أبو كامل شجاع (236-318هـ / 850 -930م)

أبو كامل شجاع (236-318هـ / 850 -930م)
------------------------------------------

أبو كامل شجاع بن أسلم بن محمد بن شجاع وشهرته الحاسب المصري، يعرف باسم أبي كامل المصري أحيانا، وأيضا بشجاع بن أسلم. رياضي اشتهر في القرن الثالث الهجري / التاسع الميلادي. ولد بمصر، وبها نشأ وتعلم ثم عمل بالتدريس.
عاصر أبو كامل الخوارزمي عالم الجبر المعروف فتتلمذ عليه وقرأ كل كتبه واستفاد كثيرا من حلوله في المسائل الجبرية، حتى نبغ في علم الرياضيات ونال شهرة كبيرة في علم الجبر.
لقد اهتم أبو كامل بالجانب النظري في علم الجبر أكثر من معلمه الخوارزمي، فكان أول من شرح المعادلات الجبرية التي هي أعلى من الدرجة الثانية بوضوح تام حتى لقب بالأستاذ. ولقد اشتهر أيضا بمنهجه وطريقته في حل المسائل الصعبة باستخدام المجاهيل الجبرية الصحيحة، حيث كان يستعمل في حل المسائل الجبرية الحيوانات و السيوف والرجال والنساء والأطفال. كما كان يعطي لمسائله حلولا كثيرة.

مثال: دفع إليك مائة درهم فقيل لك: ابتع بها مائة طائر من حمام وبط ودجاج. فإذا كانت كل بطة بدرهمين، والحمام كل ثلاثة بدرهم، والدجاج كل اثنين بدرهم. فكم تشتري من كل نوع. الحل: أفرض أن الحمام = س، الدجاج = ص، البط = ع اشتري من الحمام عددا قيمته 3 / س درهم. اشتري من الدجاج عددا قيمته 2 / ص درهم. اشتري من الباقي 100-3 / س-2 / ص درهم. إذن يمكن التعبير عن قيمة كل منها بالمعادلة التالية: ع + س + ص = 100 ------- ع = 100 - س - ص


توفي أبو كامل عام318هـ / 930 م عن عمر يناهز اثنين وثمانين عاما، تاركا وراءه تلاميذ ساروا على نهجه وسلكوا طريقته في علم الجبر من أشهرهم الكرجي ، وعمر الخيام .
ترك أبو كامل عددا من المؤلفات الهامة في علم الرياضيات عامة والجبر خاصة منها كتاب الجبر وتمامه والزيادة في أصوله ، وكتاب الجمع والتفريق ، وكتاب الخطأين ، وكتاب المساحة والهندسة ، وكتاب الوصايا في الجبر والمقابلة ، وكتاب الوصايا بالجذور ، وكتاب الطرائف في الحساب . هذا بالإضافة إلى عدد من الرسائل أشهرها رسالة في المضلع ذي الزوايا الخمس وذي الزوايا العشر وتعرف أيضا بعنوان رسالة في المخمس والمعشر .

جابر بن أفلح (000-509هـ / 000 -1116م)

جابر بن أفلح (000-509هـ / 000 -1116م)
----------------------------------------------

أبو محمد جابر بن أفلح، عالم رياضي وفلكي اشتهر في القرن السادس الهجري / الثاني عشر الميلادي. ولد في إشبيلية وفيها تلقى علومه الأساسية، ثم ما لبث أن هاجر إلى قرطبة واستقر فيها بقية حياته وبها دفن.
درس جابر العلوم الرياضية والفلكية وأولاها عناية كبيرة. ولقد استفاد جابر بن أفلح من خبرة كبار علماء العرب والمسلمين في هذين المجالين. كما قام بإنشاء أول مرصد في الأندلس والذي يعد في ذلك الوقت أول مرصد في أوروبا وعمل فيه جميع تجاربه الفلكية التي بنى عليها ملاحظاته وانتقاداته للنظام البطليموسي الكواكبي.
وتعود شهرة جابر بن أفلح الحقيقية في مجال الرياضيات إلى ابتكاره بعض النظريات الهامة والضرورية لحل المثلثات الكروية، فهو صاحب قانون جابر المعروف في الغرب باسم Gober law المعبر عن علاقة جيوب وجيوب تمام الزوايا وأضلاع المثلث المقابلة لها وينص على (جتا ب = جتاب جاأ).
أما في مجال الفلك فتعود شهرته إلى تصحيحه الأخطاء الخطيرة التي انزلق فيها بطليموس في كتابه المجسطي ، وكذلك إلى نتائجه في إثبات أن الزهرة والمريخ أقرب إلى كوكب الأرض من الشمس. كما كان له الفضل والإبداع في اكتشاف بعض آلات الرصد التي كانت تستخدم في مراكز الرصد في الأندلس.
لقد نال جابر بن أفلح شهرة عظيمة في مؤلفه كتاب الهيئة أو إصلاح المجسطي الذي ضمنه بعض الملاحظات الهامة على كتاب المجسطي لبطليموس وخاصة في نظرية الكواكب السيارة.
وقد أولى علماء أوروبا كتاب الهيئة لجابر اهتماما كبيرا فترجموه إلى اللغة اللاتينية ومنه إلى لغات شرقية وغربية عديدة.

الأرقام في الحضارات القديمة

الأرقام في الحضارات القديمة
----------------------------
يعود أقدم تاريخ مسجل للأرقام إلى عام 3400 قبل الميلاد في مصر. فقد كتب المصريون القدماء الأرقام في صورة خطوط وأشكال هندسية بسيطة، فالأرقام 1،2،3 كتبت على هيئة خطوط عمودية متجاورة، وكان الخط الأفقي عندهم يمثل الرقم (4) وكتبوا الثمانية على شكل خطين أفقيين أحدهما فوق الآخر، والعشرة على شكل حدوة، والألف على شكل زهرة اللوتس، والمائة على شكل لفافة مطوية، والعشرة آلاف على شكل إصبع معقوف والمائة ألف على شكل سمكة، والمليون على شكل رجل رافع يديه إلى أعلى (متعجبا)، والعشرة ملايين على شكل رأس إنسان. وحينما يكتب عدد بطريقة قدماء المصريين فإنه ترسم العلامات الدالة على الأرقام المكونة لهذا العدد، ولا يشترط الترتيب بالنسبة لموقع العشرات والمئات والآلاف، لأن لكل علامة قيمة محددة تقرأ أينما وضعت.
وفي عام 3000 قبل الميلاد استخدم سكان وادي الرافدين الأرقام، ودونوها في خانات تحفظ ترتيب الأعداد في الآحاد والعشرات والمئات. واستطاعوا التوصل إلى رمز خاص يمثل رقم (10). وقد أدت إضافة رمز هذا الرقم الثاني إلى إمكانية التعبير عن رقم (11) باستخدام رقمين بدلا من استخدام (11) رمزا منفردا والتعبير عن رقم (99) باستخدام (18) رمزا بدلا من (99) رمزا منفردا.
وكتب السومريون والبابليون الأرقام مستخدمين أشكالا مسمارية أفقية أو عمودية يحدد عددها ووضعها بالنسبة إلى بعضها البعض قيمة كل عدد من الأعداد.
كما استعملوا نظامين للترقيم أحدهما تجميعي بسيط مثل الذي كان سائدا في الأنظمة القديمة، وهو الذي مازال يستعمل في الترقيم بالأرقام الرومانية، واستخدموه في حالة الأعداد الأقل من (60). أما النظام الآخر في الترقيم فهو نظام ستيني واستخدم في كتابة الأعداد التي تزيد عن (60) وبخاصة في الأغراض الفلكية والعمليات الرياضية الأخرى.
وتختلف قيمة الرقم في النظام حسب موقعه، بحيث تأخذ أرقام الصف الأول قيمتها الذاتية، وتضرب في (60) وحدات الصف الثاني، وتضرب في +(60)2 وحدات الصف الثالث، وتضرب في +(60)3 وحدات الصف الرابع، وتضرب في +(60)4 وحدات الصف الخامس وهكذا. ففي نظام الكتابة المسمارية، كان الرقم المستخدم للتعبير عن العدد 1 هو نفس الرقم المستخدم في التعبير عن 60 ومضاعفاته، حيث كانت قيمة العدد تظهر من خلال السياق. وقد كان هذا الترتيب منطقيا من وجهة النظر الرياضية. وعلى هذا الأساس فإن العدد السومري ـ البابلي التالي يقرأ هكذا: (20 + 52 * 60 + 28 * 602 + 1 * 603 = 319940). أما العدد (16468) فيكتب بالطريقة البابلية على الصورة التالية: (28 + 34 * 60 + 4 * 602 = 16468).
واستخدم القدماء اليونانيون نظامين عدديين متوازيين. وقد وضع أولهما على أساس الحروف الأولى من أسماء الأرقام، حيث كان الحرفان pi يشيران إلى (5) بينما تشير delta إلى (10) أما (100) فيشار إليها بالرسم القديم للحرف H ويشار إلى (1000) بالحروف chi أما (10000) فيشار إليها بالحروف mu.
أما النظام الثاني الذي تم التوصل إليه حوالي القرن الثالث قبل الميلاد فقد استخدم كل حروف الأبجدية اليونانية بالإضافة إلى ثلاثة حروف أخرى مستعارة من اللغة الفينيقية واستخدمت كرموز للأرقام. وقد استخدمت أول تسعة حروف من الأبجدية اليونانية لتعبر عن الأرقام من (1) إلى (9) بينما عبرت التسعة حروف التالية عن العشرات من (10) إلى (90)، بينما عبرت آخر تسعة حروف عن المئات من (100) إلى (900). وكان يشار إلى الآلاف بوضع شرطة إلى يسار العدد المناسب، بينما عبر عن عشرات الآلاف بوضع الحرف المناسب فوق حرف M. ويتميز النظام اليوناني المتأخر بأنه يمكن التعبير عن الأرقام الكبيرة باستخدام أقل عدد من الرموز ولكن من عيوبه أنه يتطلب من المستخدم حفظ عدد من الرموز يصل إلى (27) رمزا.
ولقد استخدم الرومان حتى القرن الأول قبل الميلاد الحروف الأولى لكلمات الأعداد في كتابة الأعداد نفسها. واستخدم الرومان خطوطا عمودية تصف بجوار بعضها لترمز إلى الأعداد فالثمانية مثلا كانت تكتب على شكل ثمانية خطوط عمودية متجاورة، وتوحدت كل عشرة خطوط وحل محلها الرمز X وأصبحت الخمسة تكتب بهذا الشكل بعد أن حل نصف الشكل X. وأصبح الرمز I يعبر عن (1)، و V يعبر عن (5)، و X يعبر عن (10)، و L يعبر عن (50)، و C يعبر عن (100)، و D يعبر عن (500)، و M يعبر عن (1000) و Y يعبر عن (1000000) (حيث توضع شرطة صغيرة فوق العدد للتدليل على مضاعفة العدد بـ (1000).
وفي زمن لاحق قاموا بتبسيط هذا النظام بأن كتبوا الرقم أربعة هكذا IV ، والستة هكذا VI ، والتسعة IX ، والأحد عشر XI ، والرقم (49) IL ، والرقم (499) هكذا ID ، أي أن شكل الرقم I إذا كتب على يسار شكل لرقم معين فإنه يطرح، أما إذا كتب على يمينه فهو يضاف. وكانت كتابة الأرقام بالحروف الأبجدية سببا في تعقيد هذه العملية، حيث الفرق كبير بين كتابة الأرقام ونطقها، فإذا أخذنا الرقم (487) مثلا فإن الرومان كانوا ينطقونه أربعمائة وثمانون وسبعة، بينما يكتبونه هكذا: CCCCLXXXVII أي: مائة - مائة - مائة - مائة - خمسون - عشرة - عشرة - عشرة - خمسة ـ واحد ـ وا حد -.
وقد وضعت هذه الطريقة في كتابة الأعداد الكبيرة وإجراء العمليات الحسابية، فلكي يكتب المليون مثلا يجب أن يكتب الحرف M ألف مرة، وعلى الرغم من وضوح تلك الرموز وسلاستها عند التحدث بها، فقد كانت كتابتها صعبة وتقود إلى الخطأ، كما كانت العمليات الحسابية باستخدام هذه الأرقام شبه مستحيلة، وكان ذلك سببا في تأخر علم الحساب والجبر عند اليونان بالمقارنة مع الهندسة التي برعوا فيها بدرجة واضحة.
وما زالت الأرقام الرومانية تستخدم حتى الآن على الرغم من مرور أكثر من 2000 عام على التوصل إليها. ومع هذا، فإنه يوجد عيب وحيد في الرموز الرومانية ألا وهو أنها غير مناسبة في الحسابات الكتابية السريعة.
أما قدماء الهنود فقد تعاملوا مع الأعداد الكبيرة حيث وجدت أسماء خاصة لكل مضاعفات الرقم (10) حتى ثمانية أصفار. وتطور نظام العد بحيث وجدت في اللغة السنسكريتية القديمة أسماء لكل مضاعفات الرقم (10) حتى ثلاثة وعشرين صفرا، بعكس ما كان عـند اليونان حيث لا توجد أسماء يونانية للأعداد الأكثر من عشرة آلاف.
ولقد تميز الهنود في الرياضيات بمعرفتهم بالنظام العشري في الترقيم، وجعلهم علامات مستقلة لتدوين الأرقام. وكانوا يستعملون تسعة أشكال للرموز إلى الأعداد من الواحد إلى التسعة، ثم يعيدونها وتحت كل منها نقطة لتمثل الأعداد من العشرة إلى التسعين، وكذلك يعيدونها مرة ثالثة وتحت كل منها نقطتان للدلالة على الأعداد من المائة إلى التسعمائة، وعلى نفس القياس يزيدون النقاط تحت الرموز ليكتبوا به ا ما يشاءون من الأعداد، على أن الطريقة الهندية في كتابة الأعداد لم تكن واضحة تماما في بعض الحالات.
(ومن المرجح أنه كانت لديهم أكثر من طريقة لاستخدام الرموز وتمثيل الأرقام) فهي وإن استطاعت أن تكتب رقما يحتوي على الآلاف والمئات والعشرات والآحاد مثل الرقم (3952) حيث الثلاثة = ثلاثة آلاف، والتسعة = تسعمائة، والخمسة = خمسين، والاثنان واضحة في خانة الآحاد، فإنها لم تستطع أن تكتب بوضوح عددا يشتمل على الصفر مثل الرقم (408)، فكانوا يكتبون الأربعة والثمانية ويضعون علامة بينهما أو يتركون فراغا بين الرقمين، وأطلقوا على هذا الفراغ اسم سونيا بندا أو سونيا أو خا، وكان هذا الفراغ، مثل النقط تحت الرموز الدالة على الأعداد التي ذكرها ابن النديم، يسبب بعض المتاعب حيث ينسى الكاتب هذا الفراغ أو تلك النقط، أو قد يترك فراغا واحدا بدلا من فراغين متتاليين، وفي مرحلة لاحقة وضع الهنود في هذا الفراغ دائرة صغيرة أو نقطة.
ولقد عرف العرب قبل الإسلام نظام العدد واستخدموا في ذلك الحصى والعيدان وقد ترك ذلك أثرا لغويا في العربية وهو الإحصاء وهي من الحصى. ولقد كانت حساباتهم في هذا بسيطة لأنهم كانوا في هذا يتعاملون بألفاظ تعبر عن العدد تقريبا فذكروا البعض، والفئة، والنيف، والعقد وغيرها من المسميات.وكان لموقع بلاد العرب المتوسط بين حضارات الشرق وحضارات حوض البحر المتوسط والغرب أثر بالغ في دورهم الحضاري القديم وأدى إلى نشاط تجاري كبير سيطر فيه العرب على التجارة العالمية وقتذاك، واستوجب ذلك معرفتهم بمبادئ الحساب وتدوين الأرقام المرتبطة بالأعمال التجارية كحساب الأرباح والمكاييل والموازيين. واستعمل العرب في ذلك حروف الهجاء للدلالة على الأعداد، واستخدموا الحروف الأولى لكلمات الأعداد في كتابة الأعداد نفسها، فحرف (خ) يدل على الخمسة، وحرف (ع) يدل على العشرة، وحرف (م) يدل على المائة وهـكذا، ثم وسع العرب هذا النظام وطوروه بأن وضعوا الأرقام على ترتيب حروف اللغة العربية، وكان هذا النظام معمولا به في عدد من الأمم القديمة.
ظل العرب يستخدمون الترقيم الأبجدي ـ رغم صعوبته ـ إلى أن طوروا نظام الترقيم الهندي. ويعرف نظام الترقيم العربي القديم باسم حساب أبجد أو حساب الجمل، وفيه يرمز كل حرف إلى رقم خاص يدل عليه، وكان هناك بعض الفر وق في ترتيب حروف الهجاء ودلالاتها الرقمية بين أهل المشرق العربي وأهل المغرب العربي، ورتب أهل المشرق الحروف على النحو التالي:
أبجد هوز حطي كلمن سعفص قرشت ثقذ ضظغ
أما أهل المغرب فقد رتبوا الحروف على النحو التالي:
أبجد هوز حطي كلمن صعفض، قرست، ثخذ ظغش.

الأرقام العربية

الأرقام العربية
---------------------
تعود قصة الأرقام العربية عند المسلمين إلى عام 154هـ / 771 م عندما وفد إلى بلاط الخليفة العباسي المنصور فلكي هندي، ومعه كتاب مشهور في الفلك والرياضيات هو سدهانتا لمؤلفه براهما جوبتا الذي وضعه في حوالي عام 6هـ / 628 م واستخدم فيه الأرقام التسعة والصفر كرقم عاشر. وقد أمر المنصور بترجمة الكتاب إلى اللغة العربية، وبأن يؤلف كتاب على نهجه يشرح للعرب سير الكواكب، وعهد بهذا العمل إلى الفلكي محمد بن إبراهيم الفزاري ، الذي ألف على نهجه كتابا أسماه السند هند الكبير واللفظة "سند هند" تعني باللغة الهندية (السنسكريتية) "الخلود".
وقد أخذ العرب بهذا الكتاب حتى عصر الخليفة المأمون. وفي عام 198هـ / 813 م استخدم الخوارزمي الأرقام الهندية في الأزياج ، ثم نشر في عام 210هـ / 825 م رسالة تعرف في اللاتينية باسم Algoritmi de numero Indorum "أي الخوارزمي عن الأرقام الهندية". وما لبث لفظ الجورثم أو الجورسم أن أصبح معناه في أوروبا في العصور الوسطى طريقة حسابية تقوم على النظام العشري. وعرفت هذه الأرقام أيضا بالأرقام الخوارزمية نسبة إلى الخوارزمي. ومن هذا الكتاب عرف المسلمون حساب الهنود، وأخذوا عنه نظام الترقيم، إذ وجدوه أفضل من حساب الجمل أو حساب أبجد المعمول به عندهم.
وكان لدى الهنود أشكال متعددة للأرقام، اختار العرب مجموعة منها وهذبوها وكونوا منها مجموعتين من الأرقام. وقد عرف الأول باسم الأرقام الهندية واستعمله العرب في المشرق العربي، وعرف الثاني باسم الأرقام العربية واستعمله العرب في أسبانيا والمغرب العربي. أما الطريقة المشرقية التي استعملها عرب بغداد فقد تطورت قليلا حتى أصبحت الأرقام التي تستعمل الآن في مصر والعراق ولبنان وبلاد العرب. وهي على الشكل التالي:
1 - الأرقام الهندية 9،1,2,3,4,5,6,7,8
2 - الأرقام العربية
وتعرف الأرقام العربية كذلك بالأرقام الغبارية. وسميت هذه الأرقام بالغبارية لأنها كانت تكتب في بادئ الأمر بالإصبع أو بقلم من البوص على لوح أو منضدة مغطاة بطبقة رقيقة من التراب. وهي التي انتشر استعمالها في شمال أفريقيا والأندلس ودخلت إلى أوروبا عن طريق الأندلس ومن خلال المعاملات التجارية والرحلات بين الشرق والغرب، فقد وفد إلى بلاط الخلفاء العباسيين في بغداد أيام هارون الرشيد والمأمون سيل من الرحالة والزوار الذين قدموا إلى تلك المدينة العالمية من جهات نائية، وأشاعوا جوا عالميا فيها.
وتتميز الأرقام العربية (الغبارية) أنها مرتبة على أساس عدد الزوايا التي يضمها كل رقم، فالرقم واحد يتضمن زاوية واحدة، ورقم اثنان يتضمن زاويتين، والرقم ثلاثة يتضمن ثلاث زوايا - إلخ كما بالشكل التالي:
ثم دخل بعض التعديل على هذه الأشكال فأصبحت بالشكل المعروف.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
وأما سلسلة الأرقام الأخرى (الهندية) فتستخدم في أغلب الدول العربية والإسلامية، وقد حورها العرب من أشكال هندية عديدة، وقد خضعت الأشكال الدالة على الحروف إلى سلسلة من التعديلات عبر القرون حتى ظهرت الطباعة في القرن الخامس عشر فطبعت الأرقام بأشكالها الحالية تقريبا ومن ثم لم تتعرض هذه الأشكال لتغيرات كبيرة منذ ذلك التاريخ.

