*تحليل رياضي

*تحليل رياضي

يطلق اسم التحليل الرياضي على فرع الرياضيات الذي يهتم بدراسة الدوال الرياضية و تحولاتها باستخدام أدوات ترتبط بمفاهيم النهاية , حيث تدرس خواص مثل الاستمرار و الاشتقاق و التكامل و التفاضل , التقعر و الإنعطاف في منحنيات التوابع و الدوال, وغالباً ما تدرس هذه المفاهيم على أعداد حقيقية أو أعداد مركبة والدوال المعرفة عليها ومن الممكن أن تدرس أيضاً على فضاءات أخرى كالفضاء المتري أو الطبولوجي.



التاريخ

أول من عرف باستخدام مفاهيم النهايات limits و التقارب convergence كان عدد من رياضيي اليونان أمثال اودوكسوس و أرخميدس الذين قاما باستخدام هذه المفاهيم بشكل غير تقليدي عندما استخدما طريقة method of exhaustion لحساب مساحة و حجم المساحات و الأجسام . في القرن الثاني عشر قام الرياضي الهندي باسكارا بإعطاء عما يمكن أن ندعوه الان "معامل تفاضلي" differential coefficient و كانت الفكرة الأساسية وراء ما ندعوه حاليا مبرهنة رول. في القرن الرابع عشر قام الرياضياتي الهندي مادهافا من سانغاماغراما بالتعبير عن عدة دوال مثلثية كسلاسل غير متناهية , قدر مقدار الخطأ في التقديرات التي تعطيها هذه السلاسل .

في اوروبا ,نشأ التحليل في القرن السابع عشر, عن طريق اختراع مستقل لكلا العالمين اسحاق نيوتن و غوتفريد لايبنتز . في القرن السابع عشر و الثامن عشر, تطورت تطبيقات مواضيع التحليل مثل حسبان التغيرات و المعادلات التفاضلية النظامية و الجزئية, سلاسل فورييه و الدوال المولدة generating function في الأعمال التطبيقية .كما استخدم التحليل الرياضي لمقاربة مسائل الرياضيات المتقطعة بمثيلاتها المستمرة و نجحت هذه الطريقة في عدة حالات .

خلال القرن الثامن عشر كان تعريف الدالة الرياضي موضع نقاش طيل بين الرياضياتيين . في القرن التاسع عشر , كاوشي كان أول من وضع التحليل على أساس منطقي ثابت بإدخال مفهوم سلسلة كاوشي . كما إنه بدأ بوضع النظرية الشكلية للتحليل المركب (العقدي). سيمون بواسون و ليوفيل Liouville و جان-بابتيست جوزيف فورييه و آخرون قاموا بدراسة المعادلات التفاضلية الجزئية و التحليل التوافقي harmonic analysis.

في متصف القرن , قدم بيرنارد ريمان نظريته حول التكامل . جاء بعده كارل فايرشتراس الذي قام بحسبنة arithmetization التحليل في نهاية القرن التاسع عشر , معبرا عن شكوكه ان البرهنة الهندسية تحوي خللا مضللا و هنا قام بتقديم تعريف ε-δ للنهاية .

بدأ عندها شك الرياضيون بأنهم يفترضون وجود استمرارية continuum في الأعداد الحقيقية بدون برهان . قام عندها ديديكايند بتشكيل الأعداد الحقيقية باستخدام حد ديديكايند Dedekind cut . في ذات الوقت تتالت المحاولات لتحسن مبرهنة تكامل ريمان مما أدى لدراسة "حجم" مجموعة تقطعات discontinuity الدوال الحقيقية .

ضمن هذا السياق , قام كاميل جوردان بتطوير نظريته حول القياس , في حين طور كانتور ما يمكن تسميته حاليا بنظرية المجموعات المبسطة , باير قام بالبرهنة عن مبرهنة تصنيف باير . في أوائل القرن العشرين , تمت صياغة التحليل الرياضي باستخدام نظرية المجموعات البدهياتية axiomatic set theory. قام هنري ليون ليبيسيغ Henri Leon Lebesgue بحل مشكلة القياس , في حين قام هلبرت بتقديم فضاء هلبرت لحل المعادلات التكاملية . كانت فكرة الفضاء الشعاعي المنظم normed vector space تلوح في الأفق , في عام 1920 قام ستيفان باناخ بإيجاد التحليل الدالي functional analysis .

المجموعة Set

*
التعريف

المجموعة Set في الرياضيات هي من اهم اسس و مواضيع الرياضيات التجريدية . اذا أردنا تعريف مبدئي يمكن القول أن كل وحدة تضم أشياء أو عناصر من العالم المادي أو غير المادي، الواقعي أو الخيالي تسمى مجموعة.

