صفراء تحيط بالكوكب. و من أهم المعالم المميزة للمشتري, بقعته الحمراء الشهيرة والتي ربما تكون عاصفة من الغاز لا تهدأ على سطحه.


المشتري بالأرقام


القطر عند خط الاستواء:

142800كلم
البعد المتوسط عن الشمس:

778.26مليون كلم
السرعة المدارية المتوسطة:

13.06كلم/الثانية
السنة بالتقويم الأرضي:

11.86سنة أرضية
اليوم بالتقويم الأرضي:

9.8ساعات
الثقالة:

50كلغ على الأرض=117كلغ على المشتري
درجات الحرارة المتوسطة:

150-مئوية
التوابع:

لا يقل عن16
*الشمس

الشمس نجم عظيم ذو جاذبية قوية تحققها له كتلته الكبيرة,وهي مركز النظام الشمسي, هذا النظام الذي تعتبر أرضنا جزءا منه.إن إشعاعها وطاقتها الكبيرين يعدان المصدر الرئيسي المباشر أو غير المباشر لكل أشكال الحياة الأرضية.ونظرا لقربها منا فلا يوجد أي نجم غير الشمس يمكن دراسته بالسهولة التي تدرس بها.وهي تبعد عنا بحوالي 150 مليون كلم ومقارنة مع بعض النجوم الأخرى فهي ضئيلة لا يؤبه بها . يبلغ قطر الشمس نحو 1392000 كلم و هذا أكثر من 109 أضعاف قطر الأرض, أما الكتلة فأثقل ب333000 مرة من كتلة الأرض.و درجة الحرارة عالية جدا في مركز الشمس تبلغ 16000000 مليون درجة مئوية .يتألف القلب من غاز الهيدروجين , و الحرارة العالية تؤدي إلى تفاعلات الاندماج النووي التي تمدنا بالحرارة و الطاقة.يدعى سطح الشمس بالفوتوسفير وهو أبرد من داخلها و مع ذلك فحرارته تصل إلى 6000 مئوية.

ويبدو سطح الشمس منقطا فقاعيا بسبب الغازات التي ترتفع إليه من الداخل, و كثيرا ما تندلع من هذا السطح سحب من الغاز المتوهج تعرف بالشواظات الشمسية ,و تشاهد هذه الأخيرة بوضوح في الكسوف الكلي.تدور الشمس على محورها مرة كل 25 يوما , وتقاس هذه المدة بمراقبة البقع المظلمة الكبيرة المسماة :الكلف الشمسية . وهي مظلمة نظرا لأنها أبرد مما يحيطها ب2000 درجة مئوية. ويتباين حجمها فقد يبلغ قطر الكبار منها عدة أضعاف قطر الأرض.








الشمس وكواكبها التسعة

تشكل الشمس مع كواكبها التسعة ما يعرف بالمجموعة الشمسية .وبما أن الشمس هي الأثقل ونظرا لجاذبيتها القوية, فإنها تكون مركز المجموعة, والكواكب تدور حولها بلا كلل وفق نظام رباني دقيق, فسبحان الخالق. بالنسبة لكواكب النظام فهي بالترتيب:عطارد, الزهرة, الأرض, المريخ, المشتري, زحل, أورانوس, نبتون وبلوتو وهو الأبعد, الكواكب الأربعة الأولى صغيرة الحجم و ذات طبيعة صخرية, أما الأخرى باستثناء بلوتو فكلها كواكب غازية ضخمة و ذات قلب صخري صغير, فحجم كوكب المشتري و حده يعادل حجم جميع الكواكب الأخرى مجتمعة.


الأرض



الأرض ثالث كواكب النظام الشمسي في دورانها حول الشمس. منذ حوالي 4.6 مليار سنة, تكثفت سحابة من الغاز و الغبار في شكل كتل ضخمة منها الأرض الشابة, لقد كانت الأرض في البدء جد باردة, وبدأت حرارتها ترتفع تدريجيا نتيجة الإشعاع الشمسي, تجمعت المعادن في المركز أما الصخور الأخف فشكلت السطح, بعد ملايين السنين تكونت قشرة صلبة من الصخور ثم تلاها تكون المحيطات والغلاف الجوي, و حسب معارفنا فالأرض هي الكوكب الوحيد الذي يتميز بالحياة في الكون بأسره. وهذا راجع ربما إلى غلافها الجوي المكون أساسا من الآزوت و الهيدروجين, والذي يحمينا من جميع الإشعاعات الشمسية الضارة, رغم أن أهم طبقاته وهي الأوزون, مهددة حاليا بالتلوث. مركز الأرض مكون من الصخور و المعادن,و تغطي المياه 70 بالمائة من مساحتها .




الأرض

Earth





الأرض بالأرقام



12750 كلم


القطر عند خط الاستواء:

149.6 مليون كلم


البعد المتوسط عن الشمس:

29.79 كلم/الثانية


السرعة المدارية المتوسطة:

365.26 يوما


السنة بالتقويم الأرضي:

23.93 سلعة


اليوم بالتقويم الأرضي:

-89.2°/57.8°


درجات الحرارة المتوسطة:

1


التوابع:





تكون الأرض من الصخور التي تغطي قلبا من الحديد و النيكل, و كلما توغلنا في عمقها كلما ارتفعت درجة الحرارة.بالنسبة لنواة الكوكب فهي أصلا مكونة من طبقتين, طبقة سائلة خارجية, وأخرى صلبة داخلية أكثر حرارة لكونها تخضع لضغط هائل. إذن فالقلب المعدني للأرض محاط برداء من الصخور المنصهرة. أما القشرة الأرضية الخارجية فلا يتعدى سمكها بضع كيلومترات

2011/06/19

حجم الهـــرم الناقـص

احتوت برية موسكو على مثال عددي يدل حله الموجود في البردية على دراية الرياضي المصري قبل 4000 عام تقريبا بقانون حجم الهرم الناقص ذي القاعدتين المربعتين والذي نصه الحالي :




ح = 1/3 ع (أ2 + أ ب + ب2) حيث ع ارتفاع الهرم ، أ طول إحدى القاعدتين المربعتين ، ب طول ضلع القاعدة الأخرى ، وقد كانت المسألة كما يلي : (إذا أخبرت أن هرما ناقصا ارتفاعه الرأسي 6 وضلعه 4 في القاعدة ، 2 في القمة . فإن عليك أن توجد مربع هذه الأربعة فيكون الناتج 16 ، وعليك أن تضاعف 4 فينتج 8 وعليك أن توجد مربع 2 فيكون الناتج 4 . اجمع ما حصلت عليه 16 ، 8 ، 4 فينتج 28 . خذ 1/3 الارتفاع 6 ينتج 2 ضاعف الـ 28 فينتج 56 . سوف تجدها صحيحة .

وبتطبيق القانون الحالي فإن ح =1/3 × 6 (( (4)2 + (4)(2) + (2)2 )) = 2 (16 + 8 + 4) = 56 وهي نفس النتيجة بمنتهى الدقة كما حسبها المصريون القدماء .

النسبة التـقـريـبـية :

عرف المصريون القدماء أن محيط الدائرة يمكن قسمته على قطرها فيعطي عددا ثابتا قيمته غير محددة . وفي بردية أحمس أن مساحة الدائرة = مربع 8/9 قطرها وهذا يعني أن قيمة ط = 3,16 تقريبا وهي كما ترى قريبة إلى القيمة الصحيحة والتي حسبها الرياضي العربي غياث الدين الكاشي (المتوفى سنة 839 هـ. - 1436 م.- إلى ستة عشر رقما عشريا في كتابه الرسالة المحيطة) هكذا : ط = 3,1415926535898732 وقد ذكر الخوارزمي - مؤسس علم الجبر - في كتابه " الجبر والمقابلة " عدة أقوال في النسبة التقريبية كلها قريبة من بعضها البعض ثم ذكر حاشية (ملاحظة) قال فيها : (وأحسن ما في هذه الأقوال أن تضرب القطر في ثلاثة وسبع لأنه أخف وأسرع والله أعلم) . وثلاثة وسبع = 22/7 هي المعتبرة في حالة عدم ذكر قيمة النسبة التقريبية وهذا من عمل الخوارزمي .

وفي عام 1882 أثبت لندمان Lindemann لأول مرة أن ط غير نسبي وبالتالي فليست هناك نهاية للرقم العشري لقيمة ط . وخلال العشرين سنة الأخيرة جرى حساب قيمة ط باستخدام الحاسب الآلي لأكثر من مائة مليون رقم عشري ، وتلك هي الخطوة الأخيرة في جهود استمرت 2500 سنة لحساب قيمة ط بدقة.






وقد كان الهدف من حساب قيمة ط بهذه الدقة المتناهية هو حساب محيط الأرض ومسألة (تربيع الدائرة) - فبالنسبة لحساب محيط الأرض فيكفي أن نعلم أن قيمة ط لتسعة وثلاثين رقما عشريا كافية لحساب محيط الأرض بخطأ أقل من نصف قطر ذرة الهيدروجين . أما مسألة (تربيع الدائرة) فهي محاولة رسم مربع مساحته تساوي مساحة دائرة معلومة . وهذا يتطلب دقة متناهية في حساب قيمة ط وقد توقف بحث العلماء في هذه المسألة - تربيع الدائرة - بعد أن أثبت لندمان أن ط عدد غير محدد (عدد غير نسبي) وبهذا ثبت استحالة (تربيع الدائرة) بعد أن شغلت هذه المسألة العلماء قرونا طويلة .

تفاصيل مختلفة للمواضيع المذكورة أعلاه لمن رغب في الاستزادة

اقتصرت الموضوعات العلمية التي اهتم بها المصريون القدماء على الرياضيات والفلك والطب والكيمياء وما وجدناه يدل على التطور والرقي الذي وصل إليه المصري القديم في هذه العلوم وكانت الدقة من أهم صفات المصري القديم التي مكنته بجانب العلم من عمل هذه الصروح على أسس علمية صحيحة.