*غريزة العد عند الإنسان والحيوان

*غريزة العد عند الإنسان والحيوان



أودع الله ـ عز وجل ـ الإنسان غرائز شتى، من بينها غريزة العد. ولكن هل أودعها الله غير الإنسان من المخلوقات الأخرى؟

يبدو أن بعض المخلوقات تتميز بغريزة العد، إلى درجة محدودة. وهذا ما يقول به كثير من العلماء المعاصرين، ممن يعنون بدراسات سلوك الحيوان والطيور وقد ذكر هؤلاء العلماء أدلة كثيرة بناء على عدة تجارب أجريت على عينات من الطيور والحشرات.

يتميز كثير من الطيور بغريزة العد، وقد عمد بعض العلماء إلى تجربة تثبت ذلك، وتم تكرار التجربة عدة مرات، وخلصوا في النهاية إلى القول بأنه يمكنك أن تقصد عشا لأحد الطيور، به أربع بيضات، وتأخذ واحدة منها، وسترى أن الطائر لا يدرك ذلك، أما إذا أخذت بيضتين، فستلاحظ أن الطائر ينتبه لذلك، ويهاجر تاركاً المكان. والطائر يستطيع بطريقة ما، لا نملك لها تفسيراً، أن يميز بين اثنين وثلاثة.

صيد الغراب:

ثمة قصة تبين غريزة العد لدى الطيور، مؤداها، أن أحد الأشراف أراد أن يصطاد غراباً، بنى عشه في برج ساعة القصر. وحاول ذلك الرجل أن يفاجأ الغراب، ولكن دون جدوى، فكلما اقترب الرجل من البرج، يترك الغراب عشه إلى شجرة بعيدة، حيث ينتظر، ويراقب خروج الرجل من البرج ليعود مرة أخرى إلى عشه. وذات يوم لجأ الرجل إلى خدعة، هي، أن أدخل البرج رجلين، وظل أحدهما داخل البرج ليصطاد الغراب، وخرج الآخر، وذهب بعيداً عن البرج، ولكن الغراب لم يُخدع بهذه الحيلة، فظل بعيداً إلى أن خرج الرجل الذي كان داخل البرج. وتكررت هذه التجربة في الأيام التالية باستخدام رجلين، ثم ثلاثة ثم أربعة، ولكن دون نجاح. وأخيراً أرسل خمسة رجال، دخل جميعهم البرج، وبقي أحدهم فيه، بينما خرج الأربعة الآخرون. وهنا فقد الطائر إحساسه بالعدّ، ولم يستطع أن يميز بين أربعة وخمسة، فعاد مباشرة إلى العش، وتم اصطياده.

الحشرات والعد:

وليست هذه الغريزة العددية قاصرة على الطيور، فإذا راقبنا سلوك حشرة الزنبور، وجدنا الأم تضع بيضها في خلايا، كل بيضة في خلية مستقلة، وتعمد إلى تزويد كل خلية بعدد من اليرقات الحية لكي يتغذى عليها الصغير حين تفقس البيضة، ويخرج منها. ومن العجيب أن نلاحظ تساوي عدد اليرقات في كل خلية، فبعض أنواع الزنابير تضع في كل خلية خمس يرقات، وبعضها يضع اثنتي عشرة يرقة في كل خلية، وبعضها الآخر يضع أربع وعشرين يرقة، في كل خلية.

وثمة حشرة أخرى، تعرف باسم جينوس إيومينوس Genus Eumenus، تتميز بأن الذكر فيها أصغر حجماً بكثير من الأنثى. وبطريقة ما، تعرف الأم إذا كانت البيضة ستفقس، ويخرج منها ذكر أو أنثى؛ فتنظم كمية الغذاء اللازم تبعاً لذلك؛ فإذا كانت البيضة ستفقس ويخرج منها ذكر، فإنها تعد لها خمس يرقات، وأما إذا كانت البيضة ستفقس، ويخرج منها أنثى؛ فإنها تعد لها عشراً.

ويبدو أن ملكة إدراك العدد، وإن كانت محدودة، قد تكون مقصورة، بصورة أو بأخرى، على بعض أنواع معينة من الحشرات والطيور. وأنها تكاد تنعدم تماماً بين الحيوانات؛ فقد فشلت الملاحظات والتجارب التي أجريت على الكلاب والخيول، وغيرها من الحيوانات الأليفة الأخرى، في الكشف عن أي إحساس عددي لديها .

ويبدو أن النحل هو أكثر المخلوقات، باستثناء الإنسان، تمييزاً للعدد، أو تقديراً للمسافات. فالنحلة الشغالة التي تكتشف بستاناً مليئاً بالزهور، ويبعد عن الخلية بما لا يتجاوز خمسين متراً، تأتي تلك النحلة، وتقف على أحد الأقراص الشمعية، وتقوم برقصات دائرية يميناً وشمالاً، ويراقبها باقي النحل، ثم يتجه الجميع مسرعين إلى مكان الرحيق. والشغالات يذهبن إلى المكان، وقد عرفنه جميعاً، دون أن يتبعن النحلة الأولى. أما إذا كان مكان الرحيق أكثر من خمسين متراً، تستخدم النحلة رقصات، يتناقص عددها كلما بعدت المسافة، فهي سبع لفات، عندما تكون المسافة 200 متر، وهي 4.5 إذا كانت المسافة كيلومتراً واحداً، وهي لفتان، إذا كانت المسافة ستة كيلومترات .

الغريزة العددية عند الإنسان:

إن الإحساس العددي عند الإنسان محدود كذلك؛ ففي المواقف العملية، عندما يُطلب من إنسان ما، تحديد عدد أشياء توضع أمامه، فإنه يلجأ بطريقة لا شعورية إلى إحساسه العددي المباشر؛ ليجري عملية التجميع. وقد أثبتت كثير من التجارب أن الإحساس العددي، باستخدام البصر المباشر، نادراً ما يتعدى أربعة، وباستخدام حاسة اللمس أقل من ذلك.

والإحساس بالعدد عند الإنسان يظهر مثلاً عندما يلاحظ الإنسان اختفاء شيء مميز، أو نقص شيء ما، فإذا دخل حجرة بها أناس، سبق له أن رآهم منذ قليل، عرف أن عدد الأفراد بها قد نقص، لأن أحد الوجوه المألوفة غير موجود. وإذا دخل الإنسان صالة عرض (سينما) ونظر إلى مجموعتي المقاعد في الصالة، يمكنه أن يتأكد، بدون عد، إذا ما كانت المجموعتان متساويتين أو لا، وأيهما أكبر من الأخرى.

هذه الحاسة تسمى في علم الرياضيات "الشيء ونظيره" أو "واحد لواحد"، وهي تُبنى، أساساً، على مبدأ التمايز والمقابلة الذي لعب دوراً بارزاً في ظهور فكرة العدد، وصياغته، ولبيان ذلك:

تعوَّد الرعاة القدماء تجميع كمية من الحصى، لدى خروج القطيع إلى المرعى، وكلما خرج فرد من القطيع ـ وهم بالطبع لا يعرفون العدد ـ وضعوا حصاة بدلاً منه، في مكان معين، ولدى عودة القطيع في المساء، كانت تجرى عملية المقابلة، واحد لواحد، ومن ثم يتم التأكد من عودة أفراد القطيع جميعاً، دون نقص في عدد أفراده.

وكانت هذه الحاسة هي النواة، التي انبثق منها، مفهوم العدد.

والعلماء متفقون أن الإنسان، في غابر الأزمان، كان لا يعرف الأعداد الحسابية. وكل ما كان يعرفه هو تقدير الكمية بقليل أو كثير؛ فقد كان لا يعرف الفرق بين ثلاثين، أو ثلاثة وأربعين، أو واحد وعشرين ... إلخ. وغاية الأعداد التي كان يعرفها هي: واحد، واثنان، ثم كثير. ولا زال لفظ الثلاثة في كل من اللاتينية (Tres)، والفرنسية (Tre's)، والإنجليزية (Thrice)، يفيد معنى ثلاثة وكثير في الوقت نفسه.

واحد اثنان فقط

أثبتت الدراسات الأنتروبولوجية، التي أُجريت على الأقوام، الذين يعيشون في مناطق نائية، من بين كثير من القبائل في استراليا، وجزر المحيط الهندي، وأمريكا الجنوبية، وأفريقيا، وهم أشبه بالبدائيين، لم يصلوا بعد إلى مرحلة العد على الأصابع، أنه يكاد ينعدم لديهم التميز العددي. ويقول أحد العلماء، بعد دراسات طويلة، أجراها على الاستراليين البدائيين، أنه لا يوجد، بين الأهالي، من يستطيع تمييز أربعة أشياء، إلا القليل منهم، وأنه لا يوجد استرالي بدائي واحد يستطيع أن يدرك "سبعة" كما أن قبائل الأقزام، في جنوب أفريقيا، ليس لديها كلمات تدل على الأعداد، بعد واحد واثنين!، وإنما هم يطلقون على أي عدد، يزيد عن اثنين، لفظه كثير!

ولو سألت أحد أفراد قبائل الهوتونتوت، في أفريقيا ـ كما ذكر الرحالة الذين تجولوا في أنحاء القارة الأفريقية ـ كم له من الأولاد، أو كم عدداً قتل، وكان العدد يزيد عن ثلاثة، لكان جوابه. كثير !

ومن الحكايات الطريفة في هذا الشأن أن نبيلين من المجر تراهنا فيما بينهما رهاناً، يفوز به من يتفوق على صاحبه في ذكر أكبر عدد ممكن. قال أحدهما لصاحبه:

ابدأ أنت، فاذكر ما عندك.

فاستغرق صاحبه في تفكير عميق، ثم قال: ثلاثة.

وأخذ الآخر يفكر، ثم، بعد فترة، قال مستسلماً: لقد ربحت أنت الرهان.

ولا شك أن غريزة العدّ، عند الإنسان، جعلته يمضي في طريق التقدم، متفوقاً على الطيور والحشرات، وأخذ يخوض التجارب المتواصلة، إلى أن هداه الله إلى اختراع الأعداد، ليحل بها مشاكله الخاصة، في حياته اليومية، وليتعامل مع باقي أفراد جنسه، والعالم من حوله، ليصل إلى هذا المستوى الهائل من التقدم.

*علم العدد

*علم العدد

يؤكد علم العدد أن الصدفة لا وجود لها في الحياة , وما من شيء يخرج عن نظام الطبيعة في هذا الوجود . من هنا , اعتبر الباحثون علم العدد فلسفة قائمة بذاتها, وحقيقة واقعية, وركيزة أساسية في بنيان الإنسان والكون .

نظرية فيثاغوروس

كان فيثاغوروس شديد الاهتمام بعلم العدد وكيفية نشوئه, كثير البحث عنه وعن خواصه ومراتبه ونظامه, وكان يقول: " إن في معرفة العدد وكيفية نشوئه من الواحد الذي قبل الاثنين, معرفة وحدانية الله, عز وجل, وفي معرفة خواص الأعداد, وكيفية ترتيبها ونظامها, معرفة موجودات الباري تعالى, وعلم مخترعاته وكيفية نظامها وترتيبها, وإن علم العدد مغروس في النفس يحتاج إلى أدنى تأمل ويسير من التذكار حتى يستبين ويعرف بلا دليل".

ولم تكن الفيثاغورية مدرسة فلسفة وحسب, بل كانت أيضا مدرسة دينية أخلاقية على نظام الطرق الصوفية. ومن أبرز معتقدات هذه المدرسة أن كل شيء هو العدد, وقد صيغ هذا القول في صيغتين مختلفتين: الأولى هي أن كل الأشياء أعداد, بمعنى أن الأشياء نفسها في جوهرها أعداد, أو بعبارة أخرى أن الأعداد هي التي تكون جوهر الأشياء؛ والثانية هي التي تذكر أن الأشياء تحاكي الأعداد, ومعنى ذلك أن الأشياء صيغت على نموذج أعلى هو العدد. ووصل فيثاغوروس إلى فكرة العدد بحسبانه أصل الوجود, وفوق الظواهر الحسية, من تأمله في الانسجام بين النغمات, وفي مواضع الأـجرام السماوية وحركتها.

من ناحية أخرى, لا حظ الفيثاغوريون, من عنايتهم بالموسيقى, أن النغمات أو الهرموني تقوم على الأعداد: فالنغمات الموسيقية تختلف الواحدة منها عن الأخرى تبعا للعدد ويلاحظ من ناحية أخرى أن اكتشاف الفيثاغوريين للانسجام الموجود في الكون قد أدهشهم, وجعل من الطبيعي لديهم أن يمتد هذا الانسجام إلى الكون كله حتى يصبح هذا الانسجام جوهر الأشياء ؛ ولما كان الانسجام يقوم على العدد, كان من الطبيعي أن يقال إن جوهر الأشياء هو العدد.

قسم الفيثاغوريون العدد قسمين: العدد الفردي والعدد الزوجي, وقالوا إن العدد الفردي هو المحدود, والزوجي هو اللامحدود, لأن الفردي لا يمكن أن ينقسم قسمين, بل يقف عند حده؛ بينما العدد الزوجي ينقسم, فهو غير محدود . ثم ربطوا بين المحدود واللامحدود, وبين المذاهب الأخلاقية, فقالوا إن المحدود هو الخير, واللامحدود هو الشر .

واختلف الفيثاغوريون فيما بينهم حول هذا التقسيم للعدد بين فردي وزوجي, فقال عدد منهم إن الأصل في الأعداد هو الوحدة, ومن هذه الوحدة تنشأ الثنائية . أما أصحاب الرأي الآخر فيقولون إن الأصل هو هذه الازدواجية بين الوحدة وبين الثنائية أو الكثرة, وينشأ الكون بانفصال الواحد عن الآخر, وعلى هذا يتكون الكون عن طريق الصدور .

بدأ الفيثاغورين بأن نسبوا إلى الأعداد صفات هندسية, فقالوا إن الواحد يناظر النقطة, والاثنين يناظر الخط, والثلاثة تناظر السطح, والأربعة تناظر الجسم, فهناك إذا تناظر واتصال بين الأعداد وبين الأشكال الهندسية .

ونسب الفيثاغوريون إلى الأعداد صفات أخلاقية, فقالوا مثلا إن الخمسة مبدأ الزواج, لأنه حاصل الجمع بين العدد الذي يدل إلى المذكر والعدد الذي يدل إلى المؤنث . كذلك الحال في السبعة, فهو العدد الذي من طريقه تنقسم الحياة الإنسانية . والعشرة أكمل الأعداد ، وهو الوحدة الرئيسية التي تشمل كل الأشياء الأخرى ، خصوصا إذا ما لاحظنا أن أن العشرة حاصل جمع الأعداد الأربعة الأولى . ولهذا ارتفع به الفيثاغوريون – كما ارتفع به لاحقا الأفلاطونيون الذين اتجهوا اتجاها فيثاغوريا – إلى مرتبة الآلهة لأن هذا العدد هو أصل الوجود . اعتبر فيثاغورس علم الأعداد من المعارف المقدسة ، فكان يلقّن دروس الأعداد شفهيّا لتلاميذه المختارين ، لئلّا تتسرب المعلومات خارج جدران مدرسته . وقد تبنّت الفلسفة الإيلية ، ومن أبرز فلاسفتها برمنيدس ، نظرية الفيثاغوريين في العدد .

في المدرسة الفيثاغورية ألف نيقوماخوس الأردني ، أحد تلامذة فيثاغورس ، كتاب " المدخل إلى علم العدد " ، ويدور الكتاب على فكرة أساسية هي أن العدد أساس كل العلوم ، وأن الأشياء في جوهرها أعداد . والعدد ليس مفارقا للموجودات ، بل هو ملتصق بها . ولما كانت الأعداد منسجمة ، فقد ظهر الانسجام في الوجود ، الذي هو في جوهره عدد . وينتهي بأن علم العدد هو أشرف العلوم ، لأنه علم أزليّ سابق على بقية العلوم ، وإلى أن الله لما خلق الأشياء فعلى مثال العدد .

نظرية أفلاطون

يقول أفلاطون إن الأعداد تكون جوهر الأشياء بوصفها صورة . ويفرق افلاطون بين نوعين من الأعداد : الأعداد الرياضية والأعداد المثالية ، فيقول إن الأعداد بوصفها وحدات مقابلة للأشياء الحسية هي الأعداد الرياضية ، أما الأعداد بحسبانها مبادئ الأشياء ، ومن طريقها نستطيع أن نستخلص بقية الوجود ، فيمكن أن تسمّى باسم الأعداد المثالية أو الأعداد كصور . والفرق بين فيثاغوروس وأفلاطون هو أن الأعداد ، لدى أفلاطون ، لها مكانة وسط بين الوجود الحسّي والوجود العقلي ، بينما ، لدى فيثاغوروس ، وجود الأعداد هو الوجود المحسوس .

نظرية أرسطو

يفرّق أرسطو بين العدد عند أفلاطون ، والعدد عند فيثاغوروس ، فيقول إن الفيثاغوريين لا يجعلون الأعداد مفارقة للأشياء التي هي نموذج لها - كما فعل أفلاطون حينما جعل الصّور أو المثل مفارقة للأشياء التي تشاركها في الوجود – وإنما هم يجعلون الأعداد متّصلة وغير منفصلة عن الأشياء . وهذا يبين لنا الطريق الصحيح الذي علينا أن نسلكه من أجل بيان ماهيّة الأعداد من حيث صلتها بالأشياء .

ونقل عن أرسطو قوله للإسكندر الكبير وقد سأله أن يوصيه : " لا صديق أشرف من حكيم ولا علم أشرف من الحكمة وأشرف فنونها كما علمت أيها الملك هو علم أسرار الحروف والأعداد " .

نظرية إتسلر

يقول إتسلر إن الأعداد صورة وهيولى معا للأشياء .

