2010/07/09

* البوزجاني (328-376هـ / 940 -986م)

* البوزجاني (328-376هـ / 940 -986م)


أبو الوفاء محمد بن محمد بن يحيى بن إسماعيل بن العباس البوزجاني. عالم رياضي وفلكي اشتهر في القرن الرابع الهجري / العاشر الميلادي. ولد في بوزجان وهي قرية واقعة بين هراة ونيسابور.
درس البوزجاني على عمه أبي عمرو المغازلي وخاله أبي عبد الله بن عنبة العدد والحساب، وقرأ الهندسة على أبي يحيى الماوردي وأبي العلاء ابن كرتيب. ولما بلغ العشرين من عمره سكن بغداد ، حيث وضع أكثر مؤلفاته، وبها ذاع صيته.
وفي بغداد استطاع البوزجاني أن يكون لنفسه مكانة مرموقة، فكانت له علاقة طيبة بالحكام البويهيين. وعندما أسس شرف الدولة البويهي مرصد بغداد كان البوزجاني ضمن فريق المرصد تحت رئاسة أبي سهل الكوهي .
وأثناء عمله في المرصد استطاع أن يكتشف الخلل الواقع في حساب ومعادلات تقويم مواقع القمر ، فأتى بمعادلة جديدة تعرف بمعادلة السرعة. وابتكر آلة ربعية جدارية تستخدم في أعمال الرصد.
وتتمثل أبرز إسهامات البوزجاني في تطوير حساب المثلثات خاصة ما يعتمد على استعمال الفرجار. وله فيها ابتكارات عديدة سجلت باسمه، فهو أول من وضع النسب المثلثية، أي ما يعرف بظل الزاوية ( ظا )، وظل التمام (ظتا) وهو أول من أشار إلى عمومية نظرية الجيب بالنسبة إلى المثلثات الكروية. كما ابتكر أسلوبا لإنشاء جداول الجيوب. وكانت جداوله لجيب زاوية 30 درجة صحيحة إلى ثمانية أرقام عشرية. كما يعود إليه السبق أنه أول من أدخل حسابات القاطع (قا) والقاطع تمام (قتا)، وجداول المماس.
وفي مجال الهندسة وضع البوزجاني المربعات المتكافئة، والأشكال الهندسية المتعامدة بما في ذلك العشاري الأضلاع بناء على الصلة الرياضية بين ضلع من الشكل الأخير وضلع من مثلث متساوي الساقين حيث يكون الشكلان واقعين ضمن دائرة. ورسم القطع المكافئ بالنقاط، وزاد على بحوث الخوارزمي وأوجد علاقة بين الجبر والهندسة، فتوصل إلى حلول هندسية لمعادلات الدرجة الرابعة.
وفي مجال الحساب وضع البوزجاني مؤلفات ورسائل تضم كل ما يهم التجار والعامة وغيرهم من غير العلماء، فبسط بذلك علم الحساب إلى مرتبة العامة، وحقق مصالحهم. وقد أمضى الب وزجاني حياته في التدريس والرصد والتأليف وهو يعمل في مرصد شرف الدولة حتى وافته المنية عن عمر يناهز خمسين عاما.
ترك البوزجاني مؤلفات عديدة معظمها في علم الفلك الكروي والحساب. منها كتاب المجسطي وهو أشهر مؤلفاته، وكتاب معرفة الدائرة من الفلك ، وكتاب الزيج الشامل ، وكتاب الكامل ، وكتاب حساب المثلث الكروي . وفي علم الحساب له كتاب ما يحتاج إليه العمال والكتاب في صناعة الحساب .