الرياضيات:

ما تم أكتشافه عبارة عن مسائل رياضية وتمارين حسابية وحلولها النموذجية ولكننا لا نجد نظريات ولا قواعد ومثال على ذلك ما وجدناه في بعض البرديات مثل بردية " رند" حيث وجد فيها جدول لقسمة الأعداد الفردية على 2 وبعض المسائل الحسابية مثل :-

-قطعة أرض مستديرة قطرها 9 خت (قراريط) أوجد مساحتها.

-وعاء مستدير ارتفاعه 9 أذرع وقطره 6 أذرع ما كمية الحبوب التي تملؤه؟

القياس:

كان عيار الكيل هو:-

بوشل ( البوشل مكيال للحبوب يساوي 8 جالونات تقريباً أي 32 لتراً ونصف لتر)

أما بالنسبة للسوائل كانت هناك أكيال ذات مسميات أخرى، ولكن لم نستطع مساواتها بأي الوحدات الموجودة حالياً .

ولقياس الأطوال استخدموا نوعين هما:-

الذراع الملكي (الطويل) يساوي 52.3 سم وكان يستخدم في المعمار.

والثاني هو الذراع العادي ( القصير) يساوي 45 سم.

أما في المسافات استخدموا وحدة تسمى الوحدة النهرية تساوي 10305 كم أي 20 ألف ذراع.

أما في المساحات والأوزان :-

فكانت وحدة المساحة هي:- مست جات =100 ذراع مربع 2/3 أكر (الأكر = 4آلاف متر)

أما وحدة الوزن هي:-الدبن = 91 جرام

قياس الزمن:

كان قياس الزمن بالسنوات حيث كانت السنة تتكون من 12 شهراً كل شهر 30 يوماً والشهر 3 أسابيع كل أسبوع10 أيام وفي نهاية السنة كان يضاف 5 أيام مكملة ليصبح عدد أيام السنة 365 يوماً .

كما وقسمت السنة إلي 3 فصول كل منها 4 أشهر هي:-

فصل الفيضان ، فصل الشتاء ، فصل الصيف .

وكان اليوم 24 ساعة يتساوى فيها عدد ساعات الليل والنهار. كذلك كان طول الساعة الزمنية يختلف حسب الفصول. ولقياس الزمن استخدموا المزاول والساعات المائية وكان يصاحب الساعة المائية تدريج لتعديل طول الساعة الزمنية حسب الأشهر.

الفلك:

عني المصريون بدراسة الفلك وساعد على ذلك مناخ مصر الجاف حيث تخلو السماء من الغيوم إلا في القليل النادر من ثم تكون دراسة السماوات سهلة ميسرة. وكانت مواضع المجموعات ومسارات الكواكب معروفة وذلك لان عمليات الرصد بدأت في وقت مبكر.

وكانت أهم مجموعتين من النجوم هما :نجوم الدب الأكبر السبعة و التي كانت معروفة بالنجوم الخالدة أما المجموعة الثانية فهي : اريون (ساحو) والذي كان يعتبر معبودا. وأهم النجوم التي عرفوها هو النجم الشعري (سيروس ) أو سوتيس، و تكمن أهميته أن ظهوره كان دليلا على الفيضان وكان يحتفل بظهوره في الفجر في الصيف كعيد ديني وكانوا يعتبرون هذا النجم روحا لايزيس، وهناك أسطورة تقول ان الدموع التي تسكبها ايزيس عند الذكرى السنوية لموت زوجها اوزوريس هي التي تأتي بالفيضان..

وكانت هناك نصوصا وجدت على توابيت من الأسرة 9 وعرفت هذه النصوص باسم التقديم القطري أو ساعة النجوم القطرية ، وهذه النصوص تعطي اسماء الديكونات (أي النجوم التي تظهر كل 10 ايام وقت شروق الشمس واحصوا منها 36 نجما) وكانت هذه النصوص توضع علي مقبرة الميت لمساعدته على تمييز أوقات الليل والنهار، وقد تطورت هذه النصوص بعد ذلك فأصبحت اكثر دقة . (كما في مقبرة رمسيس السادس). كما وجد في مقابر بعض ملوك الدولة الحديثة تمثال لرجل جالس معه شبكة من النجوم، ووجد أيضا في النصوص المرافقة ( المتعلقة باليومين الأول والسادس عشر من كل شهر) مواقع للنجوم عن كل ساعة : نجم فوق الأذن اليسرى ثم نجم فوق الأذن اليمنى وهكذا دواليك.

بالنسبة لمواقع الأبراج فإنها دخلت في الأرصاد الفلكية المصرية في العصريين البطلمي واليوناني.

أما بالنسبة للسنة ومدتها فقد استبعد الفلكيون السنة القمرية المكونة من 360 يوما ولكن مع الاحتفاظ بتقسيم السنة إلى 12 شهرا يضم كل منها 30 يوما ثم أضافوا 5 أيام زائفة ليجعلوا السنة تتفق مع الحقائق الفلكية وقد كان هناك تقويمان في العصر الفرعوني هما: التقويم المدني (الرسمي ) والتقويم الشمسي (الفلكي) .

والتقويم الرسمي تتكون فيه السنة من 365 يوما ولا توجد سنوات كبيسة بمعنى أن السنة كانت تفقد يوما كل 4 سنوات وقد ارتبط هذا التقويم بحادثة فلكية واحدة وهي الشروق السنوي للنجم (سيروس أو سيريوس) مع شروق الشمس نفسها ( شروقاً شمسيا) وقد تم تحديد هذا اليوم حسب التقويم اليولياني ( نسبة إلي يوليوس قيصر) وهو يوم 19 يوليو.

أما بالنسبة للتقويم الفلكي (الشمس) فهو يتكون من 4/1 365 يوما لذا كان يضاف يوما كل أربع سنوات للتقويم مما جعل بمرور الوقت السنة الرسمية (المدنية) تسبق السنة الفلكية بشهر كل 120سنة

كما نجد التقويمين يتطابقان كل 1460 سنة لمدة 4 أيام .

وكان التقويم الفلكي يستخدم في الزراعة وتحديد الأعياد الدينية وقد قام أحد اليونانيين (يدعى سنسورنيوس ) باستنتاج تاريخين لسنتين حدث فيهما شروقاً شمسياً للنجم سيريوس أيام الفراعنة ، كما وصلت إلينا نصوص تذكر أيام الشروق الشمس للنجم سيريوس .

وتكمن أهمية هذه التواريخ في معرفة أزمنة حكم الملوك الذين حدث أثناء حكمهم شروق شمسي للنجم سيريووس بفضل النصوص التي وصلت إلينا بتلك الفترة .

الكتابة فى مصر القديمة:

لقد عني المصري القديم بتسجيل كل شئ كتابة من أصغر حدث إلي أعظم ما يمر به ، بداية من طريقة معيشته مروراً بمشاكله والأفكار التي تشغله.كما دون بعض النصوص الأدبية لكنها لم تصل إلينا كاملة أما النصوص الدينية التي كانت منتشرة في المقابر، فهي أكمل شئ وصل إلينا. وبسبب ذلك اهتم المصري بالكتابة اهتماما شديداً وعمل على تطويرها لتناسب احتياجاته وظروفه.

أما أصل الكتابة شأنه مثل نظائره بين الأمم البدائية أي بدأت الكتابة على هيئة صور و قد ظل المصريون يستعملون الصور لفترة طويلة اما الأمم الأخرى فقد طورت كتابتها إلي رموز.و كانت حضارة سومر (حضارة نشأت في جنوب العراق)هى التي أرشدت المصريين إلى أصول الكتابة بالرموز ومنها ظهرت الكتابة الهيراطيقية (الخط الكهنوتي)التي كان المصريون يستخدمونها في الأغراض الدينية و أول ما ظهرت الهيراطيقية كان هناك أختلاف بينها و بين السومرية ثم حدث تطور على الكتابة الهيراطيقية حتى فقدت أي تشابه بينها وبين أصولها.أما الهيروغليفية فهي كتابة ظهرت بعد ذلك, كانت تستخدم للأغراض الدنيوية و كانت تعتمد علي الصور.

ثم تطورت الكتابة الهيراطيقية إلي كتابة أسرع منها وأصعب قراءة سميت بالديموطيقية (أغراض دنيوية) وظلت مستعملة حتى العصر المسيحي .

ثم هجر المصريون الديموطيقية ولسنا ندري لماذا؟ هل بسبب خطوطاتها المعقدة أم بسبب آخر ؟ وكتبوا اللغة المصرية بحروف يونانية ثم أضافوا بضعة حروف مشتقة من الهيروغليفية لتمثل الأصوات التي لا توجد في اليونانية وسميت بالقبطية وظلت مستخدمة حتى القرن السابع عشر ولا تزال مستخدمة في طقوس الكنيسة القبطية .

وكانت الهيروغليفية تكتب من اليمين إلي اليسار أو العكس أحياناً أو من أعلى إلي أسفل أما الهيراطيقية والديموطيقية كانتا تكتبان من اليمين إلي اليسار دائماً .

أدوات الكتابة:

أول ما بدأ المصري الكتابة ,كان يكتب علي الحجارة ثم ظهرت بعد ذلك ورق البردي (نبات البردي كان ينمو في مصر بكثرة في المستنقعات والبرك ولكنه لا يوجد الآن في النيل ابتداء من شمال الخرطوم)

والطريقة التي استخدمت لصنع ورق البردي من سيقانه هي:-

تقطع سيقان البردي الطويلة إلي أجزاء أصغر طول 30 سم ثم ينزع منها القشر.
يقطع اللب الناتج طولياً إلي شرائح رقيقة ترص متجاورة.
ترص فوق الطبقة السفلية طبقة أخرى من الشرائح بنفس الطريقة حيث تكون متعامدة عليها.
تكبس الطبقتان معاً أو تقريان حتى تلتحما.

ولم يستخدم المصري القديم أي مواد لاصقة سوى العصارة الناتجة من عملية الضرب أو الكبس وهي عصارة طبيعية تحتوي على النشا.