عند المسيحيين

أعطى الشرق القديم أهمية كبرى لرمزية الأعداد . لكن الكتاب المقدس لا يعتبر أي عدد مقدسا في ذاته ، إلا أننا في مقابل ذلك ، وبناء على بعض الاصطلاحات العرفية ، أو نتيجة التأثير الجانبي من بعض الحضارات المجاورة ، نجد فيه الكثير من الاصطلاحات الرّمزيّة . وقد اهتم آباء الكنيسة بعلم العدد ، فتبنّى القدّيسان إيريناوس ويوستنيانوس الفلسفة الفيثاغورية ، ودرس القدّيس أمبروسيوس علم العدد في ضوء النعمة الإلهية . وقال القدّيس أغوسطينوس إن الإنسان يستطيع أن يتعرّف إلى الله بواسطة العدد . ودافع القدّيس إيرونيموس عن العدد باعتباره سبيلا لاهوتيّا ، وأيّده في نظريّته القدّيسان سيريلوس ويوحنّا فم الذهب .
عند العبرانيين

يقول سفر الحكمة في التّوراة " إن الرّب الإله رتّب كل شيء بمقدار وعدد ووزن " . - 11 : 21 – وذكر يشوع بن سيراخ آية تقول : " وحيث تكون الأيدي الكثيرة أقفل ومتى قسّمت فبالعدد والوزن " – 42 : 7 - .

عند أخوان الصّفا

يقول الإخوان إن الأرطماطيقي هو معرفة خواصّ العدد وما يطابقه من معاني الموجودات . وأول ما ينظر في هذه العلوم الفلسفية الرياضيات وأول الرياضيات معرفة خواصّ العدد لأنه أقرب العلوم تناولا . ومن بين رسائل الإخوان ، تأتي رسالة العدد في الطليعة ، والغرض المراد من هذه الرسالة هو رياضة أنفس المتعلمين للفلسفة ، المؤثرين للحكمة ، الناظرين في حقائق الأشياء ، الباحثين عن علل الموجودات بأسرها . وفيها بيان أن صورة العدد في النفوس مطابقة لصور الموجودات في الهيولى ، وهي أنموذج من العالم الأعلى ، وبمعرفته يتدرج المرتاض إلى باقي الرياضيات والطبيعيات . وإن علم العدد جذر العلوم ، وعنصر الحكمة ، ومبدأ المعارف .

وعلى طريقة الفيثاغوريين ، يعتبر الإخوان العدد أصل الموجودات ، فرتّبوه على الأمور الطبيعية والروحانية . واعتقد الإخوان " أن الموجودات بحسب طبيعة العدد وخواصّه ، فمن عرف طبيعة العدد وأنواعه وخواصّ تلك الأنواع . تبيّن له إتقان الحكمة وكون الموجودات على أعداد مخصوصة " .

في بابل

جاء في رقيم مسماريّ أن مقاييس برج بابل وضعت استنادا إلى الأعداد المقدسة . كذلك الأمر بالنسبة إلى مدينة بابل نفسها .

في مـصـر

اعتقد المصريون أن العدد يحكم الإنسان ويسيطر عليه لأنه يتجاوز مستواه المنطقي والفكري ، وهو وسيلة من وسائل التعبير عن التناغم الكوني .

وقد ازدهر علم العدد في العام 3000 ق. م. لا سيّما عندما مهر العلماء المصريون في استعمال المعادلات الرقمية في فن بناء الأهرام . وتعامل المصريون بالكسور ، وعرفوا العمليات الحسابية الأربع – جمع ، ضرب ، طرح ، قسمة – وبسّطوا عمليات الحساب فأجروا الضرب على أساس الجمع ، والقسمة على أساس الطرح .

في الـيـونـان

يعتبر تفسير الأعداد من بين العلوم الرمزية الأكثر قدما . وفي اليونان أرجع طاليس أصل الأشياء إلى الماء ، وأنكسمندريس إلى الجوهر اللامحدود ، وأنكسمانس إلى الهواء ، والإيليّون إلى الوجود بما هو موجود ، أما فيثاغوروس فقد أرجع أصل الوجود إلى العدد ، ورأى فيه الدرجة الأعلى للمعرفة وجوهر التناسق الكوني .

في فـارس

تم تصميم النظام العددي في الديانة المانويّة لمساعدة الإيداع في الذاكرة . وقد تخيّل ماني – على غرار النمط الفيثاغوري المحدّث – وجود أسرار خاصة في العلاقة المتبادلة بين الأعداد .

في الهند : اعتنى علماء الهند بالأعداد وعظّموا هذا العلم .

في الـصـيـن

ترى الصين إلى العدد مفتاح التناسق الكوني وتطابق الأرض مع القوانين السماوية . ويقول المؤرخ بان كو – إن عائلتي هي وهو من سلالة مينغ – تانغ قد اهتمتا كثيرا بعلم العدد .

في المكسيك

ترتدي الأعداد لدى الأ زتيك أهمية كونية ، فكل عدد يرتبط بإله ولون ونقطة في الفضاء ، وبمجموعة تأثيرات جيّدة أو سيّئة .

في أفريقيا : تعتقد قبائل أفريقية كثيرة أن العدد خدعة الغموض .

عند النّصيريّين

يقول النّصيريّون " إن السيد محمد أوّل الأعداد ، وهو الواحد ، والأعداد بدؤها منه وعودها إليه . وإن عليّ بن أبي طالب لا ينقسم ولا يدخل في عدد .

عند الإسماعيليين : يحيّي الإسماعيليون الإله بالأسماء والأعداد .

عند الماسونيين : ترى الماسونية إلى العدد على أنه من أكثر الأشياء حكمة .

في الـفـكـر

يقول لايبنيتز " Leibnitz " فيلسوف ألماني " إن علم العدد يحتوي على أسرار كبيرة . وكتب الشاعر الفرنسي فيكتور هوغو : " الإنسان ، الرقم المختار ، الرّأس المهيب للعدد " . وقال بالزاك : " كل شيء لا يوجد إلا بالحركة والعدد . والحركة هي العدد الفاعل " ورأي الشاعر بويسيوس " Boece " أن المعرفة السّامية تمر في الأعداد . وكتب نيقولا دو كيو أن الأعداد تمثل الطريقة الفضلى للاقتراب من الحقائق الإلهية . وقال دو ميتر " De Maitre " في حياتي ، لم أدرس إلا العدد ، إنه الحركة ، إنه الصوت ، إنه كلمة الفكر . وبما أنه موجود في كل مكان ، فإنّي أراه في كل مكان " . ورأي لاميراندول أنه ، من خلال العدد ، نستطيع أن نجد طريقا لتفسير كل الأشياء .

ثـابت بن قـرّه

ترجم ثابت بن قرّة كتاب " المدخل إلى علم العدد " لنيقوماخوس ، أحد تلامذة فيثاغوروس . يدور الكتاب على فكرة أساسية وهي ، أن العدد أساس كل العلوم ، وأن الأشياء في جوهرها أعداد . والعدد ليس مفارقا للموجودات ، بل هو ملتصق بها .

ولعدم التطويل نختصر بذكر النقاط فقط فنقول : أنه ذكر بان الأعداد على نوعين : " الأعداد المفردة وتسمّى المحدودة لأنها لا تنقسم " والأعداد المزدوجة وتسمّى اللامحدودة لأنها تنقسم " .

كما بين أهمية العدد في عدة مجالات حيوية مثل الحساب والمقايضات والهندسة وبناء المدن والملاحة وغيره الكثير ، وينتهي إلى أن علم العدد هو أشرف العلوم ، لأنه علم أزلي سابق على بقية العلوم ، وإلى أن الله لما خلق الأشياء فعلى مثال العدد . وقسم الأشياء الموجودة إلى ذوات عدد ، وذوات مقدار ، وإن العدد والمقدار غير متناهيين . وقام بتقسيمها إلى عدة أقسام وتفرعات عديدة ، فالأشياء التي هي أعيان الموجودات فبعضها متصل مختلط مثل الحيوان ، والشجر ، وبعضها منفصلة منقسمة ، متجاورة ، مثل القطيع والأمة ، . كما تعرض إلى الأعداد المتحابّة " يقال للعددين أنهما متحابّان إذا كان مجموع أجزاء أحدهما يساوي الثاني ، ومجموع أجزاء الثاني يساوي العدد الأول مثال :

" 220 و 484 " . وتكلم عن النسبة وهي المساواة بين كميات مختلفة الحدود . وشرح خواصّ الأعداد : " فالشّيء الأصغر الذي من اجتماعه يكون قوام شيء ما ، هو مبدأ تكوين الأشياء كلها . ويأتي إلى التّوسطات ، وهي قياس حدين أحدهما إلى الآخر ، وتركيبها يحتاج إلى ثلاثة حدود يتلو بعضها بعضا على تساو من الاختلاف والبعد بينهما . وينتهي بذكر ثلاث نسب أو توسّطات كانت معروفة لدى اليونان وهي :

1- التناسب العددي . 2- التناسب الهندسي . 3- التناسب التأليفي .

عند المسلمين
دعوة القرآن إلى العد والحساب

إن ذكر القرآن الكريم للأعداد الحسابية ... والعلامات والأرقام العددية إنما يستهدف أن يستخدمها الإنسان فيما يحقق الغرض من خلق الله لها ... وتعليم الإنسان بها ... وتوجيهه إليها ... وعلاوة على ذلك فلقد وجه القرآن الكريم نظر الإنسان إلى العد والحساب في آيات كثيرة ...

فلقد وجه الله سبحانه وتعالى نظر الإنسان إلى العد ... على أنه حقيقة واقعة في حياة الإنسان فيقول تعالى :

" وإن يوما عند ربك كألف سنة مما تعدون " الحج 47 .

ويوجه الإنسان إلى عناصر الزمن التي بحسابها يصل إلى الساعات والأيام والشهور ثم السنين ... فيقول تعالى :

" هو الذي جعل الشمس ضياء والقمر نورا وقدره منازل لتعلموا عدد السنين والحساب " يونس 5 .

ويقول كذلك في النص الشريف :

" وجعلنا الليل والنهار آيتين فمحونا آية الليل وجعلنا آية النهار مبصرة لتبتغوا فضلا من ربكم ولتعلموا عدد السنين والحساب " الإسراء 12 .

وليس من تشريف للإحصاء والعد قدر ما يقرر القرآن الكريم أن الله جل شأنه قد أحصى كل من في السموات والأرض وعدهم عدا وذلك بالنص الشريف :

" إن كل من في السموات والأرض إلا آتي الرحمن عبدا . لقد أحصاهم وعدهم عدا " مريم 93 ، 94 .

وعن الحساب يقول الله سبحانه وتعالى أن الشمس والقمر ... خلقهما وأمرهما وحركتهما إنما بحساب دقيق ... وذلك بالنص الكريم : " الشمس والقمر بحسبان " الرحمن 5 .

وحتى يقف الإنسان على بعض قدر الحساب وأهميته ... فقد أطلق الله سبحانه وتعالى على يوم القيامة يوم الحساب بالنص الشريف : " هذا ما توعدون ليوم الحساب "سورة ص 53 .

والله سبحانه وتعالى هو الحسيب ، وذلك بالنص الكريم : " وكفى بالله حسيبا " النساء 6 .

بل إنه جل شأنه لا تغيب عنه أية إثارة من ذرة . إذ يقول سبحانه وتعالى : " ونضع الموازين القسط ليوم القيامة فلا تظلم نفس شيئا وإن كان مثقال حبة من خردل أتينا بها وكفى بنا حاسبين " الأنبياء 47 .

وإنه سبحانه وتعالى أسرع الحاسبين ... إذ لا يأخذ منه أمر الحساب شيئا ، فيقوا القرآن الكريم :

" ثم ردوا إلى الله مولاهم الحق ألا له الحكم وهو أسرع الحاسبين " الأنعام 62 .

والحساب إنما يشمل العديد من مختلف العمليات والاستخدامات الرقمية ففيه الجمع والطرح والضرب والقسمة ، ومثلها مما لا نعلم ... والحساب عند الله فيه أيضا ما لا نعلم . ولذلك فإن القرآن الكريم إنما يدعونا إلى ممارسة ما نعلم من الأنشطة الحسابية والدراسات العددية ، على أسس من الأعداد التي ذكرها والتي يتكون منها كل الأرقام ... ويتم بها كل الترقيم . وإذا ما استخدم الإنسان الأعداد والأرقام والحساب ... وتأملها وتدبرها في القرآن الكريم ... لوجد فيضا من الإعجاز المبين ... يثبت بلغة العصر ... ولسان الجيل ... وبالرقم العددي ... والترقيم الحسابي ... إنه وحي الله سبحانه وتعالى لخلتم المرسلين والنبيين .

*العدد واستعمالاتة في العربية

*العدد واستعمالاتة في العربية

1 - أقسام العدد أربعة

مفرد ، مركب ، عِقد ، ومعطوف .

فالعدد المفرد : يشمل الواحد ، والعشرة ، وما بينهما . ويلحق به ، لفظتا مئة وألف . ولو اتصلت علامة تثنية أو جمع كمئتين ، وألفين ومئات وألوف .

العدد المركب : وهو ما تركب تركيباً مزجياً من عددين لا فاصل بينهما . وينحصر العدد المركب في الأعداد : أحد عشر ، وتسعة عشر وما بينهما .

العدد العِقد : وينحصر اصطلاحاً في الألفاظ : عشرين ، ثلاثين ، أربعين ، خمسين ، ستّين ، سبعين ، ثمانين ، تسعين .

والعدد المعطوف : ينحصر بين عقدين من العقود السالفة . وكل عدد محصور بين عقدين على الوجه السابق ، لا بد أن يشتمل على معطوف ، ومعطوف عليه ، وأداة عطف (هي الواو) ، مثل :

واحد وعشرون ، ستة وخمسون ، اثنان وثلاثون ، إحدى وأربعون ، واثنتان وستون .

2 - تذكيره وتأنيثه

1 - العددان : واحد واثنان :

يوافقان المعدود ، سواء أكانا مفردين ، مثل :

وليس كثيراً ألف خل وصاحب * وإن عـــدواً واحــداً لكــثير

ومثل قوله تعالى : {ثَمَانِيَةَ أَزْوَاجٍ مِّنَ الضَّأْنِ اثْنَيْنِ وَمِنَ الْمَعْزِ اثْنَيْنِ .....} (143) سورة الأنعام .

أم مركبين ، مثل قوله تعالى : {..... يَا أَبتِ إِنِّي رَأَيْتُ أَحَدَ عَشَرَ كَوْكَبًا.....} (4) سورة يوسف .

وقوله تعالى : {.....فَانفَجَرَتْ مِنْهُ اثْنَتَا عَشْرَةَ عَيْناً.....} (60) سورة البقرة .

أم معطوفاً عليهما ، مثل : اشتريت كتاباً بواحدٍ وعشرين درهماً .

ومثل : وجدت في الصندوق اثنتين وخمسين تفاحة .

2 - الأعداد من (3 - 9) :

تكون على عكس المعدود تذكيراً وتأنيثاً . سواء أكانت مفردة ، مثل قوله تعالى : {سَخَّرَهَا عَلَيْهِمْ سَبْعَ لَيَالٍ وَثَمَانِيَةَ أَيَّامٍ حُسُومًا.....} (7) سورة الحاقة .

أم مركبة مثل : مكثنا في الرحلة ثلاثة عشر يوماً ، وأربع عشْرة ليلة .

أم معطوفاً عليهما ، مثل قوله تعالى : {إِنَّ هَذَا أَخِي لَهُ تِسْعٌ وَتِسْعُونَ نَعْجَةً.....} (23) سورة ص .

ومثل : فاز بالجائزة ثلاثة وعشرون مُتسابِقاً .

3 - العدد (10) :

يكون على خلاف المعدود - إذا كان مفرداً ، مثل قوله تعالى : {.....إِطْعَامُ عَشَرَةِ مَسَاكِين.....} (89) سورة المائدة .

ومثل قولك : اشتريتُ عَشْرَ صور بعشرة دراهم .

ويكون على وفق المعدود إذا كان مركباً ، مثل قوله تعالى : {.....وَبَعَثْنَا مِنهُمُ اثْنَيْ عَشَرَ نَقِيبًا.....} (12) سورة المائدة .

4 - ألفاظ العقود :

ولا تختلف صيغة ألفاظ العقود مع المعدود مذكراً ولا مؤنثاً ، مثل قوله تعالى : {..... وَحَمْلُهُ وَفِصَالُهُ ثَلَاثُونَ شَهْرًا .....} (15) سورة الأحقاف .

وكذا لفظُ مئة ، ولفظ ألف ، مثل قوله تعالى : {..... فِي كُلِّ سُنبُلَةٍ مِّئَةُ حَبَّةٍ .....} (261) سورة البقرة .

وقوله تعالى : {.....فَأَمَاتَهُ اللّهُ مِئَةَ عَامٍ ثُمَّ بَعَثَهُ .....} (259) سورة البقرة .

وقوله تعالى : {..... وَإِن يَكُن مِّنكُمْ أَلْفٌ يَغْلِبُواْ أَلْفَيْنِ بِإِذْنِ اللّهِ ......} (66) سورة الأنفال .

3 - تمييز العدد

والمقصود بتمييز العدد إزالةُ الإبهام من لفظ العدد ، لأت العدد لفظ مُبهم ، لا يوضح بنفسه المرادَ منه ، ولا يُعيّن نوع مدلوله ومعدوده ، كأن تقول (ثلاثة) مثلا . ولو قلت (ثلاثة كتب) (أو ثلاث ليالٍ) لزال الإبهام ، وانكشف الغموض عن مدلول العدد . ولذا يُسمّيه النحاة (تمييز العدد) .

ولهذا التمييز أحكام تختلف باختلاف أقسام العدد .

1 - العددان (1 ، 2) لا يحتاجان إلى تمييز .

2 - الأعداد (3 - 10) تحتاج لجمع تكسير مجرور بالإضافة ، مثل جاء ثلاثة رجال ، وعشرة نسوة .

3 - الأعداد (11 - 99) يكون التمييز مُفرداً منصوباً ، كقوله تعالى : {قَالَ فَإِنَّهَا مُحَرَّمَةٌ عَلَيْهِمْ أَرْبَعِينَ سَنَةً.....} (26) سورة المائدة .

4 - العددان ، مئة وألف يكون تمييزها مُفرداً مجروراً ، كقوله تعالى : {..... قَالَ بَل لَّبِثْتَ مِئَةَ عَامٍ .....} (259) سورة البقرة .

وكقوله تعالى : {..... وَإِنَّ يَوْمًا عِندَ رَبِّكَ كَأَلْفِ سَنَةٍ مِّمَّا تَعُدُّونَ} (47) سورة الحـج .

4 - إعراب العدد وبناؤه

- الأعداد المركبة (11 - 99) باستثناء العدد (12) مبنية على فتح الجزأين :

في محل رفع ، مثل : جاء تسعةَ عشرَ طالبا .

أو في محل نصب ، مثل : اشتريتُ أربعةَ عَشَر كتاباً .

أو في محل جر ، مثل : سافرتُ إلى خمسةَ عَشرَ بلداُ .

- العدد (12) : يُعرب الجزء الأول منه إعراب المثنى ، فيُرفع بالألف ، ويُنصب ويُجرّ بالياء ، ويُبنى الجزء الثاني على الفتح ، (ويكون في محل جرّ الإضافة) ، نحو : - وجدت في الكتاب اثنَتَيْ عشْرَة صفحةً بيْضاء .

- الأعداد غير المركبة تُعرب حسب موقعها في الجملة .

إ - الأعداد (3 - 10) تُعرب إعراب المُفرد ، فتُرفع بالضّمة ، وتُنْصب بالفتحة ، وتُجَرّ بالكسرة . وكذلك المئة والألف .

ب - ألفاظ العقود ، تُعرب إعراب جمع المذكر السالم ، فتُرفع بالواو ، وتنصب وتجرّ بالياء .

