*تحليل رياضي

*تحليل رياضي

يطلق اسم التحليل الرياضي على فرع الرياضيات الذي يهتم بدراسة الدوال الرياضية و تحولاتها باستخدام أدوات ترتبط بمفاهيم النهاية , حيث تدرس خواص مثل الاستمرار و الاشتقاق و التكامل و التفاضل , التقعر و الإنعطاف في منحنيات التوابع و الدوال, وغالباً ما تدرس هذه المفاهيم على أعداد حقيقية أو أعداد مركبة والدوال المعرفة عليها ومن الممكن أن تدرس أيضاً على فضاءات أخرى كالفضاء المتري أو الطبولوجي.



التاريخ

أول من عرف باستخدام مفاهيم النهايات limits و التقارب convergence كان عدد من رياضيي اليونان أمثال اودوكسوس و أرخميدس الذين قاما باستخدام هذه المفاهيم بشكل غير تقليدي عندما استخدما طريقة method of exhaustion لحساب مساحة و حجم المساحات و الأجسام . في القرن الثاني عشر قام الرياضي الهندي باسكارا بإعطاء عما يمكن أن ندعوه الان "معامل تفاضلي" differential coefficient و كانت الفكرة الأساسية وراء ما ندعوه حاليا مبرهنة رول. في القرن الرابع عشر قام الرياضياتي الهندي مادهافا من سانغاماغراما بالتعبير عن عدة دوال مثلثية كسلاسل غير متناهية , قدر مقدار الخطأ في التقديرات التي تعطيها هذه السلاسل .

في اوروبا ,نشأ التحليل في القرن السابع عشر, عن طريق اختراع مستقل لكلا العالمين اسحاق نيوتن و غوتفريد لايبنتز . في القرن السابع عشر و الثامن عشر, تطورت تطبيقات مواضيع التحليل مثل حسبان التغيرات و المعادلات التفاضلية النظامية و الجزئية, سلاسل فورييه و الدوال المولدة generating function في الأعمال التطبيقية .كما استخدم التحليل الرياضي لمقاربة مسائل الرياضيات المتقطعة بمثيلاتها المستمرة و نجحت هذه الطريقة في عدة حالات .

خلال القرن الثامن عشر كان تعريف الدالة الرياضي موضع نقاش طيل بين الرياضياتيين . في القرن التاسع عشر , كاوشي كان أول من وضع التحليل على أساس منطقي ثابت بإدخال مفهوم سلسلة كاوشي . كما إنه بدأ بوضع النظرية الشكلية للتحليل المركب (العقدي). سيمون بواسون و ليوفيل Liouville و جان-بابتيست جوزيف فورييه و آخرون قاموا بدراسة المعادلات التفاضلية الجزئية و التحليل التوافقي harmonic analysis.

في متصف القرن , قدم بيرنارد ريمان نظريته حول التكامل . جاء بعده كارل فايرشتراس الذي قام بحسبنة arithmetization التحليل في نهاية القرن التاسع عشر , معبرا عن شكوكه ان البرهنة الهندسية تحوي خللا مضللا و هنا قام بتقديم تعريف ε-δ للنهاية .

بدأ عندها شك الرياضيون بأنهم يفترضون وجود استمرارية continuum في الأعداد الحقيقية بدون برهان . قام عندها ديديكايند بتشكيل الأعداد الحقيقية باستخدام حد ديديكايند Dedekind cut . في ذات الوقت تتالت المحاولات لتحسن مبرهنة تكامل ريمان مما أدى لدراسة "حجم" مجموعة تقطعات discontinuity الدوال الحقيقية .

ضمن هذا السياق , قام كاميل جوردان بتطوير نظريته حول القياس , في حين طور كانتور ما يمكن تسميته حاليا بنظرية المجموعات المبسطة , باير قام بالبرهنة عن مبرهنة تصنيف باير . في أوائل القرن العشرين , تمت صياغة التحليل الرياضي باستخدام نظرية المجموعات البدهياتية axiomatic set theory. قام هنري ليون ليبيسيغ Henri Leon Lebesgue بحل مشكلة القياس , في حين قام هلبرت بتقديم فضاء هلبرت لحل المعادلات التكاملية . كانت فكرة الفضاء الشعاعي المنظم normed vector space تلوح في الأفق , في عام 1920 قام ستيفان باناخ بإيجاد التحليل الدالي functional analysis .