كما استخدم المصري مواد كتابية أخرى غير الورق منها رقائق الحجر الجيري الأبيض وكسر الأواني الفخارية واستخدموا أيضاً ألواح الخشب بعد كسوها بالجص.ومثل هذه الأدوات كانت مخصصة لأغراض مؤقتة مثل التمارين المدرسية أو المسودات أو المعاملات الغابرة أو الخطابات أو سجل حضور العاملين. بالإضافة إلى أستخدامهم أيضاً الجلد المكسو وفي العصر المتأخر استخدم في التدوين العاج والطين والكتان وحتى البرونز.

و قد كانت لوحة الكاتب الحجرية أبعادها من 20- 43 سم طول و5-8 سم عرض و510 سمك، وعند إحدى حافات اللوحة يوجد تجويفان أو أكثر لوضع الألوان حيث يوضع اللون الأحمر في التجويف الأول واللون الأسود في التجويف الثاني وأي لون آخر في أي تجويف آخر أما الألوان فكانت على صورة أقراص جافة، اللون الأسود كان مصدره الكاربون واللون الأحمر مصدره منطقة المغارة الحمراء وكانوا يعدون أقراص الألوان عن طريق هي خلط الصبغة بمحلول صمغي مخفف فيتخثر المداد عند الجفاف أما إذا أراد إذابة المداد مرة أخرى يكفيه غمس الفرشاة في الماء و تمريرها فوق سطح القرص (مثل الألوان المائية). وكانت الفرشاة تصنع من سيقان البوص بقطع طولها من 15- 25 سم ويشطف طرفها شطفاً مائلاً ثم يهرس السن بفصل الألياف عن بعضها وأحياناً كانت أقلام البوص تستخدم مثل الريشة، ويتم ذلك عن طريق شق السن من الوسط. بدلا من هرسه بعد الشطف.

فك رموز الهيروغليفية:

بعد أن أسدل التاريخ الستار عن الحضارة المصرية القديمة ونسي العالم اللغة الهيروغليفية وكل ما يتعلق بقراءتها وكتابتها حدث اعظم كشف في علم المصريات عام 1799 (وذلك أثناء حفر الأساسات لتقوية قلعة سميت بعد ذلك بقلعة جوليان البريطانية في رشيد) عثر أحد العسكريين البريطانيين ويدعى "بوشار" على الحجر الذي نسميه الآن حجر رشيد وعندما عرض هذا الحجر على المتخصصين في بريطانيا أدركوا أهميته حيث وجدوا فيه نصاً هيروغليفياً تم ترجمة يونانية يمكن قراءتها .

وجدوا أيضاً نفس النص مكتوب بالخط الديموطيقي . وبذلك نجد أن الحجر يحتوي على لغتين : اللغة اليونانية واللغة المصرية بخطين مختلفين ولمدة 20 عاماً من وصول الحجر لبريطانيا عكف الدارسون في محاولة لفك الرموز. و بالفعل حدث أول نجاح عام 1820م على يد أحد الدبلوماسيين السويديين يسمى" توماس اكربال " الذي تمكن من التعرف على عدد من الأسماء مثل : بطليموس وذلك بمقارنة النص اليوناني بالنص الديموطيقي كما تم التعرف علي بعض الكلمات الأخرى.

وبعده تمكن "توماس يونج " من إثبات أن العلامات والرموز الهيروغليفية المكتوبة داخل الإطار البيضاوي ( الخرطوش) هى اسماء الملوك، ولكنه اخطأ الخصائص الصوتية لهذه الرموز .

ولم يتحقق بعد ذلك أي نجاح يذكر حتى ظهر العالم الفرنسي شامبليون (1790-1832)الذي كان له أعظم التأثير في معرفة طريقة قراءة وكتابة اللغة الهيروغليفية، وما أهله لذلك هو إتقانه للغة القبطية في سن مبكرة فترجم النص اليوناني إلي القبطية وعن طريقه نجح في التوصل إلي بعض قواعد نقش الهيروغليفية ثم بحث عما ترجمه الي القبطية في النص الهيروغليفي للاهتداء إلي الكلمات الهيروغليفية المقابلة لمثيلاتها في القبطية ولكنه وجد صعوبة شديدة لأن النص الهيروغليقي كتب حسب العادة المتبعة بدون فواصل بين الكلمات وبعد تمكنه من حل كثير من الرموز استخدم الأسلوب العكسي ليترجم من الهيروغليفية إلي القبطية ما استطاع تمييزه منها ليعرف معناها ،ولكن هذه الطريقة لها محاذيرها حيث أن الكلمات الهيروغليفية التي دخلت إلي اللغة القبطية عددها قليل جداً بالنسبة لمجمل الكلمات الهيروغليفية وأيضاً بسبب تطور الكلمات القبطية بحيث يصعب معرفة أصولها . لذا فقد استخدم بعد ذلك الاستنباط عن طريق الوصول إلي المعنى من ورود الكلمة في أكثر من سياق وكذلك أمكن الرجوع إلي اللغة العبرية التي حافظت على كثير من الكلمات المشتركة في مجموعة اللغات السامية. و بذلك أمكن الكشف عن كثير من معان اللغة المصرية القديمة.

و بذلك نكون قد انتهينا من جزء اللغة و الكتابة نرجوا أن نكون قد ألمينا به من جميع الجوانب.

الكتابة على الجدران

وفي مصر القديمة كان تعلم النسخ يستغرق 12 عاما بأكملها والهدف الرئيسي من هذا التعليم هو التدريب علي قراءة وكتابة الرموز المصورة في نظام الكتابة المصرية المعروفة بالهيروغليفية. وكلمة "هيروغليفي " منحوتة من ازدواج كلمتين إغريقيتين : "هيرو" بمعني "المقدس" و"غليف" بمعني"النحت".

ظل العالم لعدة قرون لا يستطيع في الواقع قراءة اللغة الهيروغليفية المصرية. ولكن في عام 1799 تم العصور علي حجر رشيد المشهور في مدينة رشيد في غرب الدلتا. والحجز نسخة من مرسوم ملكي صدر في منف في عام 196 قبل الميلاد. اصدرة الكهان تخليدا لذكرى بطليموس الرابع.

وهو مكتوب بلغات ثلاث : الهيروغلفية المصرية والعامية المصرية او الديموطيقيه ثم الإغريقية. كان النص الإغريقي سهل القراءة وبناء علية أمكن تمييز أسماء الحكام البطالمة المكتوبة باللغة العامية المصرية. ثم اكتشف العالم البريطاني توماس ينج إن الكتابة الهيروغليفية تتكون من دلالات صوتية وان الأسماء الملكية مكتوبة داخل إشكال بيضاوية تدعي "خراطيش " وهذا الكشف الذي أدى إلي فك رموز الهيروغليفية حققة العالم الفرنسي جان فرانسوا شامبليون.

حجر رشيد

وجد الحجر عام 1799 من قبل واحد من الضباط الفرنسيين، وفي عام 1801أخذ إلى الجيش الرسمي البريطاني ليوضع بعد ذلك في المتحف البريطاني. النقش كان مكتوباً في لغتين: المصرية واليونانية والكتابة المصرية مكتوبة بنقشين: الهيروغليفية والديموطيقية الهيروغليفية(الكتابة المقدسة) الديموطيقية(الكتابة المتسلسلة أو المقطعية) النص الإغريقي هو ترجمة للنص المصري. العالم (جان فرانسوا شامبليون) نجح في فك شيفرة الكتابة الهيروغليفية.
* علم المساحة