5 - تقديم المعدود على العدد

عند تقديم المعدود على العدد ، يجوز في العدد التذكير والتأنيث : تقول : رجال سبعة ، ورجالٌ سبعٌ . ومسائل تسع ، ومسائل تسعة . والأفضل اتباع الأحكام العامة السابقة .

6 - صياغة العدد على وزن فاعل

عند الرَّغبة في الدلالة على ترتيب المعدود يُصاغ من العدد اسمٌ مشتق على وزن فاعل .

وما يُصاغ منه :

أ - الأعداد المُفردة (2 - 10) : يُصاغ منها على وزن فاعل فينعت به ، ويطابق حينئذ معدودهُ في التعريف والتنكير والتذكير والتأنيث ، نحو :

صدرت الطبعةُ الثانيةُ من الكتاب ، وقرأت الفصلَ الرابع منه . أما العدد (1) فيُستغنى عن وزن فاعل منه ، بكلمة (الأوّل) للدلالة على ترتيب المذكر ، و(الأولى) للدلالة على تريب المؤنث .

ب - الأعداد المركبة (11 - 19) : يصاغ الجزء الأوّل فقط على وزن فاعل ، وفاعلة ، ويبقى الثاني على حاله ، مثل :

حصل حسين على المركز الرّابع عشر ، وحفظ المقامَة السّادسة عشْرَة .

ويطابق العدد - هنا - المعدود تذكيراً وتأنيثاً ، ويبنى على فتح الجزأين معاً ويكون في محل رفع أو نصب أو جر على حسب حاجة الجملة .

جـ - الأعداد المشتملة على حرف عطف ، يُصاغ من المعطوف عليه على وزن فاعل أو فاعلة ، مثل :

(انقضى اليومُ التّاسعُ والعشرون من الشّهر) . و(قرأت الصفحة الخامسةَ والعشرين من الكتاب) .

ويعرب الجزء الأول بالحركات والثاني بالحروف .

د - العددان (مئة وألف) يبقى هذان اللفظان على حالهما ، فيقال : الكتابُ الألف في المكتبة . والصفحة المئة ، والليلة الألف والمئة .

7 - تعريف العدد

في تعريف العدد :

1 - إذا كان العدد مضافاً ، وأردنا تعريفه بـ (أل) فالأحسن إدخالها على المضاف إليه وحده أي على المعدود ، نحو : عندي ثلاثةُ الأقلام ، وأربعُ الصحف ، ومئة الدرهم .

2 - إذا كان العدد مركباً ، فالأحسن إدخالها على الجزء الأول منه ، نحو :

قرأتُ الأحد عشَرَ كتاباً ، وسمعتُ الخَمْس عشْرَةَ أُنشودةً .

3 - إذا كان مفرداً ، أي أنه من العقود ، دخلت عليه (أل) مباشرة ، نحو : قرأتُ الثلاثين كتاباً ، وسقيتُ العِشرين شجرةً .

4 - إذا كان معطوفاً ، فالأحسن دخولها على المعطوف والمعطوف عليه لتعريفهما معاً ، نحو : كتبتُ الخمسةَ والعِشرين مَقالةً .

رياضيات مسلية

* ما هو رقمي؟



كيف يمكنك أن تعرف العدد الذي يفكر فيه زميلك ؟

إذا كنت تود معرفة ذلك فاتبع الخطوات التالية :

الخطوة (1) : اطلب من زميلك أن يحدد عددا ما .

الخطوة (2) : اطلب منه أن يضيف إليه سبعة .

الخطوة (3) : اطلب منه ان يضرب الناتج في 2 ثم يطرح من الناتج الجديد 4 .

الخطوة (4) : خذ منه الناتج النهائي و قم بقسمته على 2 ثم اطرح منه 5 لتحصل على العدد الذي اختاره زميلك .

فلو كان زميلك قد اختار 18 على سبيل المثال فإن :

الخطوة الثانية : 18 + 7 = 25 .

الخطوة الثالثة : 25 × 2 = 50 .

50 - 4 = 46 .

الخطوة الرابعة : 46 ÷ 2 = 23 .

23 - 5 = 18 ، و هو الرقم الذي تم اختياره .

من عجائب الأرقام(2)

* من عجائب الأرقام(2)



تسلك بعض الأعداد سلوكيات غريبة في حالة الضرب ، فمثلا العدد 37 عندما يضرب في مضاعفات العدد 3 الأقل من 30 يكون ناتجه كالتالي :

37 × 3 × 1 = 111 .

37 × 3 × 2 = 222 .

37 × 3 × 3 = 333 .

37 × 3 × 4 = 444 .

37 × 3 × 5 = 555 .

37 × 3 × 6 = 666 .

37 × 3 × 7 = 777 .

37 × 3 × 8 = 888 .

37 × 3 × 9 = 999 .

من عجائب الأرقام(1)

* من عجائب الأرقام(1)

8 × 5 = 40

88 × 5 = 440

88 × 5 = 4440

888 × 5 = 44440

8888 × 5 = 444440

88888 × 5 = 4444440

888888 × 5 = 44444440

8888888 × 5 = 444444440

88888888 × 5 = 4444444440

888888888 × 5 = 44444444440

الرياضيات السحرية :

*



من ميزات الرياضيات الكثيرة أن تتضمن الكثير من العجائب ، و أحدها هي الظهور بمظهر الساحر ، و كثيرة هي هذه التمارين ، هذا التمرين هو واحد منها ، متى ما أجدته تستطيع استخدامه .



يمكنك أن تداعب زملاءك مداعبة ذكية ، حيث تخبرهم أن لديك مهارة غير عادية في معرفة سن أي منهم بعملية بسيطة جدا !

- أعط زميلك ورقة واطلب منه أن يقوم بالآتي بعيدا عن عينيك :

- يكتب رقم الشهر الذي ولد فيه .

- يضرب الرقم × 2 ، ثم يضيف عدد (5) إلى الناتج .

- يضرب ناتج الجمع × 50 ، ثم يضيف إلى ذلك سنوات عمره .

- يطرح من الناتج 365 .

- اطلب منه يعطيك الناتج الأخير فقط ثم أضف إليه 115 .

- سيكون الناتج مكونا من ثلاثة أرقام أو أربعة .

- الرقمان الأول و الثاني من اليمين هما عمر صديقك بالسنين ، و أما الرقم الثالث وحده ، أو الثالث و الرابع فهو الشهر الذي ولد فيه .



مثال: نفرض أن عمر الصديق 13 سنة ، و شهر مولده هو شهر 7 .
=====
الخطوات : 7 × 2 = 14 + 5 = 19 × 50 = 950 + 13 = 963 – 365 = 589 + 115 = 713 .

الرقمان الأول و الثاني ( 13 ) = عمر الصديق ، و الرقم الثالث (7) هو شهر مولده .

كرر العمل و احتفظ بالسر لنفسك .

مثلثا البغدادي

* مثلثا البغدادي
------------------------


1 2 = 1

2 2 = 1+3 = 4

3 2 = 1+3+5 = 9

4 2 = 1+3+5+7 = 16

5 2 = 1+3+5+7+9 = 25

6 2 = 1+3+5+7+9+11 = 36





1 3 = 1

2 3 = 3+5 = 8

3 3 = 7+9+11 = 27

4 3 = 13+15+17+19 = 64

5 3 = 21+23+25+27+29 = 125

6 3 = 31+33+35+37+39+41 = 216



مثلثات الإقليدسي
=====================


1 2 = 1

11 2 = 121

111 2 = 12321

1111 2 = 1234321

11111 2 = 123454321

111111 2 = 12345654321





1 2 = 1

101 2 = 10201

10101 2 = 102030201

1010101 2 = 1020304030201

101010101 2 = 10203040504030201

10101010101 2 = 102030405060504030201



1 2 = 1

1001 2 = 1002001

1001001 2 = 1002003002001

1001001001 2 = 1002003004003002001

1001001001001 2 = 1002003004005004003002001

1001001001001001 2 = 1002003004005006005004003002001





9 2 = 81

99 2 = 9801

999 2 = 998001

9999 2 = 99980001

99999 2 = 9999800001

999999 2 = 999998000001



مثلث الكرجي
-----------------


11 1 = 11

11 2 = 1 2 1

11 3 = 1 3 3 1

11 4 = 1 4 6 4 1

11 5 = 1 5 10 10 5 1

11 6 = 1 6 15 20 15 6 1

11 7 = 1 7 21 35 35 21 7 1

11 8 = 1 8 28 56 70 56 28 8 1

قابلية القسمة

قابلية القسمة

تعتبر الرياضيات مجال خصب للتفكير و الإبداع الرياضي ، فبمجرد أن يمسك الفرد بالورقة و القلم و يبدأ في اللعب بالأرقام و العمليات يكتشف أشياء و معلومات لم تكن معلومة لديه فيعتبرها من اكتشافاته ، و يحاول نشرها بأي طريقة ، و قد تكون مثل هذه الاستنتاجات قد اكتشفت من قبل علماء سابقين ، و لكنها لما لم تصل إليه ، فإنه ينسب ذلك إلى نفسه .

و قد كان موضوع قابلية القسمة موضوع مؤرق لي منذ بداية تدريسي للصف السادس الابتدائي ، فأمسكت ذات مرة بالقلم أحاول أن أبحث عن علاقات سهلة بين الأرقام و العمليات و من ثم تعميمها ، و بالفعل توصلت إلى اكتشافات هامة ألخصها في التالي :
1. القسمة على 9 : إذا كان مجموع أرقام عدد ما يقبل القسمة على 9 فإن العدد يقبل القسمة على 9 ، فعلى سبيل المثال العدد 189 يقبل القسمة على 9 فناتج ذلك 21 ، و لو جمعنا أرقام العدد 189 سنجدها 18 و هو عدد يقبل القسمة على 9 ، و هكذا مع كل الأعداد .
2. القسمة على 8 : لتكوين أي عدد يقبل القسمة على 8 بسهولة ، أو لمعرفة أن عدد ما يقبل القسمة بسهولة نستخدم الجدول التالي :
و يمكن باستخدام هذا الجدول تكوين أي عدد يقبل القسمة على 8 ، من خلال موافقة الجدول ، فالعدد 296 يقبل القسمة على 8 لأنه عندما آحاده 6 و مئاته عدد زوجي نجد أن عشراته أحد الأعداد المذكورة و هو 9 ، و بالفعل لو قسمنا 296/8 سنحصل على 37 ، بينما لو اخترنا في المقابل 442 فسوف لن يقبل القسمة على 8 لأن عشراته يجب أن تكون إما 3 أو 7 فقط حسب الجدول ، و حتى لو جئنا نقسم سوف نحصل على باقي .
و نلاحظ هنا أننا نهتم بالآحاد و العشرات و المئات فقط ، أما خانة الألوف و ما بعدها فلا ننظر لها ، فمتى ما كان العدد المكون من الآحاد و العشرات و المئات يقبل القسمة على 8 كان كامل العدد يقبل القسمة على 8 و إلا فلا .
و قد يقول البعض لنا أن الجدول معقد إلى حد ما و بالتالي فهو ليس عمليا ، و نقول أن السهل لا يأتي إلا بعد الصعب .
3. القسمة على 4 : كل عدد زوجي عشراته زوجية عندما آحاده : 0 ، 4 ، 8 ، أو فردية عندما آحاده : 2 ، 6 يقبل القسمة على 4 . و لو جربنا ذلك قليلا و أخذنا العدد 182 فسوف نجد أنه لا يقبل القسمة على 4 وفق القاعدة المذكورة لأن العشرات يجب أن تكون فردية إذا كان الآحاد 2 أو 6 ، بينما نجد العدد 764 يقبل القسمة على 4 لأنه يحقق القاعدة ، و نلاحظ هنا أننا لا نهتم بالمئات و ما بعدها على الإطلاق فمتى ما كان العدد المكون من الآحاد و العشرات يقبل القسمة على 4 كان كامل العدد يقبل القسمة على 4 .

4. القسمة على 6 :كل عدد زوجي مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3 فإنه يقبل القسمة على 6 ، و يلاحظ هنا أنه يشترط شرطين في العدد حتى يقبل القسمة على 6 و هو أن العدد يجب أن يكون زوجيا ثم أن مجموع أرقامه يجب أن يقبل القسمة ، و لو أتينا لنجرب و أخذنا العدد 234 على سبيل المثال فسوف نجده يقبل القسمة على 6 لأنه يحقق الشرطين بينما العدد 836 لا يقبل لأن مجموع أرقامه لا يقبل القسمة على 3 ، و كذلك العدد 345 لا يقبل لأنه ليس زوجيا ، و قد يقول الفرد أنه يلزمنا أن نعرف أن مجموع أرقام العدد يقبل القسمة على 3 أم لا ، و نقول ذلك أمر سهل حيث أن مجموع أرقام أي عدد غالبا ما يكون عددا سهلا يخضع لجدول الضرب و بالتالي من السهل معرفة قابلية قسمته على 3 ، ثم أنه يمكن الرجوع إلى قابلية القسمة على 3 للتأكد من ذلك .
5. القسمة على 3 : كل عدد مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3 فإنه يقبل القسمة على 3 .
6. القسمة على 5 ،2: أما قابلية القسمة على 5 و 2 فهو أمر سهل فالأول كل عدد آحاده 0 أو 5 فإنه يقبل القسمة على 5 ، و الثاني كل عدد زوجي يقبل القسمة على 2 .
7. القسمة على 7 لنكتب أمثال الـ 7 الأولى التي تنتهي بالأعداد من 1إلى 9 هي (21 ، 42 ، 63 ، 84 ، 105 ، 126 ، 147 ، 168 ، 189 )
نلاحظ في كل عدد من هذه الأعداد أن رقم الآحاد يساوي نصف العدد الناتج عن العدد المذكور بعد حذف هذا الرقم وينتج عن ذلك أننا لو حذفنا من عدد ما آحاده وطرحنا من العدد الناتج ضعفي الرقم المحذوف لكان باقي القسمة العدد المفروض على 7 مساويا باقي قسمة العدد الناتج عن أجراء العملية السالفة الذكر على العدد 7 .
ونقول : لمعرفة قابلية قسمة عدد ما على 7 نحذف رقم آحاد هذا العدد ونطرح ضعفي هذا الرقم من العدد الباقي ، نكرر هذه العملية عددا من المرات حتى نصل إلى عدد له علاقة بالعدد 7 بالبداهة فإذا كان هذا الأخير من أضعاف الـ 7 قلنا أن العدد يقسم على 7 وإلا فإن هذا التقسيم باقي .
مثال : العدد 2401 نحذف الآحاد وهو 1 ونطرح الباقي وهو 240 من ضعف الآحاد 2 يبقى 238 نكرر العملية للعدد 238 نحذف الآحاد وهو 8 ونطرح الباقي23 من ضعف الآحاد 16 يبقى 7 الـ 7 تقسم على 7 إذا العدد 2401 يقسم على 7 .

8. القسمة على 11 من الملاحظ أن :

10=11-1 و100 = 99 + 1 و1000 = 1001 – 1 أي أن كل قوة للعشرة تساوي أضعاف الـ 11 ناقصا واحدا إذا كان أسها فرديا أما إذا كان أسها زوجيا فتساوي أضعاف الـ 11 زائد واحد ، فينتج عما سبق أن باقي قسمة عدد ما على 11 يساوي باقي قسمة التفاضل ( الفرق ) بين مجموعتي مراتبه ذات الترتيب الزوجي ومراتبه ذات الترتيب الفردي على 11، ونقول : الشرط اللازم والكافي ليقبل عدد القسمة على العدد 11 هو أن يكون التفاضل بين مجموع مراتبه ذات الترتيب الفردي ومجموع مراتبه ذات الترتيب الزوجي مساويا للصفر أو من أمثال ( مضاعفات ) الـ11 .

مثال : أن العدد 33462258 يقبل القسمة على 11 لأن مجموع مراتبه ذات الترتيب الفردي 5 + 3 + 3 = 11 ، مجموع مراتبه ذات الترتيب الزوجي 8 + 2 + 6 + 4 + 2 = 22 والتفاضل بين المجموعتين 22 - 11 = 11 .

* أوائل في الرياضيات

* أوائل في الرياضيات

(1) أوّل من حوّل الكسور العاديّة إلى عشريّة :-

أوّل من حوّل الكسور العاديّة إلى كسور عشريّة في علم الحساب هو غياث الدين جمشيد الكاشي قبل عام 840 هجرية/1436 م .

(2) أوّل من استعمل الأسس السالبة :-

يعدّ العالم المسلم السموأل المغربي ، وهو عالم اشتهر باختصاصه في علم الحساب ، أوّل من استعمل الأسس السالبة في الرياضيات ، وتوفي هذا العالم الفذّ في بغداد عام 1175م .

(3) أوّل من استخدم الجذر التربيعي :-

إن الجذر التربيعي هو أوّل حرف من حروف كلمة جذر، وهو المصطلح الذي أدخله العالم المسلم الرياضي محمد بن موسى الخوارزمي، وأوّل من استعمله للأغراض الحسابية هو العالم أبو الحسن علي بن محمد القلصادي الأندلسي الذي ولد عام 825 هجرية وتوفي سنة 891 هجرية وانتشر هذا الرمز في مختلف لغات العالم .

(4) أوّل من وضع أسس علم الجبر :-

أوّل من وضع أسس علم الجبر هو العالم المسلم أبو الحسن محمد بن موسى الخوارزمي ، ولد هذا العبقري الفذّ في بلدة خوارزم بإقليم تركستان في العام 164 هجرية، برع في علم الحساب ووضع فيه كتاباً له أسماه ((الجبر والمقابلة)) شرح فيه قواعد وأسس هذا العلم العام ،تحرف اسمه عند الأوروبيين فأطلقوا عليه (ALGEBRA) أي علم الحساب ، وتوفي –رحمه الله –عام 235 هجرية.

(5) أوّل من أسس علم حساب المثلثات:-

يبدو أن الفراعنة القدماء عرفوا حساب المثلثات وساعدهم ذلك على بناء الأهرامات الثلاثة،وظل علم حساب المثلثات نوعاً من أنواع الهندسة ،حتى جاء العرب المسلمون وطوروه ووضعوا الأسس الحديثة له لجعله علماً مستقلاً بذاته ،وكان من أوائل المؤسسين لحساب المثلثات ،أبو عبد الله البتاني والزرقلي ونصير الدين الطوسي.

(6) أوّل من أدخل الصفر في علم الحساب :-

أوّل من أدخل الصفر في علم الحساب هو العالم المسلم محمد بن موسى الخوارزمي المتوفى عام 235م. وكان هذا الاكتشاف في علم الحساب نقلة كبيرة في دراسة الأرقام وتغيراً جذرياًّ لمفهوم الرقم .

(7) أوّل من استعمل الرموز في الرياضيات :-

أوّل من استعمل الرموز أو المجاهيل في علم الرياضيات هم العرب المسلمون ، فاستعملوا (س) للمجهول الأول ، و (ص) للثاني و (ج) للمعادلات للجذر .. وهكذا .

(8) أوّل رسالة طبعت في أوروبا عن الرياضيات :-

أوّل رسالة عن علم الرياضيات طبعت في أوروبا كانت مأخوذة من جداول العالم المسلم أبي عبد الله البتاني ،وقد طبعت هذه الرسالة الأولى عام 1493م في اليونان .

(9) أوّل من أدخل الأرقام الهندية إلى العربية :-

إن الأرقام التي نستعملها اليوم في كتابة الأعداد العربية ،… الخ هي أرقام دخيلة استعملها الهنود من قبل العرب بقرون طويلة ، وأول من أدخل هذه الأرقام إلى العربية هو أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي عالم الرياضيات .

(10) أوّل معداد يدوي :-

قام الصينيون باختراع أوّل معداد يدوي في التاريخ ، واستعانوا به على إجراء العمليات الحسابية وذلك في العام 1000 قبل الميلاد وسموه (( الأبوكس)).

