استخدام نظام الأعداد

استخدام نظام الأعداد

لنفترض أنه طُلب منا حل مسألة الجمع: 4+ 4 + 4 + 4= ؟. لو استخدمنا النظام ذا الأساس 10، لكان الجواب 16، كما يتضح من المجموعات التالية من النقاط.

+ + + =

4 + 4 + 4 + 4 = 16

آحاد آحاد آحاد آحاد مجموعة واحدة من 10 زائد 6 آحاد

وبالمقابل فإن استخدام الأساس 16 يعطي 4 + 4 + 4 + 4 =(10)16

+ + + =

4 4 4 4 (10) 16

آحاد آحاد آحاد آحاد مجموعة واحدة من 16

تختلف الأعداد في كل من الإجابتين، ولكن عدد النقاط لا يتغير. وتتكون الأعداد طبقاً لمبدئي التجميع وقيم الخانات، وكذلك الحال مع الطرح والضرب والقسمة، والتي يمكن دراستها عن طريق حل مسائل باستخدام أنظمة أعداد متعددة للترقيم، وبالتالي اكتساب فهم أعمق لاستخدامات الأعداد في الحساب.

الحساب العشري. يطلق مسمى الحقائق الحسابية على جمل مثل 4 + 5 = 9 ، 9 - 4 = 5، 9×5 = 45، 45÷9 = 5. وتستخدم كثير من هذه الحقائق في الجمع والطرح والضرب والقسمة.

الجمع العشري هو طريقة لضم مجموعتين أو أكثر من مجموعة واحدة فقط. ونستخدم مبدأ قيمة الخانة لجمع الآحاد مع الآحاد، والعشرات، وهكذا، كما يتضح من المثال التالي:


24
+ 12
36 4 آحاد + 2 عشرات
2 آحاد + 1 عشرات
6 آحاد + 3 عشرات

في هذا المثال استخدمنا حقيقة الجمع 4+2= 6 وحقيقة 2+1= 3 (يعني 2 من العشرات + 1عشرة = 3عشرات أو 30)؛ إذاً فالمجموع هو 3 عشرات زائداً 6 آحاد يعني 36. وفي بعض المسائل، يكون المجموع في خانة أو أكثر مساوياً لعشرة أو أكثر، وعندئذ يجب إعادة توزيع المجموعة، فلا نضع في حاصل الجمع، في خانة الآحاد، إلا ما يقل عن العشرة، ونأخذ الزائد كل عشرة بواحد، يضاف إلى خانة العشرات. وهذا ما يسمى في الجمع بعملية الحمل.

وتبين المسألة التالية كيفية إعداد التجميع في الجمع العشري.


1


48
+ 25
73 8 آحاد + 4 عشرات
5 آحاد + 2 عشرات
13 آحاد + 6 عشرات
أو بعد إعادة التجميع
3 آحاد + 7 عشرات

في هذه المسألة تجمع الآحاد إلى 13، ونستخلص منها عشرة واحدة زائد 3 آحاد. ومن ثم نكتب 3 في خانة الآحاد و 1 ذا حجم صغير في خانة العشرات فوق ال4، ثم نجمع العشرات: 1+4+2= 7عشرات أو 70. ويكون المجموع هو 70+3 أو 73.

الطرح العشري. هو طريقة معاكسة للجمع، وتتبع مبادئ الجمع العشري نفسها.


65
_ 23
42 5 آحاد + 6 عشرات
3 آحاد + 2 عشرات
2 آحاد + 4 عشرات

في هذا المثال استخدمنا الحقيقة 5-3= 2، والحقيقة 6-2= 4 (تعني 6 عشرات - 2عشرات= 4 عشرات). ولطرح عدد كبير من عدد أصغر في أية خانة، يجب أن نعيد التجميع ويطلق أحياناً على إعادة التجميع في الطرح مسمى الاستلاف. بمعنى أن نأخذ واحد من خانة العشرات، ونضيفه بقيمة عشرة إلى العدد في خانة الآحاد. ويوضح المثال التالي كيفية إعادة التجميع في الطرح العشري.


13 67
- 25
48 13 آحاد + 6 عشرات
5 آحاد + 2 عشرات
8 آحاد + 4 عشرات

في خانة الآحاد يجب طرح 5 من 3، وهو الأصغر، لذا نأخذ واحداً من الـ 7، وقيمته عشرة، فيكون العدد كأنه 6عشرات زائداً 13 من الآحاد ونوضح ذلك بكتابة 1 ذي حجم صغير مقابل الـ 3. وشطب الـ 7 وكتابة 6 ذات حجم صغير أعلاها. استخدم الطرح 13 - 5= 8 لتطرح الآحاد، و 6 - 2= 4 لطرح العشرات.

الضرب العشري هو طريقة لضم المجموعات المتساوية إلى بعضها البعض. وتعني حقيقة الضرب 4 × 6= 24 أن 4 مجموعات ذات ستة أشياء تضم ما مجموعه 24 شيئاً. وإليك طريقة استخدام قيمة الخانة لضرب 23 في 3:


23
× 3
69 3 آحاد + 2عشرات
3 آحاد
9 آحاد + 6عشرات

ابتداءاً احسب: 3×3 آحاد= 9 آحاد،

و 3×2 عشرات= 6عشرات، أو 60

ثم اجمع 60+9= 69.

في الضرب نعيد التجميع عندما يكون حاصل الضرب في أية خانة مساوياً 10 أو أكثر.