2010/07/02

*نظرية العدد

*نظرية العدد


تعتمد نظرية العدد كما أوضحها العلماء المسلمون على فكرة الوحدانية أو التوحيد بالله عز وجل. ومن ذلك قولهم في الأعداد أن لها خواص فما من عدد إلا وله خاصية أو عدة خواص. ومعنى الخاصية أنها الصفة الخاصة بالموصوف الذي لا يشاركه فيها غيره.
وأهم ما يذكر في مجال خواص الأعداد هو إفرادهم العدد (1) بخاصية الانفراد والشمولية فهو أصل العدد ومنشؤه وبه يبدأ العد فهو يعد العدد كله الزوجي والفردي معا. ومن خواص العدد (2) أيضا أنه أول العدد مطلقا وبه يبدأ العد للأرقام الزوجية دون الفردية. ومن خواص العدد (3) أنه أول عدد فردي وهو يعد ثلث الأعداد تارة والأزواج تارة أخرى. ومن خواص العدد (4) أنه أول عدد مجذور (له جذر) وجذره اثنين عدد صحيح.
ومن العلماء المسلمين الذين نادوا بخاصية الوحدانية للعدد (1) كان الكندي فهو يرى أن العدد (2) يمثل وحدة، لأنه مركب من 1+1 غير أن الواحد هنا ركن العدد(2) وليس عددا. والركنية عند الكندي هو ما يركب الشيء منه، كالحروف بالنسبة للكلام، أو الطوب بالنسبة للبيت. فالعدد 5 عبارة عن 3+2 ، فالثلاثة ركن الخمسة أي أن الخمسة مركبة من ركنين هما: ثلاثة واثنان. والثلاثة عدد، وكذلك الاثنان.
بمعنى آخر: الأعداد مركبة من أعداد، أي أنها تتكون من الوحدانيات. وهذا يصح بالنسبة لجميع الأعداد إلا العدد (1) الذي هو ركن في أي عدد وليس عددا وسبب ذلك أن جميع الأعداد مركبة، فيما عدا الواحد فإنه بسيط. ويشير الكندي إلى ذلك فيقول: "وقد يظن أن الواحد ركن الاثنين... وهذا الظن غير صادق، لأن الاثنين مركب والواحد وإن كان ركن الاثنين فليس له ركن فهو ليس مركب".
ويحاول الكندي نفي صفة العددية عن الواحد فيقول:- "لأنا إذا قلنا إن الواحد عدد نظن أنه تلحقنا من ذلك شناعة قبيحة جدا، لأنه إن كان الواحد عددا، فهو كمية ما. وإن كان الواحد كمية، فخاصة الكمية تلحقه وتلزمه، أعني أنه مساو ولا مساو له". ثم يستطرد "فإن كان الواحد أوحاد بعضها مساوية له، أو بعضها لا مساوية له، فالواحد منقسم، لأن الواحد الأصغر يعد الواحد الأكبر أو يعد بعضه، فالواحد الأكبر بعض، فهو منقسم".
أما إخوان الصفا فهم يعرِّفون الواحد بأنه هو "كل ما لا ينقسم، وإن شئت قلت: ال واحد ما ليس فيه غيره، بما هو واحد... والواحد بالوحدة كما أن الأسود بالسواد، والوحدة صفة للواحد، كما أن السواد صفة للأسود".
والكثرة عند إخوان الصفا هي جملة الآحاد وأول الكثرة الاثنان، ثم الثلاثة ثم الأربعة ثم الخمسة، والكثرة إما عدد وإما معدود، والفرق بينهما أن العدد إنما هو كمية صور الأشياء في نفس العد، وأما المعدودات فهي الأشياء نفسها، وأما الحساب فهو جمع العدد وتفريقه. والجمع هو إضافة الواحد إلى واحد آخر بالتزايد حتى تصل إلى متسلسلة الأعداد المعروفة، والطرح هو خصم واحد من سلسلة الأعداد حتى نصل إلى الواحد الذي لا جزء له ألبتة.
أما الكسور فإنها تنشأ أيضا من الواحد بنسبته إلى الاثنين مثلا فيقال له عند ذلك نصف، وإذا أشير إليه من جملة الثلاثة فيقال له الثلث وهكذا. ومراتب العدد الكسور عند إخوان الصفا كثيرة "لأنه ما من عدد صحيح إلا وله جزء أو جزءان أو عدة أجزاء كالاثني عشر فإن له نصفا وثلثا وربعا وسدسا ونصف سدس... إلا أن العدد وإن كثرت مراتبه وأجزاؤه فهي مرتبة تحت بعض، ويشملها كلها عشرة ألفاظ لفظة منها عامة مبهمة، وتسعة مخصوصة مفهومة، ومن التسعة الألفاظ لفظة موضوعة، وهي النصف، وثمانية مشتقة وهي الثلث من الثلاثة والربع من الأربعة... والعشر من العشرة، وأما اللفظة العامة المبهمة فهي الجزء لأن الواحد من أحد عشر يقال له جزء من أحد عشر وكذلك من ثلاثة عشر..."
ويذهب إخوان الصفا إلى القول بأن الواحد من الأعداد هو أصل كل الأعداد، وعنه تصدر بالتكرار فيقولون: "واعلم أن الباري -جل ثناؤه- أول شيء اخترعه وأبدعه من نور وحدانيته جوهرا بسيطا يقال له العقل الفعال، كما أنشأ الاثنين من الواحد بالتكرار. ثم أنشأ النفس الكلية من نور العقل، كما أنشأ الثلاثة بزيادة الواحد على الاثنين. ثم أنشأ الهيولى الأولى من حركة النفس، كما أنشأ الأربعة بزيادة الواحد على الثلاثة ثم أنشأ سائر الخلائق من الهيولى ورتبها بتوسط العقل والنفس، كما أنشأ سائر العدد من الأربعة، بإضافة ما قبلها إليها كما مثلنا من قبل".
ونسبة الباري -جل ثناؤه- من الموجودات كنسبة الواحد من العدد عند إخوان الصفا، ذلك "فكما أن الواحد أصل العدد ومنشأه وأوله وآخره، كذلك الله عز وجل، هو علة الأشياء وخالقها وأولها وآخرها، وكما أن الواحد لا جزء له ولا مثل له في العدد، فكذلك الله، جل ثناؤه، لا مثل له في خلقه، ولا شبه، وكما أن الواحد محيط بالعدد كله وبعده، كذلك الله جل جلاله، عالم بالأشياء وماهيتها..."