علم المساحة اسم يطلقه العرب على العلم المختص بالقياس وبالهندستين المستوية والفراغية، وهو بمعناه الواسع يشمل قياس كل ما يمكن أو يلزم قياسه، وبصفة خاصة الأطوال والمساحات والحجوم والأوزان والأعداد، ومن ثم فهو يختلف عن الجيوديسيا وهو علم دراسة شكل الأرض وقياس سطحها الذي تناوله المسلمون فى كتابات مستقلة .
والتعريفات التي وضعها المسلمون لعلم المساحة تتباين كثيرا، فمنها ما هو واسع مثل تعريف العُماوي: " قياس يعتمد على تقدير كمية مجهولة بمقارنتها بكمية معلومة بوحدات معينة". وإن كانت أغلب التعاريف تحصر معنى علم المساحة في قياس الأطوال والمساحات والحجوم. ونجد الرسائل المختصة بالهندسة تتوالى طوال الفترة التي قام فيها المسلمون بدور ناقلي الثقافة القديمة ( من بداية القرن الثالث الهجري / القرن التاسع الميلادي، إلى أفول نجم الرياضيات العربية في القرن السابع الميلادي / القرن السادس عشر الميلادي ). وكان الغرض من هذه الأعمال تزويد المعماريين والجنود والمساحيين بالوسائل المناسبة، والأرضية النظرية لأعمالهم. ويمكن تمييز ثلاث مجموعات من هذه الرسائل تبعا للأساليب التي تتبعها في المعالجة :
أ - رسائل شبيهة إلى حد كبير بما لدينا من قوانين رياضية. وهي مختصرة بقدر الإمكان، وتوضح طريقة الحساب دون تقديم أمثلة، ومن أمثلتها رسالة ابن البناء .
ب - رسائل تشتمل على أمثلة محلولة بالكامل .
جـ- رسائل تشتمل فقط على سلاسل من المسائل المحلولة بالكامل، وهي عبارة عن ضرب من كراسات التمارين .
وفيما يتعلق بطريقة العرض في تلك الأعمال لا يسعنا الحديث عن قوانين رياضية بالمعنى المعروف الآن، فلم تعرف صياغة قوانين الرياضة بهذا الأسلوب إلا في عصر متأخر وبين العرب المغاربة، بل ربما كان ذلك في مجال الجبر فقط. فقواعد حساب المساحات كانت تكتب بالكلمات بما في ذلك أحيانا الأشكال الواردة بالنص. وكانت الأعمال المختصة بعلم المساحة - وخصوصا الكبيرة منها - تشتمل على ما يلي :
أولا: مدخل الكتاب، ويشمل التعريف بالعلم وشرح الأشكال الهندسية وتصنيفها والتعريف بالوحدات المستخدمة في القياس.
ثانيا: قواعد الحساب للسطوح المساوية كالأشكال الرباعية ( المربع والمستطيل ومتوازى الأضلاع إلخ )، والمثلثات بأنواعها، وعديدات الأضلاع، والدائرة وأجزائها. وكذلك الأجسام الفراغية ( كالمنشور والأسطوانة )، والأجسام الهرمية والمخاريط ، والكرة. وغير ذلك من الأجسام المنتظمة وشبه المنتظمة .
ثالثا: أمثلة عملية، وهذه كانت بصفة عامة نادرة الورود في الأعمال الخاصة بالمساحة وكثيرا ما نجد تمارين على تقسيم الحقول مصاغة على نمط أعمال إقليدس وهيرو ، وتمارين على تقسيم الحقول الواقعة على المنحدرات، وعلى القمم والارتفاعات والأجسام المجوفة، وللحنبلي بعض التمارين الخاصة بالموضوع غير الميسور قياسها كقاع البئر وعرض النهر. ومن المسائل الأخرى المطروقة حساب مقدار الأحجار أو الطوب اللازم لبناء منزل أو سقف وتحديد ارتفاع حائط .
ومن هذه الأعمال ما يعد مرجعا شاملا كأعمال الحنبلي والركاشي و التبريزي في رسالته: القواعد في علم المساحة ، ومنها ما هو مختصر للغاية حتى أنه غالبا يتناول جوانب فقط من الموضوع. وطرق حساب الحجوم هي نفسها ما نجده عند الإغريق والمصريين، وفي حالات أخرى تكون طرق الحساب مستنبطة بطريقة استقرائية وتجريبية فللكرجي مثلا طريقة لحساب حجم الكرة استنبطها من مقارنة وزن مكعب من الشمع بوزن كرة منه صنعت من هذا المكعب، وقطرها مساو لطول ضلعه. ومن الجلي أن مثل هذه الطرق لابد أن تؤدي إلى نتائج تقريبية وقوانين قائمة على التقريب، وتلك هي طبيعة الهندسة العملية .
وسبب بقاء هذه القواعد ( العلمية ) طويلا أنها توفي بحاجات المستخدمين العمليين الذين كانوا بحاجة إلى قيم سهلة الحساب لا إلى دقة رياضية فائقة. ولأسباب مشابهة - وتمشيا مع الممارسات التقليدية - لم تكن كل الأعمال المختصة بالمساحة تقريبا تقدم أية براهين هندسية علمية على درجات دقة القوانين التي تستخدمها .

2011/06/17

حساب المثلثات
فرع من فروع الرياضيات يعالج العلاقات بين أضلاع وزوايا المثلثات والخصائص والتطبيقات العملية للدوال المثلثية، وينقسم حساب المثلثات إلى فرعين: حساب المثلثات المستوية ويتعامل مع أشكال تقع بأكملها في مستوى واحد وحساب المثلثات الكروية ويتعامل مع المثلثات التي تعتبر جزءا أو مقطعا من سطح كرة.
وقد كانت أولى التطبيقات العملية لحساب المثلثات في مجالات الملاحة والمساحة والفلك حيث كانت المشكلة الكبرى في كل هذه المجالات تحديد مسافة غير معلومة مثل المسافة بين الأرض و القمر أو مسافة لا يمكن حسابها بصورة مباشرة مثل المسافة التي تغطي بحيرة كبيرة. ومن بين التطبيقات العملية الأخرى لحساب المثلثات استخدام هذا العلم في الفيزياء والكيمياء وكل فروع الهندسة تقريبا خاصة في دراسة الظواهر المتكررة مثل الموجات الصوتية أو تدفق تيار متناوب.
وتعرف الدوال الستة المثلثية الأكثر استخداما على النحو التالي:
جا أ = ر / س، جتا أ = ر / ص ، ظا أ = س / ص
ظتا أ= ص / س، قا أ = س / ر، قتا أ = ص / ر
حيث أن (ر) وتر المثلث وكل من (س) و(ص) ضلعيه، وأن ر2 = س2 + ص2 حسب نظرية فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية. وأن (س) و(ص) لا يتغيران إذا أضيفت الزوايا الدائرية (2 ط) على الزاوية، بمعنى أنه إذا أضيف 360ْ إلى الزاوية فإن جا (أ + 2 ط) = جا أ ، وهناك عبارات أخرى تنطبق على الدوال الخمس الأخرى. وتعتبر ثلاثة من هذه الدوال عكس الثلاثة الأخرى بمعنى أن:
ظتا أ = ظا أ / 1 ، قا أ = جتا أ / 1 ، قتا أ = جا أ / 1
وإذا كانت أ، ب، ج هي الزوايا الثلاثة لمثلث، وكانت س ص ع هي الأضلاع المقابلة الخاصة بكل من هذه الزوايا، بالتالي يمكن إثبات أن:
جا أ / س = جا أ / ص = جا أ / ع
ويمكن أن تأخذ قوانين جيب التمام (جتا) والمماسات أشكالا أخرى بالتناوب بين الحروف الزوايا (أ ب ج) والأضلاع (س ص ع).
ويمكن استخدام هذه العلاقات الثلاثة في حل أي مثلث بمعنى أنه يمكن الوصول إلى الزوايا أوالأضلاع المجهولة عند معرفة: ضلع واحد وزاويتين، أو الضلعين والزاوية المحصورة بينهما، أو ضلعين وزاوية مقابل أي منهما (عادة ما يكون هنالك مثلثان في هذه الحالة) أو كل الأضلاع الثلاثة.
نبذة تاريخية