49
× 2
98 9 آحاد + 4عشرات
2 آحاد
18 آحاد + 8عشرات
أو بعد إعادة التجميع
8 آحاد + 9عشرات

في هذه المسألة، حاصل ضرب 2×9 هو 18، والذي يمكن إعادة تجميعه إلى 1عشرة واحدة زائداً 8 آحاد، ولذا نكتب 8 في خانة الآحاد ونكتب 1 ذا حجم صغير في خانة العشرات فوق الـ 4، ثم نضرب 2×4= 8 في خانة العشرات ثم نضيف الـ 1 لنحصل على 9.

وعندما يكون للمضروب فيه أكثر من رقم واحد، نكرر العملية لكل رقم ثم نضيف حاصل الضرب:


24
× 12
48
+ 24
288 4 آحاد + 2عشرات
2 آحاد + 1عشرات
8 آحاد + 4عشرات
4 عشرات + 2مئات
8 آحاد + 8عشرات + 2مئات

اضرب أولاً 24 في 2 تكون 8 في خانة الآحاد، 4 في خانة العشرات، ثم اضرب 24 في 1 عشرة واكتب 4 في خانة العشرات، 2 في خانة المئات. ثم أضف النواتج لتحصل على 288.

القسمة العشرية. هي طريقة معاكسة للضرب. وتعمل على تجزئة مجموعة واحدة إلى عدة مجموعات من الحجم نفسه. وفيما يلي طريقة قسمة 69 على 3:

23 3آحاد + 2عشرات
693 9 آحاد + 6عشرات3آحاد

6 6عشرات
09 9 آحاد

9 9 آحاد

احسب أولاً: "6عشرات ÷ 3= 2عشرات". اكتب في خانة العشرات فوق الـ 6. ثم احسب: 9آحاد ÷ 3= 3آحاد. اكتب 3 في خانة الآحاد فوق الـ 9. إذا 69 ÷ 3= 2عشرات + 3آحاد أو 23.

وكذلك يجعل مبدأ قيمة الخانة من قسمة الأعداد الكبيرة أمراً سهلاً.

82
1642

16
004
4

احسب أولاً: "16عشرة ÷ 2= 8 عشرات". اكتب 8 في خانة العشرات فوق الـ 6. ثم احسب 4آحاد ÷ 2= 2آحاد. اكتب في خانة الآحاد فوق الـ 4. إذا 164 ÷ 2= 8عشرات + 2آحاد أو 82.

الحساب الثنائي. له عدد محدود من الحقائق لأنه يستخدم رقمين فقط هما 0 و1.

الجمع الثنائي يعتمد على الحقائق التالية فقط:

0+0= 0، 0+1= 1، 1+0= 1، 1+1= 10

وفيما يلي طريقة استخدام هذه الحقائق لجمع 11+11:
الجمع الثنائي المعنى الجمع العشري
11
+ 11
110 1آحاد + 1 اثنين
1آحاد + 1 اثنين
10آحاد + 10اثنين
أو بعد إعادة التجميع
0آحاد +1اثنين + 1أربعات 3
+ 3
6

أولاً نستخدم الجمع 1+1= 10 (يعني 1 اثنين) لجميع الآحاد. أعد تجميع 10 اثنين إلى 1 اثنين. اكتب. في خانة الآحاد 1 ذا حجم صغير فوق عمود الاثنينات: ثم اجمع الاثنينات: 1+1= 10؛ 10+1= 11. اكتب 1في خانة الاثنينات، 1في خانة الأربعات. وبالتالي: 11اثنين+11اثنين= 110اثنين.

الطرح الثنائي. وأساسه أربع حقائق.

0-0= 0، 1-0= 1، 1-1= 0، 10-1= 1

وباستخدام هذه الحقائق اطرح 11 من 110
الطرح الثنائي المعنى الطرح العشري
110
- 11
11 10آحاد + 10اثنينات + 0أربعات
1آحاد + 1 اثنين
1آحاد + 1اثنين 6
- 3
3

في خانة الآحاد علينا طرح 1 من 0 لذا نعيد تجميع 1 أربعة زائد 10أحاد، ثم نستخدم 10-1=1 لطرح الآحاد. ولطرح الاثنينات، علينا مرة أخرى طرح 1 من 0 لأن إعادة التجميع السابق ترك في خانة الاثنينات. أعد تجميع 1أربعة زائد 10 اثنينات واستخدم 10-1= 1.

الضرب الثنائي يستخدم الحقائق التالية:

0×0= 0، 0×1= 0، 1×0= 0، 1×1= 1

حاصل ضرب أي رقمين يساوي دائماً 0 أو 1، لكن علينا إعادة التجميع عندما نضيف نتائج الضرب لإكمال أي مسألة ضرب. وكمثال إليك طريقة ضرب 11×11:
الضرب الثنائي المعنى الضرب العشري
11
×11
11

11
1001
1آحاد + 1لثنين
1آحاد + 1اثنين
1آحاد + 1اثنين

1اثنين + 1أربعات
1آحاد + 10اثنينات + 1أربعة
أو بعد إعادة التجميع
1آحاد + 0اثنينات + 0أربعات + 1ثمانية
3
× 3
9

اضرب واكتب حاصل الضرب كما تفعل في النظام العشري، مستخدماً حقائق الضرب الثنائي عند إضافة نتائج الضرب الجزئية. لنزل ال 1 في خانة الآحاد. أضف الاثنينات: 1+1= 10. أعد تجميع 10اثنينات إلى 1أربعة. اكتب في خانة الاثنينات وأضف 1 إلى 1 في خانة الأربعات: 1+1= 10. اكتب في خانة الأربعات و1 في خانة الثمانينات لتحصل على 1001.