(11) أوّل حاسوب إلكتروني :-

تم اختراع أوّل حاسوب إلكتروني يعمل بالكهرباء في عام 1946م بالولايات المتحدة الأمريكية ، وأطلق عليه اسم (إنياك:Eniac ) ، وهو من حواسيب الجيل الأوّل التي تعمل بالصمامات المفرغة وتستهلك قدراً كبيراً من الكهرباء ، وهي تشمل مساحة كبيرة.

إسهام العلماء العرب في الرياضيات

* إسهام العلماء العرب في الرياضيات



لقد برع العرب في العلوم الرياضية و أجادوا فيها ، و أضافوا إليها إضافات هامة أثارت الإعجاب و الدهشة لدى علماء الغرب ، فاعترفوا بفضلالعرب و أثرهم الكبير في تقدم العلم و العمران .

لقد اطلع العرب على حساب الهنود فأخذوا عنه نظام الترقيم ، إذ أنهم رأوا أنه أفضل من النظام الشائع بينهم و هو نظام الترقيم على حساب الجمل ، و كان لدى الهنود أشكال عديدة للأرقام ، هذب العرب بعضها و كونوا من ذلك سلسلتين ، عرفت إحداهما بالأرقام الهندية و هي التي تستعملها هذه البلاد و أكثر الأقطار العربية و الإسلامية و هى .

و عرفت الثانية بالأرقام الغبارية ، و قد انتشر استعمالها في بلاد الغرب و الأندلس ، و عن طريق الأندلس دخلت هذه الأرقام إلى أوروبا و عرفت باسم الأرقام العربية (Arabic Number ) و هي :0123456789

و ليس المهم هنا تهذيب العرب للأرقام و توفيقهم في اختيار هاتين السلسلتين أو إدخالهما إلى أوروبا ، بل المهم هو إيجاد طريقة جديدة لها و هي طريقة الإحصاء العشري ، و استعمال الصفر لنفس الغاية التي نستعملها الآن .

و كان الهنود يستعملون ( سونيا ) أو الفراغ لتدل على معنى الصفر ، ثم انتقلت هذه اللفظة الهندية إلى العربية باسم ( الصفر ) ، و من هنا أخذها الإفرنج و استعملوها في لغاتهم ، فكان من ذلك (Cipher ) و (Chiffre) و من الصفر أتت الكلمة (Zephyr) و (Cipher) ثم تقلصت عن طريق الاختصار فأصبحت (Zero)

و من المعروف أن للأرقام الرومانية أشكال عديدة بحيث يصعب تعلمها بسهولة ، و لما جاء العرب شعروا بصعوبتها فنقبوا في الأرقام الهندية فوجدوا أن فكرتها أفضل بكثير من السابقة فأخذوا عن الهنود أرقامهم بعد أن طوروها وشذبوها لتكون أكثر فعالية ، و لهذه الأرقام العديد من المزايا منها :

أنها تقتصر على عشرة أشكال بما فيها الصفر ، و من هذه الأشكال يمكن تركيب أي عدد مهما كان كبيرا بينما الأرقام الرومانية تحتاج إلى أشكال عديدة و تشتمل على أشكال جديدة للدلالة على بعض الأعداد .

و من مزاياها أيضا - أي الأرقام العربية أو الهندية - أنها تقوم على النظام العشري ، و على أساس القيم الوضعية بحيث يكون للرقم قيمتان : قيمة في نفسه ، كقيمة الأربعة في العدد 4 ، و قيمة بالنسبة إلى المنزلة التي يقع فيها ، كقيمة الثلاثة في العدد 234 و هي ثلاثين .

و لعل من أهم مزايا هذا النظام هو إدخال الصفر في الترقيم و استعماله في المنازل الخالية من الأرقام ، و لسنا بحاجة إلى أنه لولا الصفر و استعماله لما فاقت الأرقام العربية و الهندية غيرها من الأرقام ، و لما كانت لها أية ميزة ، بل لما فضلتها الأمم على الأنظمة الأخرى المستعملة في الترقيم .

و للصفر فوائد أخرى ، فلولاه لما استطعنا أن نحل كثيرا من المعادلات الرياضية من مختلف الدرجات بالسهولة التي نحلها بها الآن ، و لما تقدمت فروع الرياضيات تقدمها المشهود ، و كذلك لم تتقدم المدنية هذا التقدم العجيب .

و من الغريب أن الأوربيين لم يتمكنوا من استعمال هذه الأرقام إلا بعد انقضاء قرون عديدة من اطلاعهم عليها ، أي أنه لم يعم استعمالها في أوروبا و العالم إلا في أواخر القرن السادس عشر .

ما هو العدد الأولي ؟

*

ما هو العدد الأولي ؟

العدد الأوّلي هو عدد صحيح موجب أكبر من واحد ولا ينقسم إلا على نفسه و الواحد فقط ، أي 2،3،5،7،11،13،17،19،23 .. أي الأعداد التي لا يمكن أن تنقسم بالقسمة إلى أعداد صحيحة .

والأعداد الأوّلية هي أصل الرياضيات وقد أدهشت دائماً من يهتمون بالأرقام ، فعلى سبيل المثال يمكنكم أن تختاروا عشوائياً : 17،23،29،41 .. ويمكنكم أن تتابعوا التسلسل على هواكم ، ولن تجدوا أبداً عدداً أوّلياً ينقسم على آخر . لقد حاول أعظم الرياضيين طوال قرون من الزمن ذلك وفشلوا ، مع أنهم عجزوا أيضاً عن إثبات عدم وجود عدد كهذا .

ويمكن التعبير عن كل عدد صحيح موجب أكبر من واحد باعتباره نتيجة فقط لمجموعة واحدة من الأعداد الأوّلية ، وبالرغم من حقيقة أن الأعداد الأولية قد لوحظت منذ ما لا يقل عن (300) عام قبل الميلاد عندما درسها لأول مرة الرياضيون الإغريق أمثال أقليدس وايراتوسثينس فإنها تظل موضوع تساؤلات معينة معلقة .

ويوجد (( لا نهاية)) للأعداد الأولية ، ومن الناحية النظرية يمكن أن يحدث أي شيء في ((لانهاية)) . لكن أصحاب النظريات عجزوا حتى الآن حتى عن إيجاد قاعدة تحكم الفجوات بين الأعداد الأولية والتي ما زالت لغزاً رياضياً كبيراً .

لماذا لا توجد جوائز نوبل في الرياضيات ؟

*

لماذا لا توجد جوائز نوبل في الرياضيات ؟





جوائز نوبل من الجوائز المشهورة عالميا ، أسسها الكيميائي السويدي الفريد نوبل (Alfred Nobel ) ، و تخصص في عدد من العلوم الطبيعية و الإنسانية حيث تقدم في المجلات التالية ( السلام ، الآداب ، الكيمياء ، الفيزياء ، الطب ) ، و لكن السؤال الذي قد ينطرح هو : لماذا لا توجد جوائز نوبل في الرياضيات ؟

أحد الأسباب الشائعة للسؤال هو أنه تقدم لخطبة امرأة و كانت تخادعه و رفضته حيث فضلت عليه رجل رياضي شهير من السويد هو جوستا متاج لفلر (Gosta Mittag-Leffler ) ، الأمر الذي أدى إلى رفضه تقديم جائزة في الرياضيات .

و الكثير من الكتاب لم يتقبلوا هذه الشائعة لعدم وجود أدلة تؤيدها، و معروف أن نوبل لم يتزوج أبدا .

أما الأسباب التي من الممكن أن تبرر سبب عدم تقديم جائزة نوبل في الرياضيات فهي ثلاثة :

أولا : أن نوبل لم يكن محبا للرياضيات بل و للعلوم النظرية بشكل مطلق ، و كان الرياضيات آنذاك و في منطقته لا تعتبر من العلوم التطبيقية التي تفيد البشرية ، و كان جائزته مهتمة بالإختراعات و الإكتشافات .

ثانيا : جوستا متاج لفلر هو أحد الرياضيين البارزين في السويد في أواخر القرن التاسع عشر و أوائل القرن العشرين ، و هو مؤسس صحيفة (Acta Mathrmatica ) في الرياضيات ، و كان رجل مهم في المجتمع و على صلة بالملكة ، و كانت بينه و بين نوبل عداوة و حقد لأسباب و أخرى يعللها البعض بحسد نوبل لجوستا بسبب قربه من الملكة ، و يعلل البعض بسبب كره نوبل للرياضيات ، و قال أخرون أن جوستا كان لا يحب الإحتكاك بنويل بسبب اختراعه للديناميت ، و على كل حال كانت العداوة هذه سبب في رفض نوبل تقديم جائزة في الرياضيات حتى لا ينالها خصمه اللدود .

ثالثا : كانت هناك جائزة معروفة مخصصة للمبدعين في الرياضيات في ذلك الوقت بالسويد ، فيحتمل أن نوبل كان على معرفة بها ، و بالتالي لم يحبذ أن تكون هناك جائزتين في مجال واحد .

معلومات رياضية

* تاريخ علم الجبر

معلومات رياضية

لقد عرف المصريون القدماء الجبر فاستعملوا معادلات من الدرجة الأولى و حلوها بطرق مختلفة كما عرفوا معادلات من الدرجة الثانية و حلوا مسائل تؤدي إليها ، و أقدم ما نعرف من علم الجبر عند المصريين نجده في بردى الكاتب المصري (أحمس) التي نسخها نحو 1650ق م ، و هو يذكر أنه نقل هذه البردية عن أصل يرجع إلى نحو 1850ق م ، و يبدوا من المعلومات الرياضية الموجودة في هذه البردية تعود إلى أيام فرعون زوسر أحد ملوك الأسرة الثالثة (نحو 3000ق م ) ، و صاحب هرم سقارة المدرج أقد الأبنية الحجرية في مصر و فيها نجد ما يدل على أن المصريين القدماء قد عرفوا المتواليات العددية و المتواليات الهندسية و قد عرفوا أيضا معادلات من الدرجة الثانية مثل المعادلتين : س2+ص2=100 ، ص=3/4س ،حيث س=8 ، ص= 6 ، و هذه المعادلة هي الأساس التاريخي لنظرية فيثاغورس أ2=ب2+ج2 ، و كان المصريون يسمون العدد المجهول (كومة) .

و في حوالي 2000 ق م وضع البابليون القدماء جداول للمربعات و المكعبات و حلوا معادلات الدرجة الثانية و الثالثة ، كما عرف الإغريق الحل الهندسي لمعادلات الدرجة الثانية في عصر فيثاغورس ، و قد لمس الإسكندريون الحاجة إلى علم الجبر فبحث (ديوفانتس) الذي عاش في الإسكندرية في القرن الثالث الميلادي (250م) في حل معادلات الدرجة الثانية ذات المعاملات الموجبة ، كما عرف الهنود علم الجبر فقام (إرمابهاتا) بإيجاد عدد حدود المتوالية الحسابية التي عرف منها الحد الأول و الأساس و جموع الحدود ، و وضه (برهما جوبتا ) في القرن السابع الميلادي قاعدة لحل معامدلات الدرجة الثانية .

و لقد اشتغل العرب بالجبر و ألفوا فيه بصورة علمية منظمة ، حتى أن (كاجوري) قال : (( إن العقل ليدهش عندما يرى ما عمله العرب في الجبر .. )) و من أشهر مؤلفاتهم كتاب ( الجبر و المقابلة ) لمحمد بن موسى الخوارزمي ، و كتاب الخيام في الجبر الذي نشره (ووبك في مارس 1851م) ، قسم العرب المعادلات إلى ستة أقسام و وضعوا حلولا لكل منها ، و استعملوا الرموز في الأعمال الرياضية و بحثوا في نظرية ذات الحدين ، و أوجدوا قانونا لإيجاد مجموع الأعداد الطبيعية ، و عنوا بالجذور الصماء و مهدوا لإكتشاف اللوغاريتمات .

و في القرن الثالث عشر الميلادي بدأت العلوم الرياضية عند العرب و غيرها تنتقل إلى أوربا عن طريق الأندلس فترجموا مؤلفات العرب في العلوم المختلفة و منها الجبر فقام الرهب جوردانس (حوالي 1220م) باستبدال الكلمات في العبارات الجبرية بالرموز ، و لقد فعل معاصره (فيبوناكي) نفس الشيء فألف كتابا عن الحساب و مبادئ علم الجبر أوضح فيه تأثره بكتابات الخوارزمي و أبي كامل العلمين العربيين .

وفي القرن السادس عشر توصل العلماء إلى حل معادلات الدرجة الثالثة و الرابعة ، و في القرنين السابع عشر و الثامن عشر توصلوا إلى نتائج باهرة في بحوثهم عن متسلسلات القوى و خواصها .

و في القرن التاسع عشر بدأ اكتشاف علوم الجبر الأخرى فابتكر (هاملتون 1805-1865)جبر الرباعيات المسمى باسمه ، و نشر العالم الرياضي ( جراسمان 1809-1877) كتابا يحتوي على بعض أنواع الجبر العامة الأخرى ، و ابتكر العالم الإنجليزي (كيلي 1821-1895) جبر المصفوفات و كانت أبحاث ( بول 1815-1864) قد ظهرت منذ سنة 1854 و من بين هذه الأبحاث الجبر البولي ، كما ظهرت سنة 1881 أشكال فن لتوضيح الجبر البولي ، و اخترع بيرس سنة 1780 جبر التنسيق الخطي ، كما اتسعت فروع أخرى عديدة لا يتسع المجال لحصرها .

علم الهندسة

الهندسة هي دراسة مختلف أنواع الأشكال وصفاتها ، كما أنها دراسة علاقة الأشكال والزوايا والمسافات ببعضها ، وتنقسم الهندسة البسيطة إلى جزأين : الهندسة المستوية والهندسة الفراغية ، وفي الهندسة المستوية تدرس الأشكال التي لها بعدين فقط ، أي التي لها طول وعرض ، أما الهندسة الفراغية فتدرس الهندسة في ثلاثة أبعاد ، وتتعامل مع مفرغات مثل متوازيات المستطيلات ، والمجسمات الأسطوانية ، والأجسام مخروطية الشكل ، والأجسام الكروية ، الخ ... أي مع الأشكال التي لها طول وعرض وسمك .

أصبحت الهندسة جزءا أساسيا من العلوم المعاصرة لا يمكن إحراز أي تقدم بدونها. فهل تعرفون كيف اكتشفت الهندسة؟

أصل كلمة هندسة باللغة الإنكليزية (جيومتري)يعود إلى لغة الإغريق القديمة ، وهي تتكون من كلمتين : "جيو" ومعناها الأرض ، "متري" ومعناها قياس ، وهكذا كانوا من أوائل الذين اكتشفوا الهندسة ، ففي كل سنة كان نهر النيل يفيض فيغرق الأرياف ، مما كان يؤدي إلى إزالة علامات الحدود بين تقسيمات الأرض المختلفة ، وكانوا لذلك بحاجة إلى طريقة ما لإعادة قياس قطع أراضهم ، فصمموا طريقة لوضع علامات للأراضي بمساعدة القوائم والجبال ، وكانوا يضعون قائم في الأرض في مكان مناسب ، وكان قائم أخر يوضع في مكان أخر ، ثم يوصل القائمان بحبل يحدد الحدود ، وبوصل قائمان آخرين كانت المساحة تعلم كموقع للزراعة أو للبناء .

وفي البداية كانت كل الهندسة تعتمد على الحدس والبديهة ، لكن معلما إغريقيا كان اسمه طاليس انكبَّ في عام (600) قبل الميلاد على إثبات المبادئ الهندسية بطريقة علمية ، وفي الهندسة تدعى الحقيقة " نظرية " واكتشف طاليس إثباتات لبعض النظريات فوضع بداية للهندسة الوصفية .

لكن اقليدس الإسكندري كان هو الذي منح الهندسة وضع العلم ، ففي عام (300) قبل الميلاد تقريبا جمع اقليدس كل النتائج الهندسية التي كانت معروفة حتى ذلك الوقت ، ثم نظمها بطريقة منهجية في سلسلة من (13) كتابا ، و أطلق على هذه الكتب اسم " المبادئ " ، وقد استخدمها العالم كافة قرابة (2000) ألفي عام في دراسة الهندسة ، وتطورت هندسة اقليدس على هذه المبادئ ، ومع مرور المزمن طور رياضيون مختلفون فروعا أخرى للهندسة ، ونحن في الوقت الحاضر ندرس أنواعاً كثيرة من الهندسة مثل الهندسة التحليلية ، وهندسة المثلثات ، وهندسة منكوفسكي(ذات الأبعاد الأربعة) ، والهندسة الّلا إقليديسية ، والهندسة الاسقاطية .

إننا نستخدم مبادئ الهندسة في كل حياتنا المعاصرة ، لوضع التصاميم والديكورات في المعمار والمناظر الطبيعية والحدائق ، هذا بالإضافة إلى أن الكثير من الأدوات التي يستخدمها المساحون مثل البوصلة والسدسية والمزولة و غيرها لها علاقة بالهندسة .

القياس & قياس الزمن عند القدماء المصريين

القياس:

كان عيار الكيل هو:-

بوشل ( البوشل مكيال للحبوب يساوي 8 جالونات تقريباً أي 32 لتراً ونصف لتر)

أما بالنسبة للسوائل كانت هناك أكيال ذات مسميات أخرى، ولكن لم نستطع مساواتها بأي الوحدات الموجودة حالياً .

ولقياس الأطوال استخدموا نوعين هما:-

الذراع الملكي (الطويل) يساوي 52.3 سم وكان يستخدم في المعمار.

والثاني هو الذراع العادي ( القصير) يساوي 45 سم.

أما في المسافات استخدموا وحدة تسمى الوحدة النهرية تساوي 10305 كم أي 20 ألف ذراع.

أما في المساحات والأوزان :-

فكانت وحدة المساحة هي:- مست جات =100 ذراع مربع 2/3 أكر (الأكر = 4آلاف متر)

أما وحدة الوزن هي:-الدبن = 91 جرام

قياس الزمن:

كان قياس الزمن بالسنوات حيث كانت السنة تتكون من 12 شهراً كل شهر 30 يوماً والشهر 3 أسابيع كل أسبوع10 أيام وفي نهاية السنة كان يضاف 5 أيام مكملة ليصبح عدد أيام السنة 365 يوماً .

كما وقسمت السنة إلي 3 فصول كل منها 4 أشهر هي:-

فصل الفيضان ، فصل الشتاء ، فصل الصيف .

وكان اليوم 24 ساعة يتساوى فيها عدد ساعات الليل والنهار. كذلك كان طول الساعة الزمنية يختلف حسب الفصول. ولقياس الزمن استخدموا المزاول والساعات المائية وكان يصاحب الساعة المائية تدريج لتعديل طول الساعة الزمنية حسب الأشهر

*لنسبة التـقـريـبـية : ط

*لنسبة التـقـريـبـية : ط

عرف المصريون القدماء أن محيط الدائرة يمكن قسمته على قطرها فيعطي عددا ثابتا قيمته غير محددة . وفي بردية أحمس أن مساحة الدائرة = مربع 8/9 قطرها وهذا يعني أن قيمة ط = 3,16 تقريبا وهي كما ترى قريبة إلى القيمة الصحيحة والتي حسبها الرياضي العربي غياث الدين الكاشي (المتوفى سنة 839 هـ. - 1436 م.- إلى ستة عشر رقما عشريا في كتابه الرسالة المحيطة) هكذا : ط = 3,1415926535898732 وقد ذكر الخوارزمي - مؤسس علم الجبر - في كتابه " الجبر والمقابلة " عدة أقوال في النسبة التقريبية كلها قريبة من بعضها البعض ثم ذكر حاشية (ملاحظة) قال فيها : (وأحسن ما في هذه الأقوال أن تضرب القطر في ثلاثة وسبع لأنه أخف وأسرع والله أعلم) . وثلاثة وسبع = 22/7 هي المعتبرة في حالة عدم ذكر قيمة النسبة التقريبية وهذا من عمل الخوارزمي .