يعود تاريخ حساب المثلثات إلى أقدم ما دون عن الرياضيات في مصر وبابل، حيث قاس البابليون الزوايا بالدرجات والدقائق والثواني. وحتى عصر اليونانيين، لم يوجد أي تطور ملحوظ في حساب المثلثات، وفي القرن الثاني قبل الميلاد، وضع الفلكي هيباركوس جدول مثلثي لحل المثلثات، حيث بدأ بــ 7.5ْ حتى وصل إلى 180ْ بدرجات مقدارها 7.5ْ، وقد أعطى الجدول لكل زاوية طول الوتر المقابل لهذه الزاوية في دائرة ذات نصف قطر ثابت ر. ومثل هذا الجدول مكافئ لجدول الجيب ، ولم تكن القيمة التي استخدمها هيباركوس لنصف القطر (ر) محددة، ولكن بعد مضي 300 عام استخدم الفلكي بطليموس (ر)= 60 لأن اليونانيين قد أخذوا نظام الأرقام الستينية البابلي.
وقد ذكر بطليموس في كتابه المجسطي جدول أوتار لدرجات النصف من صفر إلى 180ْ وهي تعادل (3600 / 1 ) من الوحدة، كما أنه قد شرح أيضا طريقة عمله لجدول الأوتار هذا، وفي عرضه للكتاب ذكر أمثلة عديدة على كيفية استخدام الجدول للتوصل إلى الأجزاء المجهولة من المثلثات من خلال الأجزاء المعروفة، وقد ذكر بطليموس ما يعرف الآن باسم نظرية مينيلوس لحل المثلثات الكروية، ولقرون عديدة كان ما دونه بطليموس في حساب المثلثات المقدمة الأساسية للموضوعات التي يتناولها أي فلكي.
وفي نفس عصر بطليموس تقريبا، طور الهنود نظاما لحساب المثلثات يعتمد على دالة الجيب وليس على دالة الوتر التي اعتمد عليها اليونانيون، وعلى عكس الدالة الحديثة، لم تكن دالة الجيب هذه نسبة وإنما كانت ببساطة طول الضلع المقابل للزاوية في مثلث قائم الزوايا ذي وتر ثابت محدد، هذا وقد استخدم الهنود قيما متعددة لوتر المثلث القائم الزاوية.
وفي نهاية القرن الثاني الهجري / الثامن الميلادي، ورث الفلكيون المسلمون التراث اليوناني والهندي واستخدموا دالة الجيب، وبحلول نهاية القرن الرابع الهجري / العاشر الميلادي، كانوا قد أكملوا الجيب والدوال الخمس الأخرى، كما وضعوا العديد من النظريات الأساسية في حساب المثلثات تتعلق بكل من المثلثات المستوية والكروية.
فقد رأى البيروني أن الفترات المتساوية بين الزوايا لا تقابلها تغيرات متساوية في النسب المثلثية ، فأثبت صحتها بالطرق الهندسية، وقام بعمل جداول للجيب لكل ربع درجة بدلا من الجداول المعروفة آنذاك، وقد قام بإيجاد طول الوتر في دائرة يقابل زواية قدرها 40ْ عند المركز، وكان هدفه إيجاد الأوتار التي تقابل من الدورة الكاملة ثلثها وربعها وخمسها، وقد تمكن من استنتاج قوانين مبسطة لحساب قيم هذه الأوتار فيما عدا وتري السبع والتسع، كما استنتج قوانين لوتر مجموع زاويتين أو الفرق بينهما أو قيمة نصف الزاوية مستخدما طريقة التقريب المتتابع.
ثم طور الطوسي من نظريات جيب الزاوية إلى ما هي عليه الآن مستعملا المثلث المستوي، وعمل في ذلك الجداول الرياضية له ، كما قدم قاعدة الأشكال المتتامة وهي الصورة المبسطة لقانون الجيوب الذي يقضي بأن جيوب الزوايا تتناسب مع الأضلاع المقابلة لها.
أما الكاشي فقد حسب جداول جيب الدرجة الأولى، واستخدم ذلك في معادلة ذات الدرجة الثالثة في معادلاته المثلثية ويقول في ذلك: " إذا علم جيب قوس، وأريد معرفة جيب ثلاثة أمثالها، يضرب مكعب ذلك الجيب في أربع ثوان، وينقص الحاصل من ثلاثة أمثاله، فالباقي هو الجيب المطلوب" وصورة ذلك على مايلي:
(جا 3س = 4جا س2 - 3جا س).
كما توصل المسلمون أيضا إلى المثلث القطبي للمثلثات الكروية، وقد طبقت كل هذه الاكتشافات في أغراض فلكية، واستخدمت كوسيلة مساعدة في حساب الوقت فلكيا، وفي التوصل إلى اتجاه مكة المكرمة لأداء الصلوات الخمس التي فرضتها الشريعة الإسلامية، كما توصل العلماء المسلمون إلى جداول ذات دقة عالية، فعلى سبيل المثال الجداول التي وضعوها للجيب والمماس كانت دقيقة جدا بنسبة أكبر من جزء واحد من 700 مليون.
وقد اهتم الطوسي بعلم حساب المثلثات الكروية اهتماما بالغا ووصل فيها شأوا، فكان أول من قدم المتطابقات المثلثية للمثلث الكروي قائم الزاوية. أما ابن يونس فقد ابتكر القانون المعروف في حساب المثلثات
(جتا أ جتا ب =2 / 1 [ جتا (أ + ب ) + جتا ( أ- ب)])
الذي يقضي بتحويل عملية الضرب إلى عملية جمع، فكان بذلك واضعا أول حجر في تطوير علم اللوغاريتمات. ولقد اشتغل البتاني بالأعمال الفلكية الموجهة إلى حساب المثلثات، وكان يستخدم الجيوب بانتظ ام مع يقين واضح من تفوقها على الأوتار التي استعملها الإغريق من قبل. وقد أكمل إدخال دوال الظل وظل التمام، وعمل جدولا لظل التمام بدلالة الدرجات على أساس العلاقة (ظتا أ = جتا أ / جا أ). كما عرف العلاقة بين الأضلاع والزوايا في المثلث الكروي العام والتي يعبر عنها بالمعادلة
(جتا أ = جتاب. جتا جـ + جا ب. جا جـ).
وبعد ذلك، تعرف الغرب على ما صاغه المسلمون في علم حساب المثلثات من خلال ترجمة كتب الفلك العربية وقد بدأت حركة الترجمة في القرن الثاني عشر، وقد كان أول عمل غربي يكتب في هذا الموضوع من تأليف الفلكي والرياضي الألماني يوهان مولر وقد سمى كتابه ريجيو مونتانوس .
وفي القرن التالي، توصل الفلكي الألماني جورج يوأخيم المعروف باسم ريتيكس إلى المفهوم الحديث لدوال حساب المثلثات على أنها نسب وليست أطوال خطوط معينة. أما الرياضي الفرنسي فرانسوا فيتي فقد أدخل المثلث القطبي في حساب المثلثات الكروية وقد ذكر الصيغ المتعددة الزوايا للجيب وجيب التمام من خلال قدرة الجيب وجيب التمام.
وقد خطا حساب المثلثات خطوات كبيرة إلى الأمام في أوائل القرن السابع عشر على يد عالم الرياضيات الأسكتلندي جون نابير الذي اخترع اللوغاريتمات، كما اخترع أيضا بعض القوانين المساعدة للذاكرة لحل المثلثات الكروية وكذا بعض النسب لحل المثلثات الكروية المائلة.
وبعد نصف قرن تقريبا من نشر نابير للوغاريتمات التي وضع أسسها ابن يونس، توصل إسحاق نيوتن إلى حساب التفاضل والتكامل. وكان من ضمن الأساسيات التي اعتمد عليها هذا العمل تقديم نيوتن للعديد من الدالات على أنها متسلسلات لا نهائية في قدرات (س). ومن ثم فقد توصل نيوتن إلى متسلسلة الجيب (س) ومتسلسلة مماثلة لجيب التمام (س) وظا (س). ومع اختراع حساب التفاضل والتكامل، أعيد النظر في تحليل الدوال المثلثية حيث ما زالت تلعب دورا هاما في كل من الرياضيات البحتة والتطبيقية.
وأخيرا، وفي القرن الثامن عشر، عرف الرياضي السويسري ليونهارد يولر الدوال المثلثية على أنها أعداد مركبة، وقد أدى هذا إلى أن جعل مادة حساب المثلثات بأكملها تطبيقا واحدا من التطبيقات العملية الكثيرة للأعداد المركبة، وأظهر أن القوانين الأساسية للرياضيات مجرد نتائج لحساب هذه الأعداد.

2011/06/15

* الكسور


هي الأعداد غير الصحيحة أو هي طريقة معينة للتعبير عن مثل هذه الأعداد. فالعدد "نصف" يعبر عنه بهذا الشكل (2/1) ويطلق عليه كسر اعتيادي. ويطلق على الرقم السفلي - وهو في هذه الحالة (2) - "المقام" وهو يعبر عن عدد المقاطع التي يقسم عليها العدد الإجمالي. أما الرقم العلوي ويطلق عليه "البسط" - وهو في هذه الحالة (1) - فإنه يعبر عن عدد المقاطع الموجودة في هذا الكسر الاعتيادي.
هناك كسور اعتيادية بسيطة أخرى مثل ثلث (3/1) وثلثين (3/2) وربع (4/1) وثلاثة أرباع (4/3). وعادة ما تختصر الكسور الاعتيادية إلى أقل صيغة لها بقسمة البسط والمقام على أي عامل مشترك بينهما. فعلى سبيل المثال، يعاد صياغة الكسر (16/6) إلى (8/3) وذلك بقسمة كل من البسط والمقام على (2). ومن ثم لا يستخدم الكسر (4/2) مثلا لأنه هو بالضبط القيمة (2/1). ومن الممكن أيضا استخدام الكسور الأكبر من واحد صحيح مثل (4/5) وهذه تسمى كسور معتلة. ويمكن كذلك اختصارها إلى أقرب رقم صحيح وكسر.
وهناك صورة أخرى للتعبير عن هذه الأعداد وهي صورة الكسور العشرية فيعبر عن العدد بقيمته بالنسبة للعدد 10 أو 100 أو 1000 فالعدد غير الصحيح نصف يعبر عنه بهذا الشكل (5.) ويعود الفضل في اكتشاف فكرة الكسور العشرية للرياضي المسلم الكاشي الذي توصل إليها في القرن الثامن الهجري / الرابع عشر الميلادي وظلت مستخدمة بالشكل الذي تحدث عنه حتى الآن. كما أهدى الكاشي إلى البشرية وعلم الحساب فكرة تحويل الكسور الاعتيادية إلى كسور عشرية. ويظهر ذلك في كتابه مفتاح الحساب الذي حوى للمرة الأولى على الكثير من المسائل التي تستعمل فيها الكسور العشرية. كما استخدم الفاصلة التي يسرت الحساب وأصبحت بعد ذلك ذات شأن عظيم في الآلات الحاسبة الحديثة.
ومع زيادة استخدام النظام المتري في كل أنحاء العالم، زاد استخدام الكسور العشرية مثل 0.5 و3.2 بالمقارنة بالكسور الاعتيادية لعدة أغراض على الرغم من أنه لا يمكن حساب الكسور العشرية البسيطة في استخدامات الحياة اليومية.

2011/06/14

*




التفاضل والتكامل

1 - التفاضل
التفاضل هو احد فروع علم الرياضيات وهو يعنى بمقدار تناسب التغير عند نقطة معينة في علاقة ما ، ورياضياً مفاضلة الدالة(أو التابع) عند نقطة معينة هو مقياس لمقدار تغير متغيير بالنسبة لمتغير آخر.

يقوم مبدأ التفاضل على حساب التغير في قيمة ما بين نقطتين بالنسبة لمتغير ثاني ، ومن ثم تقليل الفرق للمتغير الثاني لحساب أدق للتغير وذلك حتى يؤول الفرق بين قيمتي المتغير الثاني إلى الصفر. فمثلا إذا كان هناك علاقة بين المسافة التي تقطعها سيارة ما بدءا من نقطة البداية في سباق ما والزمن المار منذ لحظة الإنطلاق ، فإن سرعة السيارة في السباق تساوي الفرق بين القيمة الأخيرة للزمن والقيمة الأولى له ، اي بكلمات اخرى الزمن المستغرق للسباق . والفرق بين المسافة المقطوعة بالنسبة لهذا المتغير (أي الزمن) ستكون المسافة المقطوعة عند إنتهاء السباق (أي المسافة المقابلة للنقطة الثانية في متغير الزمن) والمسافة المقطوعة عند إبتداء السباق (أي المسافة المقابلة للنقطة الأولى في متغير الزمن ، والذي يساوي في هذا الحالة صفر متر عند الزمن صفر) ، ولكن ما عند تقسيم مسافة السباق إلى فترات زمنية معينة ، فإنه يمكن حساب أكثر من قيمة للسرعة ، وذلك بقسمة المسافة المقطوعة في الدقيقة الأولى على زمن دقيقة واحدة. وبالتالي فإنه يمكن الحصول على معدل السرعة خلال الدقيقة الأولى أو الثانية أو العاشرة أو دقيقة من دقائق السباق. ويمكن فعل المثل للثواني ، فنحسب سرعة السيارة في أية ثانية من ثواني السباق ، وهكذا بأي درجة من الدقة ، حتى إذا قلنا أن التغيير في الزمن سيؤول الى الصفر ، اي اننا نريد السرعة بين زمنين الفرق بينهما ضئيل لدرجة انه قريب جدا من الصفر ، فإن النظريات الرياضية تسمح لنا بإستنتاج حل لهذه المسألة وهذا الحل يسمى بتفاضل دالة المسافة-الزمن عند نقطة ما. يفيد هذا الموضوع في جميع فروع العلم من الفيزياء أو الكيماء أو المجالات التقنية ......
تفاضل جزئي
مواضيع متعلقة

نهاية (رياضيات)
اشتقاق (رياضيات)



2 - التكامل

في علم الرياضيات، تعتبر مكاملة الدالة نوعاً من التعميم لكميات قابلة للتجزئة مثل :المساحة أو الحجم أو الكتلة أو أي مجموع لعناصر متناهية في الصغر.
بالرغم من تعدد التعاريف المستخدمة للتكامل وتعدد طرق استخدامه فإن نتيجة هذه الطرق جميعها متشابهة وجميع التعاريف تؤدي في النهاية إلى المعنى ذاته. يمكن اعتبار تكامل دالة حقيقية مستمرة ذات قيم موجبة لمتغير حقيقي بين قيمة حدية دنيا و قيمة حدية عليا هي المساحة المحصورة بين المستقيمين الرأسيين : x=a, x=b و المحور x و المنحني المحدد بالدالة , يمكن صياغة ذلك بشكل رياضي:

S= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2:a \leq x \leq b ,0 \leq y \leq f(x)\},

ويرمز لهذه العملية حسب اصطلاح لورينتز :

\int_a^b f(x)\,dx.

