قابلية القسمة

قابلية القسمة

تعتبر الرياضيات مجال خصب للتفكير و الإبداع الرياضي ، فبمجرد أن يمسك الفرد بالورقة و القلم و يبدأ في اللعب بالأرقام و العمليات يكتشف أشياء و معلومات لم تكن معلومة لديه فيعتبرها من اكتشافاته ، و يحاول نشرها بأي طريقة ، و قد تكون مثل هذه الاستنتاجات قد اكتشفت من قبل علماء سابقين ، و لكنها لما لم تصل إليه ، فإنه ينسب ذلك إلى نفسه .

و قد كان موضوع قابلية القسمة موضوع مؤرق لي منذ بداية تدريسي للصف السادس الابتدائي ، فأمسكت ذات مرة بالقلم أحاول أن أبحث عن علاقات سهلة بين الأرقام و العمليات و من ثم تعميمها ، و بالفعل توصلت إلى اكتشافات هامة ألخصها في التالي :
1. القسمة على 9 : إذا كان مجموع أرقام عدد ما يقبل القسمة على 9 فإن العدد يقبل القسمة على 9 ، فعلى سبيل المثال العدد 189 يقبل القسمة على 9 فناتج ذلك 21 ، و لو جمعنا أرقام العدد 189 سنجدها 18 و هو عدد يقبل القسمة على 9 ، و هكذا مع كل الأعداد .
2. القسمة على 8 : لتكوين أي عدد يقبل القسمة على 8 بسهولة ، أو لمعرفة أن عدد ما يقبل القسمة بسهولة نستخدم الجدول التالي :
و يمكن باستخدام هذا الجدول تكوين أي عدد يقبل القسمة على 8 ، من خلال موافقة الجدول ، فالعدد 296 يقبل القسمة على 8 لأنه عندما آحاده 6 و مئاته عدد زوجي نجد أن عشراته أحد الأعداد المذكورة و هو 9 ، و بالفعل لو قسمنا 296/8 سنحصل على 37 ، بينما لو اخترنا في المقابل 442 فسوف لن يقبل القسمة على 8 لأن عشراته يجب أن تكون إما 3 أو 7 فقط حسب الجدول ، و حتى لو جئنا نقسم سوف نحصل على باقي .
و نلاحظ هنا أننا نهتم بالآحاد و العشرات و المئات فقط ، أما خانة الألوف و ما بعدها فلا ننظر لها ، فمتى ما كان العدد المكون من الآحاد و العشرات و المئات يقبل القسمة على 8 كان كامل العدد يقبل القسمة على 8 و إلا فلا .
و قد يقول البعض لنا أن الجدول معقد إلى حد ما و بالتالي فهو ليس عمليا ، و نقول أن السهل لا يأتي إلا بعد الصعب .
3. القسمة على 4 : كل عدد زوجي عشراته زوجية عندما آحاده : 0 ، 4 ، 8 ، أو فردية عندما آحاده : 2 ، 6 يقبل القسمة على 4 . و لو جربنا ذلك قليلا و أخذنا العدد 182 فسوف نجد أنه لا يقبل القسمة على 4 وفق القاعدة المذكورة لأن العشرات يجب أن تكون فردية إذا كان الآحاد 2 أو 6 ، بينما نجد العدد 764 يقبل القسمة على 4 لأنه يحقق القاعدة ، و نلاحظ هنا أننا لا نهتم بالمئات و ما بعدها على الإطلاق فمتى ما كان العدد المكون من الآحاد و العشرات يقبل القسمة على 4 كان كامل العدد يقبل القسمة على 4 .