وفي عام 1882 أثبت لندمان Lindemann لأول مرة أن ط غير نسبي وبالتالي فليست هناك نهاية للرقم العشري لقيمة ط . وخلال العشرين سنة الأخيرة جرى حساب قيمة ط باستخدام الحاسب الآلي لأكثر من مائة مليون رقم عشري ، وتلك هي الخطوة الأخيرة في جهود استمرت 2500 سنة لحساب قيمة ط بدقة.

وقد كان الهدف من حساب قيمة ط بهذه الدقة المتناهية هو حساب محيط الأرض ومسألة (تربيع الدائرة) - فبالنسبة لحساب محيط الأرض فيكفي أن نعلم أن قيمة ط لتسعة وثلاثين رقما عشريا كافية لحساب محيط الأرض بخطأ أقل من نصف قطر ذرة الهيدروجين . أما مسألة (تربيع الدائرة) فهي محاولة رسم مربع مساحته تساوي مساحة دائرة معلومة . وهذا يتطلب دقة متناهية في حساب قيمة ط وقد توقف بحث العلماء في هذه المسألة - تربيع الدائرة - بعد أن أثبت لندمان أن ط عدد غير محدد (عدد غير نسبي) وبهذا ثبت استحالة (تربيع الدائرة) بعد أن شغلت هذه المسألة العلماء قرونا طويلة .

تعلُّم الجبر

تعلُّم الجبر

يرمز العدد في الحساب لمجموعة تحتوي على ذلك العدد من الأشياء، فمثلاً العدد 5 دائمًا يرمز لمجموعة تحتوي على 5 أشياء. أما في الجبر فإن الرموز قد تُستبدل بالأعداد، غير أنه من الممكن أن يحل عدد أو أكثر محل رمز واحد. وحتى نتعلم الجبر يجب علينا أن نتعلّم أولاً كيف تُستخدم الرموز محل الأعداد. ومن ثم كيفية إنشاء الجمل الجبرية عن الأعداد.



المجموعات والمتغيرات. هناك علاقة بين الرموز في الجبر ومجموعات الأعداد. فمن المؤكد أن لكل منا بعض الإلمام بمجموعات الأشياء، مثل مجموعات الكتب، ومجموعات الطوابع البريدية، ومجموعات الصحون. ومجموعات الأعداد لاتختلف عن هذه المجموعات كثيراً. وإحدى الطرق لوصف مجموعات الأعداد في الجبر هي أنْ نقوم باستخدام أحد الحروف الأبجدية مثل ص كاسم لها. ثم نصف أعداد هذه المجموعة بحصرها بين قوسين من الشكل { }. فمثلاً يمكن التعبير عن مجموعة الأرقام من 1 إلى 9 كالتالي:

أ = {1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9} .

أما مجموعة الأعداد الفردية التي تقل عن 20 فهي:

ب = {1، 3، 5، 7، 9، 11، 13، 15، 17، 19}.

وهذان المثالان يبينان نماذج من المجموعات المستخدمة في الجبر.

لنفترض أن أعمار أربعة أشخاص كانت على التوالي: 12، 15، 20، 24 عاما.

عندها يمكن كتابة هذه الأعمار كمجموعة أعداد.

أ = {12، 15، 20، 24}.

كم يكون عمر كل منهم بعد ثلاث سنوات ؟ إنّ إحدى طرق الإجابة على هذا السّؤال تكون بأن نكتب 12 + 3، 15 + 3، 20 + 3 و 24 + 3. نلاحظ أن العدد 3 مكرر في كل من ¸الصيغ· الأربع. في الجبر نستطيع أن نعبر عن جميع الصيغ السابقة بصيغة مهمة واحدة هي م + 3 حيث م هو أي عدد من أعداد المجموعة أ. أي أنه يمكن استبدال أي من الأعداد 12، 15، 20 أو 24 بالرمز م. ويُسمّى الرمز م المتغيِّر، وتُسمَّى المجموعة أ مجال هذا المتغير، أما العدد 3 في الصيغة م + 3 فيسمى الثابت وذلك لأن قيمته واحدة دائما. ويُعرّف المتغيِّر في الجبر بأنه رمز يمكن التعويض عنه بعدد أو أكثر ينتمي إلى مجموعة .



التقارير والمعادلات. يُعرَف التقرير في الرياضيات بأنه جملة خبرية قد تكون صائبة أو خاطئة. وبمقدورنا تمثيل التقارير الرياضية بلغتنا اليومية وأمامنا هنا تقرير ناقص:

إن ....... هو الذي اخترع جهاز الهاتف. هذه العبارة ليست صائبة وليست خاطئة. ولكن لو وضعنا كلمة بل في الفراغ نحصل على العبارة "إن بل هو الذي اخترع جهاز الهاتف" وهذه العبارة صائبة. من الممكن أيضاً أن نستخدم متغيرًا لكتابة تقرير، كأن نكتب:

¸ص دولة يحدها البحر الأسود·

فنحن نستطيع أن نعوض عن المتغير ص بعناصر مجاله. أي نستطيع استبدال أسماء تؤدي إلى تقارير صائبة أو تقارير خاطئة بالمتغيِّر. فمثلاً:

¸المجر دولة يحدها البحر الأسود· تقرير خاطئ، إذ في الواقع لايكون مثل هذا التقرير صائبًا إلا إذا عوضنا عن المتغير ص بإحدى الدول: بلغاريا أو رومانيا، أو تركيا. فيكون التقرير ¸تركيا دولة يحدها البحر الأسود· مثلا صائبًا. وتسمى التعويضات التي تجعل التقرير صائبا جذوراً وتُسمّى المجموعة المكونة من جميع الجذور بمجموعة الحل. ومجموعة حل المثال السابق هي.{بلغاريا، رومانيا، تركيا}. وفي الجبر لانستخدم الأسماء للتعويض عن المتغيرات ولكن نستخدم الأعداد.

وتُعرف المعادلات على أنها جمل رياضية تعبر عن تساوي صيغتين. فالعبارة:

س + 7 = 12

على سبيل المثال، معادلة سهلة تعني ¸حاصل جمع العدد 7 مع عدد ما يساوي12·. ولحل هذه المعادلة نستطيع أن نقوم بالتعويض عن س بأعداد مختلفة حتى نحصل على عدد يجعل من المعادلة تقريراً صائبًا. فإذا عوضنا عن س بالعدد 5 تصبح المعادلة تقريرًاً صائبًا، وإذا عوضنا عن س بأي عدد آخر فإن المعادلة تصبح تقريرًا خاطئاً. إذن مجموعة حل هذه المعادلة هي {5} وهذه المجموعة تحتوي على جذر واحد فقط.

ومن الممكن أن يكون للمعادلة أكثر من جذر:

س ² + 18 = 9 س.

العــدد 2 أعــلى المتغيـر الأول س يعني أن العدد الممثل بالمتغير س هـو عــدد مربع، أي أنه عــدد مضروب في نفسـه مــرة واحدة. انظر: المربع. وفي هذه المعادلة نستطيع أن نعوض عن س بالعدد 3:

3 × 3 + 18 = 9 × 3

9 + 18 = 27

27 = 27

ونستطيع أيضا أن نعوض عن س بالعدد 6:

6 × 6 + 18 = 9 × 6

36 + 18 = 54

54 = 54

أمّا أي تعــويض آخـــر عن س فيجعــل المعادلة تقريراً خاطئاً. إذن 3 و 6 هما جذرا المعادلة. ومن ثم فإن مجموعة الحل هي {3 ، 6}.

كذلك توجد معادلات ليس لها جذور:

س = س + 3

إذا عوضنا عن س بأي عدد، فإن هذه المعادلة تصبح تقريراً خاطئاً، ومجموعة حلها تسمى المجموعة الخالية ويرمز لها بالرمز { }.

ولبعض المعادلات عدد غير منته (لامحدود) من الجذور.

(س + 1)² = س² + 2 س + 1

في هذه المعادلة إذا عوضنا عن س بأي عدد فإننا نحصل على تقرير صائب، ومجموعة حلها تحتوي على جميع الأعداد.

أربع طرق لحل المعادلات الجبرية

حل المعادلات. تعتبر المعادلة على الصورة س = 5 من أبسط أنواع المعادلات. لحلها، نعوض عن س في الطرف الأيمن من علامة المساواة بالعدد 5 فنحصل على 5 = 5. والمعادلات مثل 3 س - 4 = س + 6 أكثر تعقيداً من سابقتها. ولكن هناك طرقاً عديدة في الجبر يمكن استخدامها لتحويل المعادلات المعقدة إلى أخرى مبسطة، وباستخدام هذه الطرق نستطيع الوصول إلى معادلة بسيطة يسهل حلها.



لكي نبدأ في حل معادلة يجب أن نفترض أولا أنه يوجد لها حل، أي يجب أن نفرض أننا نستطيع التعويض عن المتغير بعدد يجعل من المعادلة تقريرًا صائبًا.

وباستخدام صورة الميزان نستطيع أن نصف طرق حل المعادلات، حيث كلمة ميزان هنا تعني قضيبًا مستويا له حامل في الوسط، وتوجد في كل طرف منه كفة ميزان. ومتى كانت الأوزان في كفتيه متساوية فإن القضيب يبقى مستويًا. أما إذا كان الوزن في إحدى الكفتين أثقل من الأخرى فإن أحد طرفي القضيب يميل إلى أسفل. انظر: الميزان ذو الكفة.

وتمثل المعادلة تماماً وزنين موضوعين في كفتي ميزان. فعلى سبيل المثال، في المعادلة 3 س + 2 = 11 نستطيع أن نعتبر الحد 3 س + 2 أحد الوزنين، والعدد 11 الوزن الآخر فنضع 3 س + 2 في كفة و 11 في الكفة الأخرى.

وتعني المعادلة 3 س + 2 = 11 أن ثلاثة أمثال عدد ما مضافاً إليه العدد 2 يساوي العدد 11، ولذلك يجب أن نفترض أنّ أيا من الطرفين 3 س + 2 أو 11 يوازن الطرف الآخر.

الطرح إذا كان لدينا وزنان متساويان على الميزان وأنقصنا كميتين متساويتين من طرفي الميزان فإن قضيب الميزان يبقى مستوياً. وباستخدام لغة الجبر: إذا طرحنا نفس العدد من طرفي معادلة فإن الطرفين الناتجين يكونان متساويين وتكون جميع جذور المعادلة الأصلية جذوراً للمعادلة الجديدة. وهذا يعني أننا نستطيع طرح العدد 2 من طرفي المعادلة 3 س + 2 = 11 لنحصل على:

3 س + 2 - 2 = 11 - 2

3 س = 9

وتكافئ المعادلة 3 س = 9 المعادلة 3 س + 2 = 11. وأي حل لإحداهما يعد حلاً للأخرى.

القسمة. لحل المعادلة 3 س = 9 نحتاج لتعلم قاعدة أخرى مستنتجة من الميزان. إذا كان لدينا وزنان متساويان على الميزان وأخذنا أجزاء متساوية من كل وزن فإن الأجزاء المتبقية تتساوى في الوزن. وتعني القسمة تجزئة العدد إلى أجزاء متساوية. إذا قسمنا طرفي معادلة على العدد نفسه بشرط ألا يكون العدد المقسوم عليه صفرًا فسيتساوى الطرفان الناتجان. وتكون جذور المعادلة الأصلية جذوراً للمعادلة الجديدة. وباستخدام هذه القاعدة نستطيع قسمة طرفي المعادلة 3 س = 9 على 3 لنحصل على:

3/3 س = 9/3

س = 3

إذن مجموعة الحل للمعادلات الواردة أعلاه بدءًا بالمعادلة 3 س + 2 = 11 هي {3} . ويمكنك أن تبرهن هذه بأن تضع 3 محل س في المعادلة الأصلية: فتصبح

3 × 3 + 2= 9+2 أو 11 = 11.

لنلاحظ أنه ليس باستطاعتنا أن نقسم طرفي معادلة على العدد صفر، إذ إن مثل هذه القسمة تقودنا إلى تناقضات. وتسمى الصيغة صفر - صفر في الرياضيات صيغة غير معينة. أي أننا لانستطيع الحصول على إجابة محددة لها.

الجمع. هذه قاعدة أخرى تُستخدم في حل المعادلات البسيطة، وتنص على الآتي: إذا أضفنا العدد نفسه لكل طرف من طرفي المعادلة فإننا نحصل على طرفين جديدين متساويين. ومن ثم فإن جذور المعادلة الأصلية تكون جذوراً للمعادلة الجديدة. فعلى سبيل المثال، لحل المعادلة س - 6 = 18 نستطيع إضافة 6 إلى طرفي المعادلة. المجموع س - 6 + 6 لا يختلف عن س +0 أي س كما سنرى لاحقاً و عليه فإن

س - 6 + 6 = 18 + 6

س = 24

إذن مجموعة الحل للمعادلة هي {24}.

الضرب. القاعدة الأخيرة المستخدمة في حل المعادلات البسيطة تنص على مايلي: إذا ضربنا كل طرف من طرفي المعادلة في نفس العدد فإن الطرفين الناتجين يكونان متساويين (الضرب في العدد صفر بالطبع مسموح به ولكن من الواضح أنه غير مفيد هنا). ومن ثم فإن جذور المعادلة الجديدة مساوية لجــذور المعادلة الأصلية. فعلى سبيل المثال، بضرب طرفي المعادلة 1/4 س = 5 في العدد 4 نحصل على 4× (1/4) س = 4× 5. أي س = 20. وفيما يلي توضيح للقواعد الأربع:

2/3 س - 4 = 1/4 س + 6

من المؤكد أن حل معادلة تحتوي على أعداد صحيحة أسهل من حل معادلة تحتوي على أعداد كسرية. ولذا نقوم بالتخلص من الكسرين 2/3 و 1/4 وذلك بضرب طرفي المعادلة في العدد 12 لنحصل على:

8 س - 48 = 3 س + 72

بإضافة العدد 48 إلى طرفي المعادلة نحصل على:

8 س = 3 س + 120.

وبطرح 3 س من طرفي المعادلة نحصل على:

5 س = 120

وأخيراً بقسمة طرفي المعادلة على العدد 5 نحصل على:

س = 24

إذن مجموعة الحل هي {24}.

نستطيع التحقق من صحة الحل، بالتعويض عن س في المعادلة الأصلية بالعدد 24:

2/3 × 24 - 4 = 1/4 × 24 + 6

16 - 4 = 6 + 6

12 = 12

وبما أن استخدام طرق حل المعادلة لم يؤد إلى أي حل آخر، فإن 24 هو الحل الوحيد للمعادلة.
قياس درجات الحرارة

الأعداد الموجبة والأعداد السالبة. في علم الحساب، نستطيع جمع وضرب وقسمة الأعداد الطبيعية ولكننا لانستطيع دائما طرح هذه الأعداد. فمثلاً 3 - 5 لاتعني شيئا في علم الحساب. غير أن الجبر استطاع أن يتغلب على هذه المشكلة وذلك بتوسيع نظام الأعداد الطبيعية. ففي الحساب المعتاد تمثل الأعداد المـقادير فقـط، فتحـدثنا عن كم من الأشياء في مجموعة. ولكن كثيراً من القياسات التي نواجهها في حياتنا اليومية تهتم بمعرفة كل من المقدار والاتجاه. ومن الأمثلة الجيدة على ذلك قياس درجات الحرارة حيث هناك درجات حرارة فوق الصفر وأخرى تحت الصفر. في الجبر نستخدم أعدادًا تبين الاتجاه .

وباستطاعتنا توضيح هذه الأعداد الجديدة على خط كما يلي.

نأخذ العدد صفر ليكون نقطة الأصل أو البداية. النقاط الواقعة على يسار الصفر تعين مسافة أو اتجاهًا موجبًا، هذه الأعداد تمثل درجات الحرارة فوق الصفر في المثال السابق. أما النقاط الواقعة على يمين الصفر فإنها تدل على مسافة أو اتجاه سالب، وهذه الأعداد تمثل درجات الحرارة تحت الصفر. فالنقطة أ لا تدل على العدد 1 فحسب ولكن + 1، أي العدد الموجب 1. وتدل الإشارة + على الاتجاه الموجب. كذلك تدل النقطة ب على العدد - 1، أي العدد السالب 1 وليس العدد 1 فقط. وتدل الإشارة (-) على الاتجاه السالب. وتسمى الأعداد الممثلة على خط الأعداد بالأعداد الموجبة والأعداد السالبة. ويمكن استخدام هذه الأعداد في حياتنا اليومية لتدل مثلاً على درجات الحرارة، عدد الأمتار فوق مستوى أو تحت مستوى سطح البحر، التغير في أسعار سوق الأسهم، الأرباح التجارية، وكثير من الاستخدامات الأخرى. ومقابل كل عدد موجب يوجد عدد سالب مساو له في المقدار، فالعدد 7 على سبيل المثال يعني دائما سبعة أشياء موجباً كان أم سالبا. وتعرف القيمة المطلقة لعدد بأنها القيمة الحسابية لذلك العدد. وبمقدورنا جمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد الموجبة والسالبة معا ولكن بقواعد تختلف عن تلك المستخدمة على الأعداد في الحساب المعتاد.

الجمع. يمكن توضيح عملية الجمع بجمع العدد + 5 والعدد - 7، أي (+5) + (-7). نستطيع إجراء عملية الجمع هذه على خط الأعداد كالتالي.



خط الأعداد


لجمع العددين (+5) و (+7) على خط الأعداد نبدأ من نقطة الأصل، ونحسب خمس نقاط إلى اليسار ثم سبعاً أخرى بعد ذلك لنحصل على العدد (+12). ولجمع العددين (+5) و (-7) نبدأ من الصفر ونحسب خمس نقاط إلى اليسار لنحصل على العدد الأول، وهو (+5) وبما أن العدد الثاني (-7) نتجه بعد ذلك إلى اليمين سبع نقاط فننتهي يمين الصفر عند العدد (-2). عندئذ يكون (+5) + (-7) = -2. وتسمى الأعداد التي تحمل إشارة سالب أو إشارة موجب عادة بالأعداد ذات الإشارة.



ولجمع عددين لهما إشارة نتبع القاعدة التالية المبينة على خطوتين:

أولا: إذا كان العددان متفقين في الإشارة فإننا نجمع قيمتيهما المطلقة ونعطي الناتج الإشارة نفسها.

فعلى سبيل المثال (+5) + (+8) = (+13) و (-5)+ (-8) = (-13).

ثانيًا: إذا كان العددان مختلفين في الإشارة فإننا نطرح القيمة المطلقة الصغرى من القيمة المطلَقة الكبرى ونعطي الناتج إشارة العدد ذي القيمة المطلقة الكبرى. على سبيل المثال،

(+5) + (-8) = (-3) و (-5) + (+8) = (+3).

الطرح. لطرح الأعداد السالبة والموجبة تذكّرْ أولاً طريقة طرح الأعداد الموجبة: المطروح منه - المطروح = الفرق. مثلا 9 - 4 = 5.

لاحظ أن المطـروح منه هـو حاصـل جمع المطروح والفرق (4 + 5 = 9).