القسمة على العوامل

*تعتبر عملية القسمة أكثر العمليات الحسابية صعوبة، وكانت دائما من أكثر العمليات الحسابية التي يتم التدريب عليها لمن يعملون في التجارة والحساب بصفة عامة. وكان علماء الرياضيات المسلمون يرون أن الشخص إذا استطاع أن يكون ماهرا في إجراء عملية القسمة فإن كل شيء آخر في العمليات الحسابية يكون متضمنا فيها من جمع وطرح وضرب .
و قد ابتكر العالم الرياضي القلصادي في عمليات القسمة طريقة القسمة على العوامل. وهي طريقة تعتمد على قسمة العدد المقسوم على عوامل المقسوم عليه.
و يظهر ذلك في قسمة: 216 ÷ 24
وتسير عملية القسمة بطريقة القسمة على العوامل بالخطوات التالية:
24 = 8 × 3
216 ÷ 8 = 27
27 ÷ 3 = 9
لذلك: 216 ÷ 24 = 9 .

الطرح بالاستلاف

*طريقة الطرح بالاستلاف - عند الضرورة لذلك - طريقة ميسرة ابتكرها العالم الرياضي النسوي لإجراء عملية الطرح بيسر وبسرعة. فلإجراء عملية طرح :
422 - 287 =
تسير خطوات عملية الطرح بالاستلاف كالتالي:
422
287
----
135
و تفسيرها هو: الخانة الأولى: 2-7 لا يصح . ولذلك نستلف 1 من خانة العشرات، ويساوى عشرة و نطرح 10 -7 =3 ، ثم نجمع 3 + 2 بأعلى العمود الأول = 5 ، و توضع في الناتج. و الخانة الثانية 2 بأعلى العمود أصبحت 1 لأننا استلفنا منها واحد . وإذن: 1-8 لا يصح . فنستلف 1 من خانة المئات ، و يساوى 100 ، و 10 -8 = 2 ،ثم نجمع 2+1 بأعلى العمود الثاني = 3 ، وتوضح في الناتج. الخانة الثالثة 4 تصبح 3 لأننا استلفنا منها 1 ، و إذن 3-2 = 1 و توضع في الناتج .
وهذه الطريقة العربية في عملية الطرح لا تزال مستخدمة إلى اليوم في مدارس العالم مع تعديل طفيف. وهناك طريقتان عربيتان أخريان للطرح بالاستلاف، وبالإضافة إلى العدد المطروح منه . وللطرح من اليسار إلى اليمين بدلا من اليمين إلى اليسار . ولم تنل أي من هاتين الطريقتين العربيتين شهرة مدرسية في التعليم بالعالم الحديث .