النقطة الأساسية في التكامل تأتي من المبرهنة الأساسية في التكامل و التي تنص على أن مشتق تابع المساحة تحت منحني الدالة هو الدالة نفسها . بالتالي اذا عرفنا دالة تربط القيمة x يقيمة المساحة المحدودة بين منحني الدالة f(x) و محور السينات و من الجهة الخرى محدودة بمحور العينات و المستقيم X=x , تدعى هذه الدالة ب دالة المساحة و مشتقها هو الدالة f(x) نفسها , لذلك ندعو تابع المساحة عكس الإشتقاق أو التابع الأصلي للدالة f(x) .

يقوم حساب التكامل على ايجاد التابع الأصلي للدالة التي نريد القيام بمكاملتها .

وقد عرض جوتفريد لايبنتز، في 13 نوفمبر 1675، أول عملية تكامل لحساب المساحة تحت منحنى الدالة ص = د(س).

2011/06/13

*




الأعداد الأولية الأقل من 1000

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541
547 557 563 569 571 577 587 593 599 601
607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733
739 743 751 757 761 769 773 787 797 809
811 821 823 827 829 839 853 857 859 863
877 881 883 887 907 911 919 929 937 941
947 953 967 971 977 983 991 997

2011/06/12

كيف تتم معرفة الأعداد الأولية


أولا : غربال إيراتوستين (Sieve of Eratosthenes ):



كلمة غربال تعني طريقة للتصفية أو التنقية ، و تنسب هذه الطريقة للعالم الإغريقي إيراتوستين حيث اكتشفها ، و هي أسهل الطرق المستخدمة في الكشف عن الأعداد الأولية و يستطيع الطالب في المرحلة الإبتدائية العليا أو الإعدادية استخدامها ، و تزيد صعوبتها كلما كبرت الأعداد حتى تصبح غير فعالة مع الأعداد الكبيرة ، لذا تكون فعالة في الأعداد الصغيرة جدا ( الأقل من 1000000) .



و تقول هذه الطريقة أنه لإيجاد جميع الأعداد الأولية الأصغر من n اكتب في قائمة جميع هذه الأعداد الأصغر من n ثم استبعد جميع مضاعفات الأعداد الأولية بحيث تبدأ من مضاعفات 2 ثم 3 ثم 5 ثم 7 و هكذا فالأعداد المتبقية هي الأعداد الأولية و الجدول التالي يوضح مثال لغربال إيراتوستين المستخدم في الأعداد الأقل من 100 :





ثانيا : طريقة القسمة ( trial division ) :



تستخدم هذه الطريقة أيضا في الكشف عن الأعداد الأولية الصغيرة ، و هي أصعب من سابقتها ، و لكن باستطاعة طلاب المرحلة الثانوية إنجازها ، فلكي نفحص نعرف أن عددا ما n هل أولي ؟ فإننا نقسمه على جميع الأعداد الأولية الأقل من جذره التربيعي ، فعلى سبيل المثال لو أردنا أن نفحص أولية العدد 211 ، فإننا نحتاج لأن نقسمه على 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، فإذا لم يقبل القسمة على أي منها فيكون العدد 211 أوليا و إلا فلا . و لا حاجة لنجرب قسمته على عدد أول أكثر من 13 لأن جذره التربيعي أقل من 15 ، و هذا يعني أن علينا أن نتوقف عن القسمة عندما نصل إلى جذره التربيعي التقريبي .



في الحقيقة قد تصبح هذه الطريقة صعبة عندما تكبر الأعداد فليس من السهل أن تستخدم الطريقة هذه بحذافيرها مع العدد 100000001 على سبيل المثال ، على الرغم أن هذا العدد لا يعتبر من الأعداد الكبيرة ، فلو جئنا إلى هذا العدد و أردنا أن نطبق طريقة القسمة عليه لمعرفة هل هو أولي أم لا ، فيجب علينا أن نبدأ مع الرقم 2 و نكرر ذلك حتى نصل إلى أحد قواسمه أو نتوقف عند العدد الأولي الأقل من جذره التربيعي مباشرة ، و إذا عرفنا أن sqrt(100000001)@ 10000 و عدد الأعداد الأولية الأقل من 10000 حسب صيغة ليجاندر و هي : p(n)=n/(log(n)-1.08366) هي :

p(10000)=10000/(log(10000)-1.08366) @ 3428 ، أي أنه علينا أن نقسم على 3428 عدد أولي تقريبا ، و لا يخفى أن في هذا صعوبة من حيث الوقت و الجهد ، لذلك استخدم الرياضيون و ابتكروا مهارات مختلفة و أدخلوا التحليل الرياضي فيها ، و لكن الحاسب الآلي سهل أمر هذه القسمة حيث كتبت برامج و خورازميات عديدة تنفذ القسمة آليا ، و باعتقادي أن من لديه معرفة بسيطة ببرنامج الإكسل الذي تصدره شركة مايكروسوفت ضمن مجموعة الأوفيس يستطيع اكتشاف أولية هذا الرقم باستخدام القسمة شريطة أن تكون لديه قائمة بكل الأعداد الأولية الأقل من 10000 و عددها بالدقة 1229 عددا .

2011/06/11

*

زاوية مركزية

الزاوية AOB هي زاوية مركزية
الزاوية المركزية هي زاوية يكون رأسها واقعاً على مركز دائرة، وضلعاها يمران بنقطتين على محيط الدائرة بحيث تحصر قوساً بين هاتين النقطتين ذو زاوية تساوي قياس الزاوية المركزية نفسها.و قيسها ضعف الزاوية المحيطية التي تحصر معها نفس القوس.
على الكرة أو السطح الناقص تكون الزاوية المركزية مطابقة للدائرة العظمى

للدائرة
رسم توضيحي للدائرة يوضح القطر، نصف القطر، الوتر، قوس منها، والمحيط
الدائرة هي شكل من الأشكال البسيطة في الهندسة الإقليدية، وتعرف بأنها المحل الهندسي للنقاط الواقعة في المستوى والتي تبعد بعدًا ثابتًا عن نقطة معينة في ذلك المستوى تسمى مركز الدائرة، والبعد بين أي نقطة من هذه النقاط وبين المركز يسمى نصف قطر الدائرة، ومجموعة النقاط متساوية البعد من المركز تعرف بمحيط الدائرة
الدائرة أيضًا حالة خاصة من قطع ناقص بؤرتاه متطابقتان واختلافه المركزي صفر، وهي قطع مخروطي ينتج من قطع مخروط دائري قائم بمستوى موازٍ لقاعدته وعمودي على محوره. في الاصطلاحات الهندسية الدقيقة المساحة التي بداخل محيط الدائرة تعرف بالقرص، أما الدائرة فيقصد بها المحيط من دون المساحة التي بداخله؛ ومن ثم فإنه إن كانت p أي نقطة على الدائرة c التي مركزها a ونصف قطرها r فإن: c=\left\{p| ap=r\right\}، أو c=\left\{\vec p| \|\vec {ap}\|=r\right\}.





*

قطعة مستقيمة

التعريف الهندسي للقطعة المستقيمة
في الهندسة الرياضية،القطعة المستقيمة (Line segment) تُعرف على أنها جزء من الخط المستقيم محددة بنقطتين تسميان نقطتي النهاية (end points) وتضم جميع النقاط الواقعة على المستقيم بين هاتين النقطتين.
  • عندما نقطتي النهاية يحددوا خط منحنى (Curve)،القطعة المستقيمة التي تمر بهما تسمى وتر (Chord).
  • عندما نقطتي النهاية ينتمون إلى مضلع،كل قطعة مستقيمة تسمى ضلع إذا تلك النقط هم متجاورتين، وإلا فيسمى قطر (Diagonal).
من الأمثلة على القطع المستقيمة تتضمن أضلاع المستطيل أو المربع.
و طول القطعة المستقيمة بدلادلة الإحداثيات هي جزر (مربع فرق السينات + مربع فرق الصادات)

مربع



في الهندسة الرياضية، المربع هو مضلع منتظم يتكون من أربعة أضلاع متساوية في الطول ومتعامدة تشكل أربع زوايا قائمة كما يمكن تشكيل المربع عن طريق جمع مثلثين قائمي الزاوية ومتساويا الساقين عند الوتر.
وللمربع أهمية كبيرة في عموم المفاهيم الهندسية وعليه يبنى تعريف المساحة لمختلف الوحدات المربعة.

علاقته مع الأشكال الأخرى

المربع هو مستطيل به كل ضلعان متجاوران متساويان
أو هو معين زواياه قائمة.
أو هو متوازي أضلاع تساوى فيه ضلعين متجاورين واحدى زواياه قائمة .
أو هو معين تساوى قطراه .
أو هو مستطيل تعامد قطراه .