إذن لطرح عددين لهما إشارة يجب أن نسأل ما الذي ينبغي إضافته إلى المطروح لنحصل على المطروح منه. فمثلا لإيجاد ناتج (+9) - (-4)، ما العدد الذي يمكن إضافته إلى (-4) لنحصل على العدد (+9)؟ يمكن تحويل عملية طرح الأعداد إلى عملية جمع كالتالي:

1- نغير إشارة المطروح .

2- نجمع المطروح منه والعدد الذي غُيِّرت إشارته، وباستخدام هذه القاعدة: (+9) - (-4) تصبح (+9) + (+4) وبما أن (+9) + (+4) = (+13) فإن (+9) - (- 4) = (+13). لاحظ أن مجموع المطروح والفرق يساوي المطروح منه: (-4) + (+13) = (+9). لنأخذ مثالاً آخر: (-6) - (+8). نغير أولا إشارة (+8) ثم نضيف الناتج إلى المطروح منه لنحصل على:

(-6) + (-8) = (- 14).

الضرب. قاعدة ضرب عددين ذَوي إشارة هي: نضرب القيم المطلقة للعددين. فإذا تشابه العددان في الإشارة كان الناتج موجبًا، وإذا اختلف العددان في الإشارة فإن الناتج يكون سالبًا.

(+ 3) × (+ 8) = (+ 24)

(- 3) × (- 8) = (+ 24)

(+ 3) × (- 8) = (- 24)

(- 3) × (+ 8) = (- 24)

القسمة. قاعدة قسمة عددين ذَوي إشارة مشابهة لقاعدة ضربهما: إذا كان العددان متشابهين في الإشارة كان خارج القسمة موجبًا، وإذا اختلفا في الإشارة كان سالباً.

(+ 24) ÷ (+ 3) = (+ 8)

(- 24) ÷ (- 8) = (+ 3)

(+ 24) ÷ (- 3) = (- 8)

(- 24) ÷ (+ 8) = (- 3)

وعند استخدامنا الأعداد السالبة في الجبر نقوم بتوسيع مجالات المتغيرات. فعلى سبيل المثال لايوجد حل للمعادلة س + 4 = 1 في مجموعة الأعداد الطبيعية، ولكن - 3 جذر للمعادلة في مجموعة الأعداد الموسعة. كذلك بالإمكان استخدام العمليات التي طبقناها على الأعداد ذات الإشارة، على المتغيرات التي تمثل الأعداد، فيكون بمقدورنا التعامل مع مقادير مثل (- س) أو (-ص).



كتابة الصيغ. يساعدنا الجبر على حل الكثير من المسائل التطبيقية في العلوم والهندسة وفي حياتنا اليومية. إذ من الممكن وصف العديد من الحالات التي تنشأ من الحساب بصيغ عامة؛ فمثلاً إذا كان طول غرفة 5 أمتار وعرضها 4 أمتار فإن محيطها يساوي 5 + 4 + 5 + 4 أو 2 × (5 + 4) مترًا.

أما إذا كان طول الغرفة 5 أمتار وعرضها غير معلوم فإننا نستطيع استخدام المتغير ع ليدل على العرض. وعندئذ يكون محيطها 5 + ع + 5 + ع أو 2 (5 + ع) مترًا. وبصورة عامة إذا كان لدينا غرفة طولها ل متراً وعرضها ع متراً فإننا نستطيع التعبير عن محيطها بعبارة واحدة وهي 2 × (ل + ع). وبإمكاننا حل الكثير من المسائل بمثل هذه الصيغ.

هناك بعض الحالات التي تتطلب تكوين معادلة. فعلى سبيل المثال: افترض أن سائق شاحنة قام بنقل عدد من الكتب في اليوم الأول من شهر أغسطس، ثم نقل ثلث هذا العدد في اليوم الثاني. إذا كان مجموع ما نقله في اليومين هو 6,500 كتاب، فما عدد الكتب التي نقلها في كل يوم؟

إذا فرضنا أن س هــو عــدد الكتب التي نقلها في اليوم الأول فإن 1/3 س هو عدد الكتب المنقولة في اليوم الثاني. وهكذا فإن المعادلة هي س + 1/3 س = 6,500. وبحلها نستطيع إيجاد س. بضرب طرفي المعادلة بالعدد 3 لكي نتخلص من الكسر، وبهذا نحصل على:

3 س + س = 19,500

4 س = 19,500

وبقسمة طرفي المعادلة على العدد 4 نحصل على:

س = 4,875

ويكون 1/3 س = 4,875 ÷ 3 = 1,625. إذن فقد نقل السائق في اليوم الأول 4,875 كتاباً ونقل في اليوم الثاني 1,625 كتاباً ومن ثم يكون مجموع ما نقله في اليومين 4,875 + 1,625 = 6,500.



الجبر الأساسي

بعد أن تتعلم استخدام المتغيرات والمعادلات والأعداد ذات الإشارة يصبح من السهل استيعاب المبادئ الأساسية في الجبر.

الرموز في الجبر. يدل الرمز + على عملية الجمع، غير أنه في الجبر أيضاً يعني العدد الموجب. أما الرمز - فيدل على الطرح والعدد السالب. وقد جرت العادة على استخدام الرمز (.) ليدل على عملية الضرب بدلا من × فنكتب حاصل ضرب أ و ب على الصورة، أ. ب، أو أحيانا أ ب، أو ( أ) (ب). (لاحظ أن كلا من 3. 6 و (3) (6) تعني أن العدد 3 مضروب بالعدد 6 ولكن 63 لايزال يعني العدد 63 كما في الحساب). ويُستخدم الرمز - ليدل على عملية القسمة كما هو الحال في الحساب.

ونستخدم القوسين ( )، والحاصرتين { } والمعقوفتين [ ] لحصر المقادير والأعداد. وتعرف جميعاً باسم إشارات التكديس لأننا نعامل كل ماهو محصور داخلها كمقدار واحد. وغالباً ما يكون من المهم تبسيط المقدار المحصور قبل أن نستخدمه في أجزاء أخرى من المسألة. لنتأمل المثال التالي من الأعداد.

[12 + { 4 + 5 - (5 - 3) + 4} - 4]

نبسِّط أولاً (5 - 3):

[12 + { 4 + 5 - 2 + 4} - 4]

ثم نبسط { 4 + 5 -2 + 4}:

[12 + 11 -4] = 19

بالطريقة نفسها نبسِّط الصيغ التي تحتوي على متغيرات كما في المثال التالي:

[5 س + 6س + {5 س - س + (3س + 4س)} - س]

نبسِّط أولا: {3 س + 4 س}:

[5 س + 6س + {5س - س + 7س} -س]

ثم نبسط {5س - س + 7س}:

[5س + 6س + 11س - س] = 21س

وفي بعض الأحيان يكون من الأسهل التخلص من الأقواس التي تحصر مقداراً جبريًا دون تبسيطه. ويمكن تنفيذ ذلك باستخدام قاعدتي الجمع والطرح على الأعداد ذات الإشارة. على سبيل المثال يمكن كتابة الصيغة.

أ + (ب + جـ) على الصورة أ + ب + جـ

ولتوضيح ذلك نلاحظ أن التعبير 40 + (8 - 2) يعني أن العدد 8 - 2 أو 6 مضاف إلى العدد 40، أو 40 + 6. وبإسقاط الأقواس يكون 40، + 8 - 2 أو 48 - 2 مساوياً للصيغة المبسطة 40 + 6. إذا وجد أمام مقدار جبري بين قوسين إشارة + فبإمكاننا إزالة القوسين دون أن نغير إشارات المقادير التي بداخلها. على هذا فإن أ + (- ب - جـ) تصبح أ + (- ب) - جـ أو أ - ب - جـ.

أما إذا كان المقدار الجبري بين القوسين مسبوقاً بإشارة - فيجب أن نغير إشارات كل الكميات داخل القوسين بعد إزالتهما. فمثلا التعبير 6 - (-8) يصبح 6 + 8 أو 14 أي أننا نحول مسألة الطرح إلى مسألة جمع. وكمثال آخر: 6 - (+8) يصبح 6 + (-8) أو 6 - 8 = - 2. وإذا كان هنالك أكثر من مقدار بين القوسين فينبغي أن نغير إشارة كل واحد منهما. فمثلا 6 - (-3 + 2) يصبح 6 + 3 - 2 أو 7. وكقاعدة نستطيع أن نكتب أ - ( ب + جـ) بالشكل أ - ب - جـ.

أما إذا أردنا أن نغير إشارات المقادير أو الأعداد فإننا نعكس العملية فنقوم بوضعها داخل قوسين. فمثلاً يمكننا كتابة 8 + 7 على الصورة - (-8-7). و 8 + 4 - 6 على الصورة 8 - (-4 + 6).



القوانين الأساسية. هناك خمس قوانين أساسية في الجبر تحكم عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة. ويعبَّر عنها باستخدام متغيرات يمكن التعويض عنها بأي عدد كان. وهذه القوانين هي:

1- الخاصية الإبدالية للجمع. وتكتب س + ص = ص + س. وتعني أن الترتيب غير مهم عند جمع عددين إذ إن النتيجة واحدة. فمثلاً 2 + 3 = 3 + 2 و (-8) + (- 36) = (-36) + (-8).

2- الخاصية التجميعية للجمع. وتكتب س + (ص + ع ) = (س + ص) + ع، وتعني أنه عند جمع ثلاثة أعداد أو أكثر، فإنه يمكن جمع أي تشكيل منها أولاً، ثم إكمال الجمع دون أن يتأثر الناتج النهائي، فمثلا 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 أو 2 + 7 = 5 + 4.

3- الخاصية الإبدالية للضرب. وتكتب س ص = ص س. وتعني أن الترتيب غير مهم عند ضرب عددين إذ إن النتيجة واحدة. فمثلاً (2) (3) = (3) (2) و (-8) (- 36) = (-36) (-8) .

4- الخاصية التجميعية للضرب. وتكتب س (ص ع) = (س ص) ع. وتعني أنه عند ضرب ثلاثة أعداد أو أكثر فإنه يمكن ضرب أي تشكيل منها أولا، ثم إكمال الضرب دون أن يتأثر الناتج النهائي. فمثلا 2 (3 × 4) = (2 × 3) 4 أو 2 (12) = (6) 4.

5- خاصية توزيع الضرب على الجمع. وتكتب:

س (ص+ع) = س ص + س ع.

نوضح هذه الخاصية المهمة في الجبر بالمثال التالي:

3 (4+ 5) = (3 × 4) + (3 × 5). إن حاصل ضرب عدد في مجموع عددين مثل 3 (4 + 5) أو 3 × 9 يساوي مجموع حاصل ضرب العدد بأحد العددين وحاصل ضرب العدد بالعدد الثاني. لاحظ أن:

3 (4 + 5) = 3 (9) = 27 وكذلك.

(3 × 4) + (3 × 5) = 12 + 15 = 27.



تعريفات أخرى. من المهم أن نعرف بعض الكلمات الأخرى المستخدمة في الجبر. فالمقدار س²- 2س ص+ص يحتوي على ثلاثة أجزاء ترتبط بعمليتي الجمع أو الطرح، يُسمى كل جزء منها حداً. ويُسمى المقدار الجبري المكون من حد واحد فقط بوحيد الحد، فمثلا 5 س ص وحيد الحد، على الرغم من أنه يحتوي على ثلاثة عناصر (5، س، ص) مضروبة بعضها مع بعض يسمى كل منها عاملا. ويعرف المقدار ذو الحدين بأنه المقدار المكون من حدين بينهما إشارة جمع أو طرح، فمثلاً كل من س+ ص و 3أ²- 4ب ذات حدين. أما متعددة الحدود فهي المقدار المكون من حدين أو أكثر مرتبطة فيما بينها بإشارة جمع أو طرح، فمثلاً س - ص + ع متعدد الحدود. لاحظ أن ذات الحدين ليست إلا حالة خاصة من متعدد الحدود.

ويعني وضع المقادير جنباً إلى جنب في الجبر أنها مضروبة، فيدل التعبير 5 أ على حاصل ضرب أ في خمسة ويُسمى العدد 5 معامل أ. وبما أن 5 مضروب في الرمز أ ففي الجبر يسمى أ معاملا للعدد 5.كذلك في الصيغة أ (س+ ص) أ هو معامل (س + ص) و (س + ص) هو معامل أ. ولما كان أ = 1 × أ فإن بإمكاننا على الدوام استبدال أ بالصيغة 1 أ.



الجمع. تشبه عملية الجمع في الجبر إلى حد كبير مثيلتها في الحساب. فمثلاً حاصل جمع أ و أ هو 2 أ. نسمي أ و 2 أ حدين متشابهين وذلك لأنهما يحتويان المتغير نفسه. ولجمع كميتين جبريتين متشابهتين أو أكثر نستخدم خاصية توزيع الضرب على الجمع، فمثلاً.

2 س + 3 س + 4 س هو (2 + 3 + 4) س أو 9 س، إلا أننا لانستطيع التعبير عن حاصل جمع كميتين غير متشابهتين بحد واحد. فمثلا حاصل جمع أ و ب يكتب أ + ب. ولجمع 3 أ، 4 ب ، 6 أ و ب نستخدم خاصتي الإبدال والتجميع لعملية الجمع. ومن الواضح أن هاتين الخاصتين تساعداننا على جمع أية سلسلة من الحدود مكتوبة بأي ترتيب. وبتجميع الحدود المتشابهة نجد أن:

3 أ + 6 أ = 9 أ و 4 ب + ب = 5 ب .

إذن 3 أ + 4 ب + 6 أ + ب = 9 أ + 5 ب.

وبالإمكان تنظيم الحل على النحو التالي:




ولجمع مقادير غير متشابهة سالبة كانت أم موجبة نقوم باستخدام خاصة توزيع الضرب على الجمع. لنوضح هذا الاستخدام بجمع:



(2أ§ - ب²جـ + 6 ب د² + 2 د§) و

(4أ§ + 3ب²جـ - 4 ب د² - 3 د§) و

(3أ§ + 2ب²جـ + 2 ب د² - 4 د§) و

(-2أ§ - 8ب²جـ + 6 ب د² + 6 د§).

والعدد 3 الذي يظهر في الحدود مثل 2أ§ يعني أن المتغير أ مضروب في نفسه ثلاث مرات. انظر: المكعب. وقبل إجراء عملية جمع هذه المقادير نرتب الحدود في أعمدة.






ولتفسير ذلك نوضح عملية جمع العمود الثاني. هذا العمود هو:



- ب² جـ + 3ب²جـ + 2 ب² جـ - 8 ب² جـ

لاحظ أن كل حد من هذه الحدود هو حاصل ضرب عدد في ب² جـ. ومن ثم فإننا نضيف معاملات هذه الحدود وهي: -1، +3، +2، -8 لنحصل على الجواب. أي أن:

- ب² جـ + 3ب²جـ + 2 ب² جـ - 8 ب² جـ

= (-1 + 3 + 2 - 8) ب² جـ = -4ب²جـ .

والطريقة نفسها استخدمت لجمع الأعمدة الثلاثة الأخرى.

الطرح. في الجبر نستخدم للطرح القاعدة نفسها المستخدمة للأعداد ذات الإشارة. فعند طرح كمية جبرية من كمية أخرى نغير إشارة المطروح ونجمع الكميتين. فمثلا 8 أ - 3 أ هي في الحقيقة (+ 8) أ - (+ 3) أ وذلك لأننا عادة لانكتب الإشارة الموجبة. ولتغيير مسألة الطرح هذه إلى مسألة جمع فإن الكمية (+8)أ - (+3) أ تصبح (+8) أ + (- 3) أ أي 5 أ. ومسألة الطــرح (2أ§ - ب² جـ + 6 ب د² + 2د§) - (4أ§+ 3ب²جـ -4ب د² - 3د§) أصعب قليلا. أولاً نرتب الحدود المتشابهة ونضع كلاً في عمود منفصل.

2أ§ - ب²جـ + 6 ب د² + 2 د§

4أ§ + 3ب²جـ - 4 ب د² - 3 د§

ثم نطرح معاملات الحدود المتشابهة، وذلك بتغيير إشارات حدود المطروح والجمع:

2أ§ - ب²جـ + 6 ب د² + 2 د§

-4أ§ - 3ب²جـ + 4 ب د² + 3 د§

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

-2أ§ - 4 ب²جـ + 10 ب د² + 5 د§ .



الضرب. يُشار إلى عملية الضرب في الجبر عادة بكتابة مقدارين أو أكثر جنباً إلى جنب دون وضع إشارة ضرب بينهما، فمثلاً أ × ب تكتب أ ب. وعند تكرار عدد أو متغير أكثر من مرة فإننا نختصر الكتابة، فمثلاً نكتب المقدار أ ب² بدلاً من أ ب ب و أ ب ¨ بدلا من أ ب ب ب ب. والعدد المكتوب فوق المتغير ب يسمى أساً ويدل على عدد مرات ضرب المقدار في نفسه. فنحن نكتب أ² ويسمى مربع أ بدلاً من أ × أ وكذلك أ§ ويسمى مكعب أ بدلاً مـن أ × أ × أ. كذلك أ ¨ ليس إلا أأأأ و أ¹ هو أأأأأ. وبمقدورنا أن نعتبر أن أس المتغير الذي يظهر كعامل مرة واحدة هو 1 وإذا دعت الحاجة لجمع أو طرح الأسس فبإمكاننا أن نكتب أ¥ بدلاً من أ.

وعند ضرب متغيرات متشابهة نجمع أسسها. ومع أن من الواضح أن ب² ×ب§ هو (ب×ب)×(ب× ب × ب) أي ب¹ غير أنه من الأيسر أن نجمع الأسين:

ب² × ب§ = ب²+§ = ب¹ لاحظ أنك لا تستطيع جمع الأسس في المقدار أ² × ب² وذلك لأن أ و ب قد يمثلان عددين مختلفين.

ويسمى المقدار مثل أ ب جـ د، ب جـ² د س حاصل الضرب. كما تسمى المقادير التي تشكل حاصل الضرب العوامل. فمثلا أ، ب، جـ ، د هي عوامل أ ب جـ د. وإذا أردنا ضرب أ ب جـ د، ب جـ² د س فإننا نجمع أسس العوامل المتشابهة. ففي (أ ب جـ د) (ب جـ² د س) نجد أن أ يظهر مرة، ب مرتين، جـ ثلاث مرات، د مرتين و س مرة فيكون:

(أ ب جـ د) (ب جـ² د س) = أ ب² جـ§ د² س. حيث مكنتنا الخاصية الإبدالية للضرب من إجراء عملية الضرب بأي ترتيب نشاء.

ولضرب مقدار جبري يحتوي على حدين أو أكثر بحد واحد، فإننا نستخدم خاصية توزيع الضرب على الجمع: س (ص + ع) = س ص + س ع. ولعل عملية الضرب (3 ب د) (5ب² جـ + 2د) تبين استخدام هذه الخاصية حيث نقوم بتعديل الطريقة المستخدمة في الحساب لإجراء هذه العملية فنكتب:




لاحظ أننا ضربنا الحد 3 ب د بالحد 5 ب² جـ ووضعنا الناتج 15 ب§ جـ د ليكون الحد الأول في حاصل الضرب، ثم ضربنا الحد 3 ب د بالحد2 د ووضعنا الناتج 6 ب د² كحد ثان في حاصل الضرب. وبالتالي فإن حاصل الضرب الكلي هو 15 ب§ جـ د + 6 ب د² .



ويكون الأمر أكثر صعوبة عند ضرب مقدارين كل منهما مكون من حدين أو أكثر. فمثلا نجري عملية الضرب (أ² - 2 أ ب + ب²) (أ - ب) على النحو التالي:




أولا نضرب كل حد من حدود المقدار المضروب بالحد الأول من المقدار المضروب منه، ونكتب ناتج عملية الضرب هذه كجزء من الجواب. ثم نضرب كل حد من حدود المضروب بالحد الثاني من المضروب منه، ونكتب ناتج عملية الضرب هذه في سطر آخر تحت الجزء الأول (مع مراعاة وضع الحدود المتشابهة في عمود واحد). وأخيرا نجمع السطرين لنحصل على الجواب النهائي. لاحظ أن ترتيب الحدود المتشابهة بأعمدة يسهِّل عملية الجمع النهائية.