يمكن للزمرة ان تكون خالية و لكن لا يمكن لها ان تحتوي على نفس العنصر اكثر من مرة.
وصف المجموعة

يمكن لنا أن نصف المجموعة عن طريق كتابة عناصرها إذا كان عددهم قليلا نسبيا. مثلا:

* مجموعة رؤساء الجزائر بين 1962 و1991:


{بن بلا، بومدين، بن جديد}

وكذلك تساوي

{بن جديد، بن بلا، بومدين}

لأن الترتيب ليس مهما.

* مجموعة دول العالم العربي:


{الجزائر، المغرب، تونس، موريتانيا، ليبيا، مصر، السودان، اليمن،
عمان، الصومال، جزر القمر، السعودية، الكويت، قطر، البحرين،
الإمارات العربية المتحدة، الأردن، فلسطين، لبنان، سوريا، العراق، دجيبوتي}.

و لكن هذه الطريقة للوصف تعتبر غير مناسبة غالبا خاصة عندما يصبح عدد العناصر كبير جدا، بالإضافة أنها غير ممكنة على الإطلاق إذا كان عدد العناصر لا نهائيا. لذا يتم اللجوء في هكذا حالات إلى طريق أكثر أناقة و ذلك أنه يتم وصف المجموعة عن طريق إعطاء العلاقة التي تربط أعضائها. مثلا مجموعة الأعداد الفردية:

{أ| يوجد ب، أ = 2*ب+ 1}

نتائج مباشرة

تعريف المجموعة يقود إلى عدد من النتائج المباشرة:

1. لا يوجد مجموعتين مختلفتين تضمان نفس العناصر.
2. يوجد مجموعات تضم مجموعات كعناصر.
3. المجموعة الخالية هي مجموعة جزئية من كل مجموعة.

المجموعة الجزئية

إذا كان كل عنصر في المجموعة أ عنصرا في المجموعة ب تسمى عندها المجموعة أ مجموعة جزئية من ب. إذا كانت أ مجموعة جزئية من ب و ب مجموعة جزئية من أ ، عندها يكون أ=ب.

أنظمة عد

أنظمة عد


نظام العد هو طريقة تعامل الانسان مع رسوم الارقام للتعبير عن قيمتها وكيفية تطبيق العمليات الحسابية عليها .وانظمة العد المستخدمة في العالم اليوم تتنوع بحسب مجال استخدامها .
نظام عد عشري

النظام الاوسع انتشارا هو النظام العشري المعتمد على الخانات والصفر للتعبير عن الاختلافات بين قيم رسم الرقم الواحد فمثلا الرقم 6 يحمل قيمة ستون عندما يوضع في الخانة الثانية ، وقد تم ابتداع الصفر في مرحلة متأخرة نسبيا عن ابتداع الارقام واستخدم مع نظام الخانات للتعبير عن خلو هذه الخانة من القيمة .
النظام الثنائي

للمقال الكامل إقرأ نظام عد ثنائي

هو نظام يستخدم بشكل واسع في الحاسوب ، حيث يشكل حجر الاساس لتصميم عمل الحواسب الحالية ، وهو مرتبط بالمنطق بشكل كبير و الترانزيستور والبوابات الالكترونية هي تطبيقات عملية على نظام العد الثنائي والمنطق.
أنظمة عد قديمة

كان لدى الرومان نظام عدّ يعتمد على رسم تتابع من الاشكال ، تعبر في مجموعها عن عدد ما وليس فيها استخدام للخانات او الصفر ، انظر الاعداد الرومانية. ونجح الهنود والمايا بالوصول الى تقييم الارقام تبعا لمراكزها في الخانات وقام الهنود بإيجاد رسم معين لكل رقم مما مكنهم من القيام بعمليات حسابية كبيرة استحالت على غيرهم.

ولكن الهنود لم يعرفوا الصفر في بداية نظامهم ، فكان يضطرون لوضع علامة لتمييز العدد 408 عن 48 مثلا، وقاموا بشغل الفراغ الضروري للعمليات الرياضية بدائرة او نقطة و اطلقوا عليه اسم الفراغ او الثقب ورسموه على شكل دائرة او نقطة. ويبدو ان العرب هم من اعطوا الصفر قيمة حسابيّة بالرغم من ان الهنود كانوا قد استخدموه كشكل للتمييز ,وابقى العرب على رسمه الهندي ، واوضح الخوارزمي في كتاباته دور الصفر في عمليات الجمع والطرح مثل 75-35 = 40 فقال :"في عمليات الطرح ، اذا لم يكن هناك باق ، نضع صفرا ولا نترك المكان خاليا حتى لا يحدث لبس بين خانة الآحاد وخانة العشرات".ويضيف "إن الصفر يجب ان يكون عن يمين الرقم ، لان الصفر على يسار الاثنين مثلا 02 لا يغير من قيمتها ولا يجعل منها عشرين" ونلاحظ ان الشعوب التي اخذت النظام العربي المطور عن النظام الهندي قد نقلو هذا النظام حرفيا في طريقة كتابته اي من اليمين الى اليسار وبعضهم حتى نظام قرائتها كالالمان مثلا.