خصائص المربع

  • جميع اضلاعه متساوية.
  • الاقطار متساوية، تنصف بعضها البعض.
  • القطران متعامدان.
  • جميع زواياه قائمة.
  • يعطى محيط المربع بالعلاقة: الضلع × 4
  • تعطى مساحة المربع بالعلاقة: طول الضلع × طول الضلع

متوازي أضلاع

متوازي الأضلاع
Parallelogram.svg
متوازي أضلاع شبه معين.
Type رباعي الأضلاع
أضلاع ورؤوس 4
مجموعة التناظر C2 (2)
المساحة B × H;
ab sin θ
خصائص محدب

متوازي الأضلاع (Parallelogram) هو شكل رباعي الأضلاع فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان. حيث يكون فيه كل ضلعين متوازيين متساويين بالطول وكل زاويتين متقابلتين متساويتين، وقطراه ينصفان بعضهما.ومجموع زواياه360

خصائص

  • تعطى مساحة متوازي الأضلاع بالعلاقة A = BH حيث B هو طول القاعدة، H طول الارتفاع.
  • مساحة متوازي الأضلاع تساوي ضعف مساحة المثلث المشكل بضلعين ووتر.
  • يكون كل قطر متوازي الأضلاع منصف للقطر الآخر.
  • كل ضلعين متقابلين متساويان.
  • كل زاويتين متقابلتين متساويتان.

متى يكون الشكل الرباعي متوازي أضلاع

يكون الشكل الرباعي متوازي أضلاع إذا حقق شيئاً واحداً مما يلي :
  1. إذا كان كل ضلعين متقابلين في الرباعي متطابقين .
  2. إذا كان كل ضلعين متقابلين في الرباعي متوازيين .
  3. إذا وجد في الشكل الرباعي ضلعين متقابلين متطابقين و متوازيين معاً .
  4. إذا كان كل قطر في الرباعي ينصف القطر الآخر .
  5. إذا كانت كل زاويتين متقابلتين في الرباعي متساويتين .
  6. إذا كان مجموع كل زاويتين متحالفتين (على ضلع واحد) في الرباعي 180 .



2011/06/10

*

أنواع الأعداد

الأعداد الطبيعية

الأعداد الأكثر ألفة لدينا هي الأعداد الطبيعية أو أعداد الحساب وهي واحد، اثنين، ثلاثة، الخ. في نظام العد العشري، شاع عالمياً استعمال عشرة ارقام لكتابة الأعداد العشرية وهي:0،1،2،3،4،5،6،7،8،9. في هذا النظام العشري يحصل الرقم في أقصى اليمين على قيمة أحادية بينما تتضاعف هذه القيمة 10 أضعاف كلما اتجهنا خانة إلى اليسار. رمز مجموعة الأعداد الطبيعية N وتُكتب كذلك \mathbb{N}.
في نظرية المجموعات، وهي النظرية القادرة على ان تعمل كأساس بديهي للرياضيات الحديثة، يمكن تمثيل الأعداد الطبيعية بفصل من المجموعات المساوية. مثلاً العدد 3 يمكن تمثيله بجميع المجموعات التي تحتوي على 3 عناصر. وهناك العديد من الطرق المختلفة لتمثيل العدد 3 ولكن كل ما نحتاج إليه لتمثيله قياسياً هو كتابة رمز محدد أو مجموعة رموز محددة، ثلاث مرات.

الأعداد الصحيحة

  • الاعداد الصحيحة هي الاعداد الموجبة والسالبة مع الصفر
  • الأعداد السالبة هي الأعداد الأقل من الصفر، وهي معاكسة للأعداد الموجبة. مثلاً: إذا كان عددٌ موجب يمثل وديعة بنكية، فإن العدد السالب يمثل النقود المسحوبة من نفس الكمية. تكتب الأعداد السالبة بإسباق إشارة سالبة-تسمى أيضاً علامة ناقص- للعدد الموجب المعاكس له. عليه فإن عكس العدد 7 هو 7-. عندما نوحد مجموعة الأعداد السالبة ومجموعة الأعداد الطبيعية والصفر فإننا نحصل على مجموعة الأعداد الصحيحة Z وتكتب كذلك \mathbb{Z}.

الأعداد الكسرية

العدد الكسري هو عدد يمكن التعبير عنه بكسر ذو بسط صحيح ومقام طبيعي لا يساوي صفر. الكسر m/n أو
m \over n \,
يمثل عدد m جزءاً متساوياً، في حين أن عدد n جزءاً منها تكون واحداً كاملاً. يمكن أن يشترك كسران في نفس القيمة للعدد الكسري، مثلاً 1/2 و 2/4 لهما نفس القيمة، بمعنى أن:
{1 \over 2} = {2 \over 4}.\,
إذا كانت القيمة المطلقة للعددm أكبر من n فإن القيمة المطلقة للكسر تكون أكبر من 1. يمكن للكسور ان تكون أكبر من الواحد، أصغر منه، مساوية له، موجبة، سالبة، أو حتة صفراً. مجموعة الأعداد الكسرية تشمل الأعداد الصحيحة، لأن كل عدد صحيح يمكن التعبير عنه بكسر ذو مقام يساوي 1. مثلاً العدد 7- يكتب ككسر 1/-7. رمز الأعداد الكسرية Q وتكتب \mathbb{Q}.

الأعداد الحقيقية

الأعداد الحقيقية تشمل جميع أعداد القياس، وتكتب غالباً بالتعداد العشري، والذي توضع فيه نقطة عشرية (فاصلة أحياناً) يمين الخانة العشرية ذات القيمة الأساسية 1، كل خانة يمين هذه النقطة العشرية لها قيمة اساسية واحد على عشرة - عُشر- قيمة الخانة السابقة لها من اليسار، عليه فإن:
123.456\,
يمثل: 1 مئة وعشرتين و3 آحاد و 4 أعشار و 5 من مئة و6 من ألف. في قراءة العدد نقول للنقطة العشرية فاصلة، أي: "مئة وثلاثة وعشرون، فاصلة، اريعمائة وستة وخمسون".
في الولايات المتحدة الأمريكية والمملكة المتحدة وعدد من البلدان الأخرى تمثل العلامة العشرية بنقطة، في حين أنها تمثل بفاصلة في قارة أوروبا وأغلب الدول العربية وبعض الدول الأخرى. الصفر في الأعداد الحقيقية يكتب 0.0 عند الضرورة للتأكيد على معاملته كعدد حقيقي وليس مجرد عدد صحيح. الأعداد الحقيقية السالبة تُسبق بإشارة ناقص:
-123.456.\,
كل عدد كسري هو عدد حقيقي يُحول بقسمة بسطه على مقامه ولكن العكس ليس صحيح: ليس كل عدد جقيقي هو كسري لأن هناك بعض الأعداد الحقيقية التي لا يمكن كتابتها في صورة بسط ومقام من أعداد صحيحة وهي تسمى أعداد لا كسرية. إذا امكن كتابة الجزء العشري من العدد الصحيح في صورة كسر فهو إما منتهي أو متكرر لانهائياً لأن هذه هي اجابة لمشكلة في القسمة، عليه يمكن كتابة 0.5 ككسر 1/2 وكذلك يُكتب...0.33333 (ثلاثة متكررة لانهائياً) ككسر 1/3 ومن جهة أخرى ،العدد الحقيقي π (باي) ،والذي هو نسبة محيط اي دائرة على قطرها، يساوي:
\pi = 3.14159265358979....\,
بما أن الجزء العشري لا ينتهي ولا يتكرر لانهائيا فانه يستحيل كتابة هذا العدد ككسر وهو مثال جيد للأعداد اللاكسرية. مثال آخر لها هو:
\sqrt{2} = 1.41421356237...\, (الجذر التربيعي ل 2 هو العدد الموجب الذي مربعه يساوي 2).
عليه فإن 1.0 و 0.9999 هما طريقتين عشريتين مختلفتين لتمثيل نفس العدد الطبيعي 1، وهناك عدد لانهائي من الطرق المختلفة لتمثيل العدد 1، منها على سبيل المثال 2/2، 3/3، 1.00 ،1.000 وهكذا دواليك.
تصنف الأعداد الحقيقية إلى كسرية وغير كسرية، ولكل عدد حقيقي نقطة تمثله على خط الأعداد. تمتلك الأعداد الحقيقية خاصية مهمة ولكنها تقنية بالحد الأكبر وتسمى خاصية الحد العلوي الأصغر (Least Upper Bound- Supremum). رمز الأعداد الحقيقية هو R أو \mathbb{R}.
عندما يمثل العدد الحقيقي مقياساً فانه دائماً ما يكون هناك حد خطأ يتم التحصل عليه بتدوير Rounding أو بتر Truncating بعض الخانات العشرية، بحيث يتم التخلص من الخانات التي تعطي دقة أكبر من القياس. الخانات المتبقية تسمى الخانات الموثرة. فمثلاً، القياس بالمسطرة نادراً ما يتم بدون وجود حد خطأ 0.01 متر على الأقل. إذا كانت أطوال أضلاع مستطيل ما قيست كالتالي 1.23 متر و 4.56 متر فإن الضرب سيعطي ناتجاً لمساحة 5.6088 متر مربع. ولأن الخانات العشرية المؤثرة هي فقط الأولى والثانية بعد الفاصلة، فإن القيمة تُدور إلى 5.61.

2011/06/07

.

* الأسماء ومجموع تكراراتها

       هذه هي الأسماء القرآنية التي ترمز وتمثل جوانب مسألة الرسالة والنبوة والحكمة ، مرتبة ترتيبا تصاعـديا حسب مجموع ورودها في القرآن الكريم ..
إل ياسين (1) – أحمد (1) – إدريس (2) –  ذو الكفل (2) – إلياس (2) – اليسع (2) –  لقمان (2) – أيوب (4) –  يونس (4) –  محمد (4) –  يحيى (5) – هود (7) –  زكريا (7) –  صالح (9) –  شعيب (11) – إسماعيل (12) –  يعقوب (16) –  داود (16) – إسحاق (17) –  سليمان (17) – هارون (20) – آدم (25)- عيسى (25) –  لوط (27 ) –  يوسف (27) –  نوح (43) –  إبراهيم (69 ) -  موسى (136) .