القسمة. عملية القسمة في الجبر هي عكس عملية الضرب. ولما كنا نجمع الأسس عند ضرب الحدود المتشابهة فإنه ينبغي عند قسمة حدين متشابهين أن نطرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم. فمثلاً:

ب ب ب ب ب ÷ ب ب = ب ب ب أو:

ب¹ ÷ ب² = ب §. من الأسهل طرح الأسس:

ب¹ ÷ ب² = ب¹ ¯ ² و ب¹ ¯ ² = ب§.

تذكر دائماً أنك تتعامل مع أسس وأنك لاتقسم ب¹ على 2.

لنأخذ مثالا أكثر صعوبة:

(3 س ¨ ص² ع - 9س§ ص ع²- 6 س² ص§) ÷ (3 س² ص) يجب أن نقسم هنا كل حد من حدود المقسوم على المقسوم عليه. ولإتمام ذلك نسأل عن الحد الذي نضربه بالحد (3 س² ص) ليعطينا الحد المطلوب من المقسوم. مثلا ماهو الحد الذي إذا ضربناه بالحد (3 س² ص) يعطينا الحد (-9 س§ ص ع²) ؟. والجواب هو (- 3 س ع²) وباستخدام هذه الطريقة نجد أن:

(3 س ¨ ص² ع - 9 س§ ص ع² - 6 س² ص§) ÷ (3س² ص) = (س² ص ع -3 س ص² - 2 ص²).

لنأخذ مثالا آخر:

(12أ² + 18 أ ب + 6 ب²) ÷ ( 4أ + 2 ب).

لحل هذه المسألة تستخدم طريقة القسمة المطولة وهي تشبه الطريقة المتبعة في قسمة الأعداد:




نقسم أولا الحد الأول من المقسوم على الحد الأول من المقسوم عليه (12أ² ÷ 4أ = 3أ). نكتب الناتج وهو 3أ ليكون الحد الأول من خارج القسمة. نضرب الآن كل حد من حدود المقسوم عليه في الحد 3 أ أي أن:

3 أ (4 أ + 2 ب) = (12 أ² + 6 أ ب).

نكتب هذا الناتج تحت المقسوم، ونطرح، ثم نكتب حاصل الفرق وهو 12 أ ب + 6 ب². نقسم الآن 12 أ ب على الحد الأول من المقسوم عليه وهو 4 أ (12 أ ب - 4أ = 3ب). نكتب الناتج بإشارته (+ 3 ب) ليكون الحد الثاني من خارج القسمة. نضرب الآن كل حد من حدود المقسوم عليه بالحد 3 ب:

3 ب (4 أ + 2 ب) = (12 أب + 6ب²)

ثم نضع هذا الناتج تحت 12 أ ب + 6 ب² ونطرح لنجد أن حاصل الفرق هنا صفر. عند ذلك تتوقف عملية القسمة ونكون قد حصلنا على خارج القسمة 3 أ + 2 ب دون باق.



التحليل. يشبه التحليل إلى حد ما القسمة. فمثلاً:

(4أ + 2ب) و (3 أ + 3 ب) هما عاملان للمقدار 12أ² + 18 أ ب + 6 ب² لأننا إذا ضربنا (4أ + 2ب) (3أ + 3ب) نحصل على 12أ² + 18 أب + 6ب². ويعني التحليل كتابة مقدار جبري في شكل حاصل ضرب عوامل. من الممكن أن يكون لصيغة ما أكثر من تحليل. فمثلاً كل من 2 × 12، 3 × 8 و 4 × 6 هو تحليل للعدد 24. وتكمن أهمية التحليل في الجبر في استخدامه لتبسيط المقادير المعقدة. انظر: العامل الحسابي.



استخدام المعادلات




مثال الإسمنت

الدوال. تعتمد الكمية التي تستهلكها طائرة من الوقود على سرعتها. وتعتمد قيمة الطوابع اللازمة لوضعها على طرد بريدي على وزن الطرد. وفكرة اعتماد شيء على شيء آخر من الأفكار المهمة في الرياضيات، وتسمى علاقة بين شيء وآخر. وتسمى العلاقات بين متغيرات في الجبر بالدوال. فالدالة بين متغير وآخر تعني أن قيمة أحد المتغيرين تعتمد على قيمة الآخر.



ويمكن توضيح فكرة الدالة عن طريق تقديم أمثلة مألوفة. لنفرض وجود أساس من الإسمنت يرتفع 16 سم فوق سطح الأرض، وأننا نريد أن نبني 6 طبقات من الحجر فوق هذا الأساس بحيث يكون ارتفاع كل منها 8 سم. في كل مرة ننتهي من بناء طبقة تحدث زيادة في الارتفاع الكلي.

لنرمز لعدد الطبقات بالرمز س وللارتفاع بالرمز ص. يوضح الجدول التالي العلاقة بين عدد الطبقات والارتفاع:



جدول يمثل العلاقة بين عدد الطبقات والارتفاع




وباستطاعتنا التعبير عن هذا الجدول بالرسم البياني.



الرسم البياني للعلاقة بين عدد الطبقات والارتفاع


لنفرض أننا نقيس قيم س و ص على خطين مثل المسطرة. أحد هذين الخطين أفقي ويمثل قيم س، والآخر رأسي ويمثل قيم ص. نسمي هذين الخطين محوري الإحداثيات ونقوم الآن بتمثيل كل زوج من قيم الجدول بنقطة على المنحنى ذي 7 نقاط.





التمثيل على محور الإحداثيات


ويمكن كتابة معادلة تصف هذا الخط من النقاط، وهذه المعادلة هي ص = 8 س + 16. فمثلاً إذا كانت س = 2 فإن ص = 8(2) + 16 = 32. وإذا كانت س = 5 فإن ص = 8 (5) + 16 = 56. من السهل أن نرى كيف تتوافق هذه المعادلة مع القيم الموجودة في الجدول. إن مجال ص في هذه المعادلة هو مجموعة الأعداد {صفر، 1، 2، 3، 4، 5، 6}. وتسمى مجموعة قيم ص بمدى ص، وهي مجموعة الأعداد {16، 24، 32، 40، 48، 56، 64}. وفي الرياضيات، تعرف العلاقة بين مجموعتين من الأعداد على أنها مجموعة من الأزواج المرتبة. وتكتب هذه المجموعة كالتالي:



{(س، ص) (صفر، 16)، (1، 24)، (2، 32)، (3، 40)، ...، (6، 64)}.

هذه المجموعة من الأزواج المرتبة دالة. وتسمى دالة متقطعة لأننا لانستطيع تمثيلها بخط متصل. لاحظ أن هذه الدالة ممثلة بنقاط في الرسم أمامنا.



مثال حوض الأحياء المائية

ليكن لدينا حوض للأحياء المائية ارتفاعه 36 سم ويرتفع قاعه بمقدار 20 سم عن الأرض، ولنفرض أنه عند صب الماء في الحوض يزيد ارتفاع سطح الماء بمقدار 4 سم كل دقيقة. هذا يعني أن ارتفاع الماء عن الأرض يعتمد على الزمن الذي ينسكب فيه الماء. لنرمز لعدد دقائق انسكاب الماء بالرمز س ولارتفاع الماء عن الأرض بالرمز ص. الجدول التالي يعطينا بعض قيم س و ص





جدول يمثل العلاقة بين ارتفاع حوض الماء و الدقائق


إذا مثلنا هذه العلاقة على الرسم باستخدام الإحداثيات فإننا نحصل على مستقيم متصل وذلك لأن ارتفاع ص يتزايد تزايداً متصلاً.



والمعادلة التي تمثل هذا الخط المستقيم هي: ص = 4 س + 20. فإذا كانت س = 2 مثلا فإن ص = 4 (2) + 20 = 28، ومن السهل أن نرى كيف تتوافق هذه المعادلة مع القيم الموجودة في الجدول. إن مجال ص هو جميع الأعداد بين صفر و 9 ومدى ص هو جميع الأعداد بين 20 و 56 وتسمى هذه الدالة بالدالة الخطية لأنها متصلة ويمكن تمثيلها بخط مستقيم. أما المعادلة ص = 4 س+ 20 فتسمى معادلة خطية. وتعتبر دراسة المعادلات الخطية من بين أكثر المواضيع أهمية في الجبر.



حل المعادلات الخطية في متغيرين. المعادلة ص = 4 س + 20 معادلة خطية، ومن الخط المتصل الذي يمثل هذه المعادلة نستنتج أن لهذه المعادلة حلولاً عديدة، أي أنه يوجد عدد كبير من الأزواج المرتبة التي تجعل ص = 4 س + 20 تقريراً صائباً. ويظهر في هذه المعادلة متغيران س و ص. وبما أن للمعادلات الخطية حلولاً كثيرة فإننا نضع في الغالب بعض القيود على هذه الحلول، لأنه في بعض الأحيان نستخدم هذه المعادلات لإيجاد حلول لمسائل تطبيقية. ولكي يتم ذلك فلا بد من إيجاد وسيلة نقصر بها حلول المعادلة على حل واحد فقط. وإحدى الطرق المستخدمة هي أن نجد معادلتين تكونان صائبتين لزوج مرتب واحد فقط. وهناك طريقة أخرى تستخدم فيها معادلة واحدة لكن مع حصر الحلول في الأعداد الصحيحة الموجبة.

ولتوضيـح الطـريقة الأولى نأخذ المعادلتين 2 ص = س + 4 و ص + س = 5. نستخدم الرسم البياني لحل هاتين المعادلتين ولكن ننشىء أولا جدولا يحتوي قيماً لبعض حلول كل من المعادلتين .




نعين هذه القيم على الرسم البياني، ثم نرسم الخط الذي يمثل كل معادلة من هاتين المعادلتين. نجد أن الخطين يتقاطعان في نقطة، ونقطة تقاطعهما تمثل مجموعة حل المعادلتين معًا. وهذه النقطة هي (2، 3). أي أن قيمة س هي 2 وقيمة ص هي 3. هاتان القيمتان فقط هما قيمتا س و ص اللتان تعطيان حلاً للمعادلتين معاً.




نستطيع أيضاً أن نجد حلاً لمعادلتين خطيتين بطريقة حذف أحد المتغيرين. وهذه الطريقة تنتج لنا معادلة واحدة تحتوي على متغير واحد. نستخدم المعادلتين 2 ص = س + 4 و ص + س = 5 لتوضيح هذه الطريقة. هناك عدة طرق لحذف متغير، ونستخدم هنا طريقة تعرف بطريقة التعويض. ونستخدم إحدى المعادلتين لنضع ص بدلالة س ولتكن ص + س = 5. إذن ص = 5 - س. نعوض الآن عن ص في المعادلة الثانية 2 ص = س + 4 لنحصل على 2 (5 - س) = س + 4. ولتبسيط هذه المعادلة نجد أن 10 - 2 س = س + 4، أي 3 س = 6 ومنها س = 2. نعوض الآن عن قيمة س في أي من المعادلتين ونوجد قيمة ص فنحصل على ص = 3. 2ص = 2+4 وص + 2 = 5 وبالتالي فإن مجموعة الحل هي {(2 ،3)}.


مثال الديوك الرومية

من الممكن أيضاً أن نجد حلول معادلة في متغيرين بقصر مجموعة الحل على الأعداد الصحيحة الموجبة. ويمكن توضيح ذلك بالمثال التالي: اشترى رجل عدداً من الديوك الرومية والبط. إذا كان وزن كل ديك رومي 5 كجم ووزن كل بطة 2 كجم، ومجموع ما اشتراه الرجل 31 كجم، فما عدد الطيور التي اشتراها من كل نوع ؟



لنفرض أن س يمثل عدد الديوك الرومية و 5 س وزنها، ولنفرض أن ص يمثل عدد البط و 2 ص وزنها. ومن ثم يمكن صياغة المسألة على صورة المعادلة 5 س + 2ص = 31. من الواضح أن كلاً من س و ص يجب أن يكون عدداً صحيحًا موجباً لأننا لانستطيع شراء جزء من طير. وبما أن 2 ص عدد زوجي فإن س يجب أن يكون عدداً فردياً. وبالتعويض عن س بقيم فردية نجد أن مجموعة حل المعادلة هي:

{(1، 13) ، (3، 8) ، (5، 3)}. أي أن الرجل يمكن أن يشتري: ديكاً رومياً واحداً و 13 بطة

أو 3 ديوك رومية و 8 بطات

أو 5 ديوك رومية و 3 بطات.

لاحظ أنه لايمكن التعويض عن س بالعدد 7 لأن قيمة ص حينئذ تكون - 2. انظر: المحدد. لمعرفة طريقة أخرى لحل المعادلات في متغيرين.



معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد. معادلة الدرجة الثانية (المعادلة التربيعية) هي معادلة يكون المتغير فيها مربعاً. فمثلاً س² - 8س = -16 معادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد، نستطيع دائماً أن نضع معادلة الدرجة الثانية على الصورة:

أ س² + ب س + جـ = صفر

وتسمى القيم أ ،ب، جـ المعاملات وهي قيم ثابتة معلومة و س متغيرًا مجهولاً، وأبسط صورة لهذه المعادلة هي المعادلة التي يكون فيها أ = 1 وب =صفر. فمثلاً إذا كان أ=1، ب=صفر وجـ =-36 فإن المعادلة تأخذ الصورة س² -36 = صفر. أي أن س² = 36 ومجموعة الحل هي ( -6، 6 ).

أما إذا كان ب لا يساوي صفرًا، فإن هناك ثلاث طرق لحل معادلة الدرجة الثانية.

الطريقة الأولى هي تحليل المعادلة بعد وضعها على الصورة

أ س²+ ب س + جـ = صفر. فمثلاً لحل س² + 8س + 15 = صفر، نحلل الطرف الأيمن لهذه المعادلة:

س² + 8س +15=(س + 3) (س + 5). ومن ثم فإن (س+3) (س+5) =صفر. لاحظ أنه إذا كان حاصل ضرب عددين يساوي صفرًا، فإنه إما أن يكون الأول صفراً أو الثاني صفرًا. وإذا كان س+5=صفر فإن س=-5 وبالمثل إذا كان س + 3 = صفر فإن س = -3. إذن مجموعة حل المعادلة س² + 8 س+15=صفر هي {-3، -5}.

الطريقة الثانية لحل المعادلة تعرف بطريقة إكمال المربع. تسمى الصيغة أ²+2أ ب+ب² بالمربع الكامل لأننا نستطيع كتابتها على الصورة ( أ + ب)².

نستطيع دائماً أن نضع أية معادلة من الدرجة الثانية مثل س² + 8 س + 15 = صفر بحيـث يكـون الطــرف الأيمن مربعاً كامـلاً. ولرؤية ذلك نعيـد كتابة المعادلـة س²+ 8 س + 15 = صفر لتصبح س² + 8س= -15. نعلم أن س² + 8 س +16 مربع كامل لأنـنا نستطيـع أن نكتبـه على الصـورة (س + 4)². إذن نضيف 16 لطرفي المعادلة س² + 8 س = -15. ولنحصل على س² + 8س + 16 = -15 + 16. بالتحليل نحصل على (س + 4)² =1. ويسمى أحد العاملين المتساويين الجذر التربيعي . انظر: الجذر التربيعي. وفي المعادلـة (س + 4)² = 1 نجــد أن س + 4 هو الجذر التربيعي للعدد 1، ولكن الجذر التربيعي للعدد 1 هو العدد 1 أو العدد - 1. إذن س + 4 = 1 أو س + 4 = - 1، أي س = - 3 أو س = - 5. وبالتالي فإن مجموعة الحل للمعادلة س² + 8 س + 15 = صفر هي {-3، -5}.

أما الطريقة الثالثة لحل المعادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد فتتمُّ باستخدام قانون في الرياضيات هو:




حيث نحصل على المعاملات أ، ب، جـ من المعادلة من الدرجة الثانية التي تكون على الصورة أ س² + ب س + جـ = صفر. و بتعويض هذه القيم في المعادلة نستطيع أن نجد قيم س. الرمز + في القانون يعني اختيار الإشارة الموجبة مرة والسالبة مرة أخرى. وهذا يعني أننا نحصل دائمًا على جذرين للمعادلة.





نبذة تاريخية

استخدم الصينيون والفرس والهنود الجبر قبل آلاف السنين، ومن المحتمل أيضا أن يكون البابليون قد عرفوا شيئًا من الجبر. وأول دليل على استخدام الجبر يعود للرياضي المصري أحمس الذي عاش نحو عام 1700 ق.م، أو قبل ذلك. وبعد ذلك بقرون طويلة ساهم الإغريق في تطور الجبر، حيث استخدم الرياضي الإغريقي ديوفانتوس الذي عاش في القرن الثالث الميلادي معادلات الدرجة الثانية ورموزاً لكميات غير معلومة. ولقد أطلق على ديوفانتوس لقب أبي الجبر.

لقد كان للعرب مساهمة كبيرة في تطور الجبر، حيث استخدموا الإشارات الموجبة والسالبة، وطوروا الكسور بصورة مقاربة جداً لما هي عليه الآن. فقد اخترع العرب الصفر في القرن التاسع الميلادي، ويعتبر ذلك من أعظـم التطورات في تاريخ الرياضيات. وبين عامي 813 و 833م جمع العالم الرياضي الخوارزمي الذي كان مدرساً للرياضيات في بغداد أعمال الرياضيين الهنود والعرب في مادة الجبر وطورها. وقد أخذت كلمة الجبر التي تعني التعويض بمفهوم حل المعادلات من عنوان كتاب الخوارزمي المشهور الجبر والمقابلة. وقدم الخوارزمي في هذا الكتاب حلولاً هندسية وجبرية لمسائل طرحها الإغريق، وقد قصد الخوارزمي بالجبر ¸نقل الحدود من أحد طرفي المعادلة إلى الطرف الآخر، وقصد بالمقابلة اختصار ما يمكن اختصاره بعد عملية الجبر ثم إيجاد نتيجة المعادلة·. وقد أطلق على المجهول س اسم الجذر وعلى س² اسم مال وعلى س§ اسم كعاب وعلى س4 مال المال. انظر: الخوارزمي، أبو جعفر؛ العلوم عند العرب والمسلمين (الرياضيات). وقد كتب عمر الخيام الشاعر والعالم الفلكي الفارسي الذي عاش في الفترة بين 1050 م و 1123 م كتاباً في الجبر. انظر: عمر الخيام.

وخلال العصور الوسطى كان التقدم في الجبر بطيئاً. وبدأ اهتمام الأوروبيين بالجبر في القرن السادس عشر الميلادي حين بدأ العلماء يقتنعون بأهميته. وقد ساهم بعد ذلك كثير من علماء الرياضيات في تطور الجبر.

ونتج عن اكتشاف الحاسوب تغيرات مهمة في دراسة واستخدامات الجبر؛ لأنّ بإمكان برامج الحاسوب القيام بمعظم خطوات حل المسائل الجبرية. فمثلا نستطيع استخدام هذه البرامج لحل المعادلات الخطية ومعادلات الدرجة الثانية بسهولة تامة. ونتيجة لذلك فمن المتوقع أن يتغبر أسلوب تدريس مادة الجبر؛ فبدلاً من تدريس المهارات الأساسية التي تساعد على حل المسألة الجبرية فمن الممكن التركيز على مفاهيم مادة الجبر.