ومن الانظمة التي استخدمت ايضا انظمة تعتمد على تقسيم الاعداد الى منازل من ستين واخرى من 12 ، ومن الموروث الحضاري لهذه الانظمة نظام الوقت ، الدقائق والساعات المستخدم .

ويبدوا ان البابلين استخدموا نظاما ستينيا في كتابة ارقامهم التي كانت على الشكلين V و > تعبيرا عن الواحد والعشرة ، ورسموهم في مجموعات يعبر تتابعها عن ضرب كل مجموعة الى بستين مرفوعة لقوة مقدارها ترتيب المجموعة ابتداء من الصفر ، تماما كما في النظام العشري الذي ابدلت فيه الخانات بالمجموعات .

* السرخسي (000 - 286هـ / 000 - 899م)

* السرخسي (000 - 286هـ / 000 - 899م)


أحمد بن محمد بن مروان السرخسي، المعروف بابن الفرائقي وابن الطيب عالم الأرض الرياضي الطبيب الفلكي. عاش في القرن الثالث الهجري - التاسع الميلادي.
ولد السرخسي بمدينة سرخس بخراسان، ونشأ بها وتلقى تعليمه الأول، حيث حفظ للقرآن الكريم وتعلم مبادئ الرياضيات، ثم شد رحاله إلى مدينة بغداد ، وسعى لتلقي العلم على يد الكندي العالم الموسوعي الفيلسوف، وصار واحدا من أنبغ تلاميذه، وعد من أهم العلماء الموسوعيين فقد كان شاعرا ومحدثا وطبيبا وفلكيا ورياضيا. وفي الفن كان مؤلفا موسيقيا ذواقة يعرف الموسيقى نظريا وعمليا، وكان من علماء المنطق. وحين ذاع صيته اختير ليكون معلما للمعتضد في شبابه الأول، فقد كان السرخسي متفننا أيضا في علوم القدماء والعرب وآدابهم، كما كان حسن المعرفة جيد القريحة بليغ اللسان، ويعده المؤرخون أوحد زمانه في علمي النحو والشعر.
كان السرخسي حسن العشرة، مليح النادرة، ظريفا، محبا للفكاهة، وحين دخل المعتضد سن الرجولة كان السرخسي من أهم ندمائه وأصدقائه المقربين، وحين ولي المعتضد الخلافة عام 279هـ - 901م ولاه منصب الحسبة في بغداد، فقد كان يثق به ويفضي إليه بأسراره ويستشيره في أمور الحكم. وعلى الرغم من ذلك كانت تغلب على السرخسي طيبة القلب فكان لا يعرف المجاملة مما أدى إلى غضب حاشية المعتضد عليه فدبروا له حيلة جعلت المعتضد يغضب عليه ويأمر بسجنه ومصادرة أمواله. وقد توفي السرخسي عام 286هـ - 899م قتلا بيد أحد أعوان المعتضد دون إذن منه بذلك.

يحكى أن المعتضد خرج على رأس جيش ليسترد مدينة آمد بديار بكر، فاستغل المساجين الذين كانوا بالمطامير في بغداد الفرصة فهربوا ورفض السرخسي أن يهرب معهم، ومع ذلك عندما قبض على المساجين وأمر صاحب الشرطة أن يقتلوا قتل معهم السرخسي


وقد فقدت معظم كتب السرخسي في كافة العلوم، ولم يبق إلا القليل منها، وقد اهتم السرخسي بعلوم الأرض خاصة، فكانت معظم كتبه مؤلفة فيها. ومن أهم الظواهر الطبيعية التي اهتم بها السرخسي المناخ وأثره على السكان والحياة. وكذلك تكلم عن الجبال .
ومن أهم مؤلفات السرخسي في علم الأرض: أحداث الجو . منفعة الجبال . الضباب . المسالك والممالك . برد أيام العجوز .
وفي الرياضيات: الأرثماطيقي في ا لأعداد والجبر والمقابلة.
وفي الفلك: المدخل إلى صناعة النجوم . اختلاف الأزياج .
وفي الطب: المدخل إلى صناعة الطب . البول . الرد على جالينوس في الطعم المر . مقالة في البهق والنمش والكلف . رسالة في الخضابات المسودة للشعر .
وله في علم الموسيقى: الموسيقى الكبير . الموسيقى الصغير . المدخل إلى علم الموسيقى .