                                                    

دعوة القرآن إلى العد والحساب

   إن ذكر القرآن الكريم للأعداد الحسابية ... والعلامات والأرقام العددية إنما يستهدف أن يستخدمها الإنسان فيما يحقق الغرض من خلق الله لها ... وتعليم الإنسان بها ... وتوجيهه إليها ... وعلاوة على ذلك فلقد وجه القرآن الكريم نظر الإنسان إلى العد والحساب في آيات كثيرة ...
   فلقد وجه الله سبحانه وتعالى نظر الإنسان إلى العد ... على أنه حقيقة واقعة في حياة الإنسان فيقول تعالى :
" وإن يوما عند ربك كألف سنة مما تعدون " الحج 47 .
 
   ويوجه الإنسان إلى عناصر الزمن التي بحسابها يصل إلى الساعات والأيام والشهور ثم السنين ... فيقول تعالى :
" هو الذي جعل الشمس ضياء والقمر نورا وقدره منازل لتعلموا عدد السنين والحساب " يونس 5 .
 
   ويقول كذلك في النص الشريف :
" وجعلنا الليل والنهار آيتين فمحونا آية الليل وجعلنا آية النهار مبصرة لتبتغوا فضلا من ربكم ولتعلموا عدد السنين والحساب " الإسراء 12 .
 
   وليس من تشريف للإحصاء والعد قدر ما يقرر القرآن الكريم أن الله جل شأنه قد أحصى كل من في السموات والأرض وعدهم عدا وذلك بالنص الشريف :
" إن كل من في السموات والأرض إلا آتي الرحمن عبدا . لقد أحصاهم وعدهم عدا " مريم 93 ، 94 .
 
   وعن الحساب يقول الله سبحانه وتعالى أن الشمس والقمر ... خلقهما  وأمرهما  وحركتهما إنما بحساب دقيق ... وذلك بالنص الكريم :    " الشمس والقمر بحسبان " الرحمن 5 .
 
   وحتى يقف الإنسان على بعض قدر الحساب وأهميته ... فقد أطلق الله سبحانه وتعالى على يوم القيامة يوم الحساب بالنص الشريف :    " هذا ما توعدون ليوم الحساب "سورة ص 53 .
 
   والله سبحانه وتعالى هو الحسيب ، وذلك بالنص الكريم :  " وكفى بالله حسيبا " النساء 6 .
 
   بل إنه جل شأنه لا تغيب عنه أية إثارة من ذرة . إذ يقول سبحانه وتعالى :   " ونضع الموازين القسط ليوم القيامة فلا تظلم نفس شيئا وإن كان مثقال حبة من خردل أتينا بها وكفى بنا حاسبين " الأنبياء 47 .
 
   وإنه سبحانه وتعالى أسرع الحاسبين ... إذ لا يأخذ منه أمر الحساب شيئا ، فيقول القرآن الكريم :
" ثم ردوا إلى الله مولاهم الحق ألا له الحكم وهو أسرع الحاسبين "   الأنعام 62 .
 
   والحساب إنما يشمل العديد من مختلف العمليات والاستخدامات الرقمية ففيه الجمع والطرح والضرب والقسمة ، ومثلها مما لا  نعلم ... والحساب عند الله فيه  أيضا ما لا نعلم . ولذلك فإن القرآن الكريم إنما يدعونا إلى ممارسة ما نعلم من الأنشطة الحسابية والدراسات العددية ، على أسس من الأعداد التي ذكرها والتي يتكون منها كل الأرقام ...  ويتم بها كل الترقيم . وإذا ما استخدم الإنسان الأعداد والأرقام والحساب ...  وتأملها وتدبرها في القرآن الكريم ... لوجد فيضا من الإعجاز المبين ... يثبت بلغة العصر ... ولسان الجيل ... وبالرقم العددي ... والترقيم الحسابي ... إنه وحي الله سبحانه وتعالى لخلتم المرسلين والنبيين .
الأعداد في القرآن الكريم
   كما أورد القرآن الكريم كل أصول وحقائق العلوم المختلفة ، فقد أورد كذلك الأعداد باعتبارها أصول علم الحساب ، وأساس الأرقام ... وعلامة الترقيم ... وإليك الآيات القرآنية التي تذكر الأرقام والأعداد صراحة :
" قل إنما هو إله  " واحد "  وإنني بريء مما تشركون " الأنعام 19 .
" وقال الله لا تتخذوا إلهين " اثنين "  إنما هو إله واحد " النحل 51 .
" ولا تقولوا  " ثلاثة "  انتهوا خيرا لكم " النساء 171 .
" فسيحوا في الأرض " أربعة "  أشهر " التوبة 2 .
" ويقولون  " خمسة "  سادسهم كلبهم رجما بالغيب " الكهف 22 .
" إن ربكم الذي خلق السموات والأرض في " ستة "  أيام " الأعراف 54 .
" لها  " سبعة "  أبواب لكل باب منهم جزء مقسوم " الحجر 44 .
" ويحمل عرش ربك فوقهم يومئذ " ثمانية "  " الحاقة 17 .
" وكان في المدينة " تسعة "  رهط يفسدون في الأرض " النمل 48 .
" تلك " عشرة " كاملة " البقرة 196 .
   هذه هي أصول الأعداد كلها ... وأسس المحاسبات جميعها ... ولكن كما يهدف القرآن الكريم دائما إلى توجيه نظر الإنسان إلى مزيد من البحث والدراسة ... وحفزه إلى الواسع من العلم والعميق من المعرفة . فقد أورد بعض الأعداد المركبة من رقمين حتى تتسع أمام الإنسان رقعة التفكير في العمل الحسابي ... والاستمرار في الاستخدام العددي .
الأعداد المركبة
" إذ قال يوسف لأبيه يا أبت إني رأيت " أحد عشر "  كوكبا والشمس والقمر رأيتهم لي ساجدين " يوسف 4 .
" إن عدة الشهور عند الله " اثنا عشر "  شهرا في كتاب الله "  التوبة 36 .
" عليها  " تسعة عشر "  " المدثر 30 .
" إن يكن منكم " عشرون " صابرون يغلبوا مائتين " الأنفال 65 .
" وحمله وفصاله " ثلاثون "  شهرا " الأحقاف 15 .
" وإذ واعدنا موسى  " أربعين "  ليلة ثم اتخذتم العجل من بعده وأنتم ظالمون " البقرة 15 .
" ولقد أرسلنا نوحا إلى قومه فلبث فيهم ألف سنة إلا " خمسين "  عاما " العنكبوت 14 .
" فمن لم يستطع فإطعام " ستين " مسكينا " المجادلة 4 .
" ثم في سلسلة ذرعها " سبعون " ذراعا فاسلكوه " الحاقة 32 .
" فاجلدوهم " ثمانين "  جلدة ولا تقبلوا لهم شهادة أبدا " النور 4 .
" إن أخي له تسع " و تسعون "  نعجة ولي نعجة واحدة " سورة ص 23 .
   وأورد القرآن الكريم أيضا بعض الأعداد المركبة من ثلاثة أرقام كالتالي :
" قال بل لبثت " مائة "  عام " البقرة 259 .
" إن يكن منكم عشرون صابرون يغلبوا  " مائتين "  " الأنفال 65 .
" ولبثوا في كهفهم " ثلاث مائة "  سنين وازدادوا تسعا " الكهف 25 .
   وأورد كذلك الأعداد المركبة من أربعة أرقام كالتالي :
" وإن يكن منكم  " ألف "  يغلبوا  " ألفين "  بإذن الله والله مع الصابرين " الأنفال 66 .
" إذ تقول للمؤمنين ألن يكفيكم أن يمدكم ربكم  " بثلاثة آلاف "  من الملائكة منزلين " آل عمران 124 .
" بلى إن تصبروا وتتقوا ويأتوكم من فورهم هذا يمددكم ربكم " بخمسة آلاف " من الملائكة مسومين " آل عمران 125 .
   بل أورد القرآن الكريم العدد المركب من خمسة أرقام كقوله تعالى :
" وأرسلناه إلى " مائة ألف "  أو يزيدون " الصافات 147 .
   وعلاوة على ذلك وبالإضافة إليه ... فلقد أورد القرآن الكريم كسور الأعداد كالتالي :
" ولكم " نصف "  ما ترك أزواجكم إن لم يكن لهن ولد " النساء 12 .
" إن لم يكن له ولد وورثه أبواه فلأمه " الثلث " " النساء 11 .
" فإن كان لهن ولد فلكم  " الربع "  مما تركن " النساء 12 .
" واعلموا أنما غنمتم من شيء فإن لله " خمسه " " الأنفال 41 .
" فإن كان له إخوة فلامه " السدس "  النساء 11 .
" فإن كان لكم ولد فلهن " الثمن "  مما تركتم " .  
" وما بلغوا " معشار " ما ءاتينهم" سبأ 45 .
   ووردت الصفات العددية والترتيبات الرقمية في القرآن الكريم كالتالي :
" قل إني أمرت أن أكون " أول " من أسلم " الأنعام 14 .
" إلا تنصروه فقد نصره الله إذ أخرجه الذين كفروا " ثاني " اثنين " التوبة 40 .
" إذ أرسلنا إليهم اثنين فكذبوهما فعززنا " بثالث "  فقالوا إنا إليكم مرسلون " سورة يس 14 .
" ما يكون من نجوى ثلاثة إلا هو " رابعهم "  " المجادلة 7 .
 " والخامسة "  أن لعنة الله عليه إن كان من الكاذبين " النور 7 .
" ويقولون خمسة " سادسهم "  كلبهم رجما بالغيب " الكهف 22 .
" ويقولون سبعة " وثامنهم كلبهم " " الكهف 22 .
   وهكذا يذكر القرآن الأعداد للإنسان ... وإن فيما أورده  ... إنما يتكون منه كل ما يمكن أن يستخدمه أو يصل إليه الإنسان من أرقام ... وحتى إلى نهاية الزمان .