4. القسمة على 6 :كل عدد زوجي مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3 فإنه يقبل القسمة على 6 ، و يلاحظ هنا أنه يشترط شرطين في العدد حتى يقبل القسمة على 6 و هو أن العدد يجب أن يكون زوجيا ثم أن مجموع أرقامه يجب أن يقبل القسمة ، و لو أتينا لنجرب و أخذنا العدد 234 على سبيل المثال فسوف نجده يقبل القسمة على 6 لأنه يحقق الشرطين بينما العدد 836 لا يقبل لأن مجموع أرقامه لا يقبل القسمة على 3 ، و كذلك العدد 345 لا يقبل لأنه ليس زوجيا ، و قد يقول الفرد أنه يلزمنا أن نعرف أن مجموع أرقام العدد يقبل القسمة على 3 أم لا ، و نقول ذلك أمر سهل حيث أن مجموع أرقام أي عدد غالبا ما يكون عددا سهلا يخضع لجدول الضرب و بالتالي من السهل معرفة قابلية قسمته على 3 ، ثم أنه يمكن الرجوع إلى قابلية القسمة على 3 للتأكد من ذلك .
5. القسمة على 3 : كل عدد مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3 فإنه يقبل القسمة على 3 .
6. القسمة على 5 ،2: أما قابلية القسمة على 5 و 2 فهو أمر سهل فالأول كل عدد آحاده 0 أو 5 فإنه يقبل القسمة على 5 ، و الثاني كل عدد زوجي يقبل القسمة على 2 .
7. القسمة على 7 لنكتب أمثال الـ 7 الأولى التي تنتهي بالأعداد من 1إلى 9 هي (21 ، 42 ، 63 ، 84 ، 105 ، 126 ، 147 ، 168 ، 189 )
نلاحظ في كل عدد من هذه الأعداد أن رقم الآحاد يساوي نصف العدد الناتج عن العدد المذكور بعد حذف هذا الرقم وينتج عن ذلك أننا لو حذفنا من عدد ما آحاده وطرحنا من العدد الناتج ضعفي الرقم المحذوف لكان باقي القسمة العدد المفروض على 7 مساويا باقي قسمة العدد الناتج عن أجراء العملية السالفة الذكر على العدد 7 .
ونقول : لمعرفة قابلية قسمة عدد ما على 7 نحذف رقم آحاد هذا العدد ونطرح ضعفي هذا الرقم من العدد الباقي ، نكرر هذه العملية عددا من المرات حتى نصل إلى عدد له علاقة بالعدد 7 بالبداهة فإذا كان هذا الأخير من أضعاف الـ 7 قلنا أن العدد يقسم على 7 وإلا فإن هذا التقسيم باقي .
مثال : العدد 2401 نحذف الآحاد وهو 1 ونطرح الباقي وهو 240 من ضعف الآحاد 2 يبقى 238 نكرر العملية للعدد 238 نحذف الآحاد وهو 8 ونطرح الباقي23 من ضعف الآحاد 16 يبقى 7 الـ 7 تقسم على 7 إذا العدد 2401 يقسم على 7 .

8. القسمة على 11 من الملاحظ أن :

10=11-1 و100 = 99 + 1 و1000 = 1001 – 1 أي أن كل قوة للعشرة تساوي أضعاف الـ 11 ناقصا واحدا إذا كان أسها فرديا أما إذا كان أسها زوجيا فتساوي أضعاف الـ 11 زائد واحد ، فينتج عما سبق أن باقي قسمة عدد ما على 11 يساوي باقي قسمة التفاضل ( الفرق ) بين مجموعتي مراتبه ذات الترتيب الزوجي ومراتبه ذات الترتيب الفردي على 11، ونقول : الشرط اللازم والكافي ليقبل عدد القسمة على العدد 11 هو أن يكون التفاضل بين مجموع مراتبه ذات الترتيب الفردي ومجموع مراتبه ذات الترتيب الزوجي مساويا للصفر أو من أمثال ( مضاعفات ) الـ11 .

مثال : أن العدد 33462258 يقبل القسمة على 11 لأن مجموع مراتبه ذات الترتيب الفردي 5 + 3 + 3 = 11 ، مجموع مراتبه ذات الترتيب الزوجي 8 + 2 + 6 + 4 + 2 = 22 والتفاضل بين المجموعتين 22 - 11 = 11 .