*كمال الدين بن يونس (551-639هـ / 1156 -1242م)

*كمال الدين بن يونس (551-639هـ / 1156 -1242م)


أبو عمران كمال الدين بن موسى بن يونس بن محمد بن منعة بن مالك العقيلي الشهير بكمال الدين بن يونس، عالم رياضي وفلكي اشتهر في القرنين الخامس والسادس الهجريين / الثاني عشر والثالث عشر الميلاديين. ولد في مدينة الموصل حيث ترعرع في بيت علم، ودرس العلوم الشرعية على والده حتى أتقنها وصار علَّامة فيها.
زار كمال الدين بغداد وبقي فيها مدة من الزمن، لتلقي العلم على كبار علماء العلوم التجريبية. وعندما تفنن في علم الفلك والعلوم الرياضية عاد إلى مسقط رأسه. وفي الموصل أنشأ كمال الدين بن يونس المدرسة الكمالية، وصار يدرس فيها العلوم الشرعية واللغوية والعلوم التجريبية، حتى رحل إلى جوار ربه.
كان كمال الدين يدرس طلابه كلا من علم الحساب وعلم الجبر والمقابلة في المدرسة الكمالية بالموصل حيث كان يرى أن العلوم الرياضية ضرورية لدراسة العلوم التجريبية والفلسفة، بل كان يعتقد أن العلوم الرياضية العمود الفقري لجميع العلوم. وقد اشتهر كمال الدين بن يونس بأخلاقه وعلمه، فكان متفرغا للتدريس والبحث العلمي والإجابة على الأسئلة التي ترد إليه من بغداد ومن جميع بلاد العالم، إذ كان يرى أن العلم يزكو بالإنفاق.
وجد كمال الدين بن يونس في البحث والاستقصاء لذة، فذهب يبحث عنها في شتى المعارف والعلوم فاهتم بهندسة إقليدس، لصلتها الوثيقة بالعلوم التجريبية وخاصة علم الفلك. وألف كتابا في الهندسة يحتوي على المخروطات والمتوسطات وحل المسألة التي تتعلق بإنشاء مربع يكافئ قطعة من دائرة.
كما درس كمال الدين بن يونس علم الكيمياء عن قرب، لارتباطها بعلم الطب، وألف كتابا يجمع فيه بين الكيمياء والطب سماه كتاب لغز في الحكمة نال به استحسان معاصريه.
وفي علم الفلك قطع شوطا بعيدا، فشرح كتاب المجسطي لبطليموس شرحا وافيا، وألف كتابه الأسرار السلطانية في النجوم ، فذاع صيته في المعمورة وصار طلاب العلم يأتون من كل فج للتتلمذ عليه، حيث كان حجة في هذا الميدان. كما قام برصد الكواكب والأجرام السماوية في الموصل مما دعاه إلى تأليف كتاب عن الأسطرلاب ، لكي يستخدمه في إرصاده هناك. وعمل كمال الدين بن يونس آلة سماها البركار التام لرسم أنوا ع المخروطات الهندسية التي كان يعتمد عليها في علم الفلك، وقد استفاد علماء العرب والمسلمين من هذه الآلة فائدة عظيمة عبر التاريخ.
كما تعددت مواهب كمال الدين فكان له صولة وجولة في الأدب، والشعر. وكان من المغرمين بقراءة قصص الوقائع التاريخية، فكان ينقلها لطلابه، كي يرفه عنهم خلال المحاضرة، لذا كانت دائما دروسه مزدحمة بالطلاب. وبسبب شهرة تلك لم يترك سبيله الحساد، والمقصرون والحاقدون، بل لفقوا له تهما بعيدة كل البعد عن الصواب، وصاروا يتحينون الفرصة لإيقاعه عند ولاة الأمر آنذاك.
ترك كمال الدين بن يونس عددا كبيرا من المؤلفات في شتى فروع المعرفة من أشهرها بالإضافة لما ذكر: كتاب كشف المشكلات وإيضاح المعضلات في تفسير القرآن ، وكتاب شرح كتاب التنبيه في الفقه ، وكتاب مفردات ألفاظ القانون ، وكتاب عيون المنطق ، ورسالة في المخروطات ورسالة في المربعات السحرية .